4.4: Спектр сигналу
- Page ID
- 32801
- Це загальний огляд того, як вирішувати прості електротехнічні завдання.
Періодичний сигнал, такий як напівхвильова випрямлена синусоїда, складається з суми елементарних синусоїд. Графік коефіцієнтів Фур'є як функції частотного індексу, як показано на малюнку 4.4.1, відображає спектр сигналу. Слово «спектр» має на увазі, що незалежна змінна, тут k, так чи інакше відповідає частоті. Кожен коефіцієнт безпосередньо пов'язаний з синусоїдою, що має частоту K/т. Таким чином, якщо ми напівхвильові випрямлені синусоїдою 1 кГц, k = 1 відповідає 1 кГц, k = 2 до 2 кГц і т.д.
Індекс вказує кратну основній частоті, на якій сигнал має енергію.
Тонким, але дуже важливим аспектом спектра Фур'є є його унікальність: можна однозначно знайти спектр по сигналу (розкладання) і сигнал зі спектра (складу). Таким чином, будь-який аспект сигналу можна знайти з спектра і навпаки. Вираз частотної області сигналу є його спектр. Періодичний сигнал може визначатися або в часовій області (як функція), або в частотній області (як спектр).
Фундаментальним аспектом вирішення проблем електротехніки є те, чи забезпечує часова або частотна область найбільше розуміння властивостей сигналу та найпростіший спосіб маніпулювання ним. Властивість унікальності говорить про те, що будь-який домен може дати правильну відповідь. Як простий приклад, припустимо, що ми хочемо знати максимальне значення (періодичного) сигналу. Зрозуміло, що часовий домен надає відповідь безпосередньо. Для використання частотної області підхід вимагатиме від нас знайти спектр, сформувати сигнал з спектра і обчислити максимум; ми повернулися в часову область!
Ще однією особливістю сигналу є його середня потужність. Миттєва потужність сигналу визначається як його квадрат. Середня потужність - це середнє значення миттєвої потужності протягом деякого часового інтервалу. Для періодичного сигналу природний часовий інтервал явно є його періодом; для неперіодичних сигналів кращим вибором буде весь час або час від початку. Для періодичного сигналу середня потужність - це квадрат його середньоквадратичного значення (середньоквадратичне значення). Визначимо середньоквадратичне значення періодичного сигналу:
\[rms(s)=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}s^{2}(t)dt} \nonumber \]
і, таким чином, його середня потужність
\[power(s)=rms^{2}(s) \nonumber \]
\[power(s)=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}s^{2}(t)dt \nonumber \]
Яке середньоквадратичне значення напівхвильової випрямленої синусоїди?
Рішення
Середньоквадратичне значення синусоїди дорівнює її амплітуді, поділеній на:
\[\sqrt{22} \nonumber \]
Оскільки напівхвильова випрямлена синусоїда дорівнює нулю протягом половини періоду, її середньоквадратичне значення становить A/2, оскільки інтеграл квадратної напівхвильової випрямленої синусоїди дорівнює половині, ніж у квадратної синусоїди.
Щоб знайти середню потужність в частотній області, нам потрібно підставити спектральне уявлення сигналу в цей вираз.
\[power(s)=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\left ( a_{0}+\sum_{k=1}^{\infty }a_{k}\cos \left ( \frac{2\pi kt}{T} \right )+ \sum_{k=1}^{\infty }b_{k}\sin \left ( \frac{2\pi kt}{T} \right )\right )^{2}dt \nonumber \]
Квадрат всередині інтеграла буде містити всі можливі попарно продукти. Однак властивості ортогональності говорять про те, що більшість цих кростермів інтегруються в нуль. Ті, хто вижив, залишають досить простий вираз для сили, яку ми шукаємо.
\[power(s)= a_{0}^{2}+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty }a_{k}^{2}+b_{k}^{2} \nonumber \]
Цілком може бути, що обчислення цієї суми простіше, ніж інтегрувати квадрат сигналу. Крім того, внесок кожного члена в ряді Фур'є в сторону представлення сигналу може бути виміряний за його внеском у середню потужність сигналу. Таким чином, потужність, що міститься в сигналі при його k -й гармоніці, дорівнює:
\[\frac{a_{k}^{2}+b_{k}^{2}}{2} \nonumber \]
Спектр потужності, P s (k), такий як показано на малюнку 4.4.2, відображає внесок кожної гармоніки в загальну потужність.
У аудіо високого класу відхилення синусоїди від ідеалу вимірюється загальним гармонійним спотворенням, яке дорівнює загальній потужності в гармоніках вище першої в порівнянні з потужністю в фундаментальних. Знайти вираз для повного гармонічного спотворення для будь-якого періодичного сигналу. Чи найбільш легко цей розрахунок виконується в часовій або частотній області?
Рішення
Загальне гармонійне спотворення дорівнює:
\[\frac{\sum_{k=2}^{\infty }a_{k}^{2}+b_{k}^{2}}{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}} \nonumber \]
Зрозуміло, що ця величина найлегше обчислюється в частотній області. Однак чисельник дорівнює квадрату середньоквадратичного значення сигналу мінус потужність в середньому і потужність в першій гармоніці.
Дописувач
- Контрібі OpenStax