7.10: Проблеми
- Page ID
- 34291
Місячний модуль призначений для здійснення безпечної посадки на Місяць, якщо його вертикальна швидкість при ударі дорівнює\(V_{\max } \leq 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\). Прискорення гравітації на\(1 / 6\) Місяці - це значення на Землі,\(g_{\text { moon}}=g_{\text { Earth}} / 6\).
(а) Використовуючи принцип робота-енергія (збереження енергії), визначити максимальну висоту\(h\) над поверхнею Місяця, на якій пілот може безпечно відключити двигун, коли швидкість місячного модуля щодо поверхні Місяця дорівнює (i) нулю; (ii)\(3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\) вгору; і (iii)\(3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\) вниз.
(b) Повторіть частину (а), лише цього разу використовуючи збереження лінійного імпульсу. Чи один підхід простіший за інший?
Комір\(A\) ковзає по гладкому турніку і кріпиться до висячої маси\(B\) шнуром, як показано на малюнку. Нашийник\(A\) має масу\(m_{A}=30 \mathrm{~kg}\), а висить маса\(B\) має масу\(m_{B}=60 \mathrm{~kg}\). Припустимо, що маса шнура і маса шківа без тертя незначні. Якщо комір спочатку нерухомий, визначте швидкість коміра\(A\) після того, як він змістився на\(0.5\) метри вправо.
.png)
Малюнок\(\PageIndex{1}\): Зсувний комір з'єднаний з висячою масою шнуром і шківом без тертя.
Повторіть задачу,\(7.2\) припускаючи, що коефіцієнти статичного тертя\(A\) і тертя ковзання між коміром\(0.4\) і турніком\(0.3\) дорівнюють і відповідно.
Ретельне вивчення того, як кабель з'єднаний з хомутом,\(A\) свідчить про наявність зайвих нормальних зусиль між коміром і планкою. Ці додаткові сили утримують комір від обертання і утворюють пару сил. Для нашого аналізу ви можете знехтувати нормальними силами завдяки цій парі. Однак подумайте, як ви могли б оцінити ці сили і як вони змінять вашу відповідь.
Повторіть задачу,\(8.2\) припускаючи, що маса\(B\) замінюється постійною силою\(T = 600 \mathrm{~N}\).
Комір\(A\) ковзає по гладкому турніку і кріпиться до висячої маси\(B\) шнуром, як показано на малюнку. Нашийник\(A\) має масу\(m_A = 14 \mathrm{~kg}\), а висить маса\(B\) має масу\(m_B = 18 \mathrm{~kg}\). Константа пружини є\(k = 700 \mathrm{~N}/\mathrm{m}\). Припустимо, що маса шнура і маса шківа без тертя незначні.
.png)
Малюнок\(\PageIndex{2}\): Зсувний комір з'єднується з висячою масою тросом і з опорою пружиною.
(а) Якщо комір спочатку нерухомий, а пружина нерозтягнута, визначте швидкість коміра\(A\) після того, як він змістився на 0,2 метра вправо.
(б) Якщо маса\(B\) замінена постійною силою\(F_B\) з величиною, рівною вазі маси\(B\), наприклад, і комір спочатку нерухомий\(F_{\mathrm{B}} = m_{\mathrm{B}} g\), а пружина нерозтягнута, визначте швидкість коміра\(A\) після того, як він змістився на 0,2 метра вправо. Значення більше або менше, ніж результат з частини (a)? Поясніть
До лінійної пружині кріпиться комір, як показано на малюнку, і вільно переміщається по вертикальному стрижню. Маса коміра є\(m=2.0 \mathrm{~kg}\), а постійна пружина для пружини -\(k=30 \mathrm{~N} / \mathrm{m}\). Нерозтягнута довжина пружини становить\(1.5 \mathrm{~m}\). Комір звільняється від спокою в\(A\) і ковзає вгору по гладкому стрижню під дією постійної сили,\(F=50 \mathrm{~N}\) прикладеної при\(30^{\circ}\) від вертикалі, як показано на малюнку.
.png)
Малюнок\(\PageIndex{3}\): Пружина з'єднує опору і ковзний комір.
(а) Визначте роботу, виконану на комірі, силою\(F\) переміщення його з точки\(A\) в точку\(B\), в\(\mathrm{N} \cdot \mathrm{m}\).
(б) Визначити швидкість\(V\) коміра, коли він проходить точку\(B\), в\(\mathrm{m} / \mathrm{s}\).
У попередньому проекті для поштової сортувальної машини посилки рухаються вниз похилим, рівним пандусом і приводяться в спокій лінійною пружиною. Пандус нахилений\(30^{\circ}\) при горизонталі. А типові пакети важить\(10 \mathrm{~lbf}\). Початкова швидкість упаковки на\(2 \mathrm{~ft} / \mathrm{s}\) рампі - і пакет проходить відстань\(10 \mathrm{~ft}\) вниз по рампі, перш ніж він контактує з пружиною. Пружина призначена для того, щоб довести пакети до повної зупинки на відстані 8 дюймів.
(а) Визначте постійну пружини\(k\), в\(\mathrm{lbf} / \mathrm{in}\), необхідну для зупинки упаковки на бажаній відстані. Чи залежить ваша відповідь від маси упаковки?
(b) Визначити максимальне уповільнення для типового пакета в одиницях стандартного гравітаційного прискорення, наприклад\(3 \ g\).
У альтернативній конструкції до тієї, що в Проблемі\(7.7\), пружина усувається, і пакет приводиться в спокій виключно завдяки фрикційному покриттю над останніми 5 футами пандуса. Всі змінні такі ж, як і в Задачі,\(7.7\) за винятком того, що пружина була замінена 5-футовою фрикційною смугою.
(а) Визначте мінімальне значення коефіцієнта кінетичного тертя між упаковкою та матеріалом фрикційної смуги, яке змусить упаковку спиратися на фрикційну смугу. Чи залежить ваша відповідь від маси упаковки?
(b) Визначити максимальне уповільнення для типового пакета в одиницях стандартного гравітаційного прискорення, наприклад\(3 g\).
Роботу, виконану двигуном внутрішнього згоряння, можна змоделювати, розглядаючи роботу, виконану закритою системою, що містить газ. Газ в системі виконує триступеневий процес, який повертає газ в початковий стан.
| Держава\(1\): | \(\quad p_{1}=100 \mathrm{~kPa} ; \ V_{1}=0.80 \mathrm{~m}^{3}\) |
| Процес\(1 \text{-} 2\): | Стиснутий вздовж процесу, де\(p V=\) постійний. |
| Держава\(2\): | \(\quad V_{2}=0.2 V_{1}\) |
| Процес\(2 \text{-} 3\): | Нагрівається і розширюється при постійному тиску, наприклад\(p=\) постійному |
| Держава\(3\): | \(\quad V_{3}=V_{1}\) |
| Процес\(3 \text{-} 1\): | Охолоджують при постійному обсязі до\(p=p_{1}\). |
(a) Намалюйте загальний пристрій поршневого циліндра та визначте замкнуту систему, яка використовується для аналізу.
(b) Розрахувати роботу, виконану на газі під час кожного процесу.
(c) Намалюйте три процеси та їх кінцеві стани на\(p \text{-} V\) діаграмі.
Позначте свої осі та кінцеві стани. Точно покажіть шлях кожного процесу на схемі. Вкажіть область на схемі, яка представляє величину виконаної роботи над системою під час кожного процесу.
(d) Обчисліть чисту роботу, виконану в системі протягом цього циклу, і вкажіть відповідну площу на\(p \text{-} V\) схемі.
Закрита система маси\(5 \mathrm{~lbm}\) піддається процесу, при якому відбувається тепловіддача\(200 \mathrm{~ft} \cdot \mathrm{lbf}\) від системи до навколишніх. Під час процесу роботи немає. Швидкість роботи системи збільшується від\(10 \mathrm{~ft} / \mathrm{s}\) до\(50 \mathrm{~ft} / \mathrm{s}\), а піднесення зменшується на\(150 \mathrm{~ft}\). Прискорення гравітації в цьому конкретному географічному положенні\(32.0 \mathrm{~ft} / \mathrm{s}^{2} .\)
Будь ласка, ескіз вашої системи і показати всі ваші роботи, щоб визначити зміни в (а) кінетичної енергії системи, в\(\mathrm{ft} \cdot \mathrm{lbf}\),
(б) гравітаційна потенційна енергія системи, в\(\mathrm{ft} \cdot \mathrm{lbf}\), і
(в) внутрішня енергія системи, в\(\mathrm{ft} \cdot \mathrm{lbf}\) і\(\mathrm{Btu}\).
Закрита система проходить процес, під час якого відбувається передача тепла в систему з постійною швидкістю\(5 \mathrm{~kW}\), а потужність поза системою змінюється з часом залежно від того,\[\dot{W}_{\text {out}} = \begin{cases}+2.5 t & 0<t \leq 2.0 \mathrm{~h} \\ +5.0 & t>2.0 \mathrm{~h}\end{cases} \nonumber \] де\(t\) знаходиться в годині і\(W_{\text {out}}\) знаходиться в\(\mathrm{kW}\).
(а) Намалюйте систему та позначте енергетичні потоки.
(б) Визначити часову швидкість зміни енергії системи при\(t=1.2 \mathrm{~h}\) і\(2.4 \mathrm{~h}\), в\(\mathrm{kW}\)
(c) Визначити зміну енергії системи після\(3 \mathrm{~h}\), в\(\mathrm{kW} \cdot \mathrm{h}\) і в\(\mathrm{kJ}\).
Поршнево-циліндровий вузол оснащений лопатевим колесом, що приводиться в рух зовнішнім двигуном і\(30 \mathrm{~g}\) заповнений газом. Стінки циліндра добре ізольовані, а тертя між поршнем і стінкою циліндра незначне. Спочатку газ знаходиться в стані 1 (див. Таблицю). Потім керується лопатевим колесом, але поршню дозволяється рухатися, щоб підтримувати тиск у газі постійним. При зупинці лопастного колеса система знаходиться в стані 2. Визначте передачу роботи, в джоулі, по валу лопасто-колеса.
| Держава | \(P\), бари | \(v, \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{g}\) | \(u, \mathrm{~J} / \mathrm{g}\) |
|---|---|---|---|
| 1 | \ (P\), бруски">15 | \ (v,\ mathrm {~см} ^ {3}/\ mathrm {g}\) ">\(7.11\) | \ (u,\ mathrm {~J}/\ mathrm {g}\) ">\(22.75\) |
| 2 | \ (P\), бруски">15 | \ (v,\ mathrm {~см} ^ {3}/\ mathrm {g}\) ">\(19.16\) | \ (u,\ mathrm {~J}/\ mathrm {g}\) ">\(97.63\) |
Ізольований поршнево-циліндровий вузол, що містить рідину, має перемішувальний пристрій, що працює зовні. Поршень без тертя, а сила, що утримує його проти рідини, обумовлена стандартним атмосферним тиском (\(101.3 \mathrm{~kPa}\)) і гвинтовою пружиною з постійною пружини\(7200 \mathrm{~N} / \mathrm{m}\). Перемішувальний пристрій обертається на 100 оборотів з середнім крутним моментом\(0.68 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{m}\). В результаті газ розширюється і поршень рухається назовні\(0.10 \mathrm{~m}\). Діаметр поршня дорівнює\(0.10 \mathrm{~m}\). Припустимо, що зміни кінетичної енергії та потенційної енергії незначні.
.png)
Малюнок\(\PageIndex{4}\): Рідина перемішується в поршнево-циліндровому пристрої, поршень якого утримується на місці пружиною.
(а) Визначити роботу, виконану газом під час його розширення, в\(\mathrm{kJ}\). Крім того, визначте, скільки робіт, виконаних газом, проти сили атмосфери і скільки зроблено проти пружини. Припустимо, що пружина спочатку не чинить ніякого зусилля на поршень.
(b) Визначте роботу, виконану перемішувальним пристроєм на газі, в\(\mathrm{kJ}\), під час
(c) Визначити зміну внутрішньої енергії\(\mathrm{kJ}\), в, рідини.
Електродвигун приводить в рух повітряний компресор, який подає повітря з умовами впуску і виходу, як показано на малюнку. Моторно-компресорний агрегат працює в стаціонованих умовах. Електрична потужність, що подається на мотор, становить 25 кіловат при 220 вольт змінного струму, а виміряна швидкість тепловіддачі від комбінованого двигуна і компресора -\(4.4\) кіловат. Досвід показує, що зміни кінетичної та потенційної енергії незначні для цієї системи.
.png)
Малюнок\(\PageIndex{5}\): Повітряний компресор і електродвигун, що приводить його в рух, утворюють систему.
а) Визначити масову витрату через компресор в кілограмах в секунду.
(b) Припускаючи коефіцієнт потужності 1 (чисто резистивний ланцюг), обчислити електричний струм змінного струму, що проводиться двигуном, в амперах
Повітря надходить в компресор при\(100 \mathrm{~kPa}\)\(280 \mathrm{~K}\) і виходить з компресора при\(600 \mathrm{~kPa}\) і\(400 \mathrm{~K}\). Компресор працює в стаціонарних умовах з надходить масовою витратою\(0.02 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}\). Крім того, швидкість тепловіддачі від компресора становить\(0.32 \mathrm{~kW}\). Виявлено, що питома ентальпія вхідних\(h_{1}=280.13 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}\) і виходять повітряних потоків\(h_{2}=400.98 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}\), відповідно. Припустимо, що зміни кінетичної та потенційної енергії для потоків, що протікають через систему, незначні.
.png)
Малюнок\(\PageIndex{6}\): Стаціонований повітряний компресор.
(а) Визначте масову витрату повітря, що виходить з компресора, в\(\mathrm{kg} / \mathrm{s}\). Покажіть свої міркування.
(б) Визначити відношення вхідної об'ємної витрати до виходу об'ємної витрати, т\(\dot{V}_{1} / \dot{V}_{2}\). Е. Припустимо ідеальну поведінку газу для повітря. (Підказка: Вирішіть об'ємну швидкість потоку з точки зору масової витрати та щільності.)
(c) Визначте потужність, необхідну для роботи компресора, в\(\mathrm{kW}\) і в\(\mathrm{hp}\).
- Відповідь
Газ метан\(\left(\mathrm{CH}_{4}\right)\) спалюється зі стехіометричною кількістю кисню\(\left(\mathrm{O}_{2}\right)\) в стаціонарному процесі горіння. Газ метану надходить в пальник з масовою витратою\(16.0 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}\) і специфічною ентальпією\(h=4,778 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}\) при\(1 \mathrm{~atm}\) і\(25^{\circ} \mathrm{C}\). Кисень надходить в пальник з масовою витратою\(64.0 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}\) і специфічною ентальпією\(h=100 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}\) при\(1 \mathrm{~atm}\) і\(25^{\circ} \mathrm{C}\). Продукти згоряння виходять з пальника при\(1 \mathrm{~atm}\)\(25^{\circ} \mathrm{C}\) і специфічної ентальпії\(h=-10,865 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}\). Пальник працює з незначною роботою на безпотокових межах і незначних змінами кінетичної та гравітаційної потенційної енергії.
.png)
Малюнок\(\PageIndex{7}\): Стаціоновий пальник для газу метану.
(а) Визначити масову витрату продуктів згоряння, що виходять з пальника, в\(\mathrm{kg} / \mathrm{s}\).
(б) Визначити швидкість теплопередачі для процесу, в\(\mathrm{kW}\). Обов'язково і вказуйте як величину, так і напрямок тепловіддачі.
(c) Якщо швидкість надходження кисню в пальник приблизно\(1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\), визначте площу поперечного перерізу вхідного каналу. Припустимо, що кисень можна моделювати як ідеальний газ.
Електрогенератор постійного струму кріпиться безпосередньо до парової турбіни, як показано на малюнку. Пар надходить в турбіну з масовою витратою\(360 \mathrm{~lbm} / \mathrm{h}\) і турбогенераторна установка працює в стаціонарних умовах. Питома ентальпія вхідного і виходить пара показана на малюнку. Швидкість тепловіддачі від турбіни є\(3000 \mathrm{~Btu} / \mathrm{h}\) і від генератора становить\(1000 \mathrm{~Btu} / \mathrm{h}\). Припустимо, що зміни кінетичної та гравітаційної потенційної енергії для пари, що протікає через генератор, незначні.
.png)
Малюнок\(\PageIndex{8}\): Система, що складається з d електрогенератора і парової турбіни.
(а) Визначте вихідну електричну потужність від генератора, в\(\mathrm{Btu} / \mathrm{h}\).
(b) Визначте струм де, що подається генератором, в амперах.
(c) Визначте крутний момент, в\(\mathrm{lbf} \cdot \mathrm{ft}\), в 220 вольт постійного струму вал, що з'єднує турбіну з вихідним генератором, припускаючи, що він обертається на\(3600 \mathrm{~rpm}\).
Пар тече через теплообмінник, а потім через парову турбіну, як показано на малюнку. Пар виходить з турбіни в двох різних точках, стан 3 і стан 4. Вихідна потужність валу від турбіни становить\(675 \mathrm{~MW}\). Вся відома інформація про стан наведена в таблиці. Всі пристрої працюють в стаціонарних умовах, а зміни кінетичної та гравітаційної потенційної енергії незначні. За конструкцією теплообмінники не мають роботи передачі енергії. Крім того, парова турбіна працює адіабатично.
.png)
Малюнок\(\PageIndex{9}\): Пар протікає через теплообмінник і парову турбіну в стаціонарних умовах.
| Держава | \(h \, (\mathrm{kJ} / \mathrm{kg})\) | \(P \,(\mathrm{kPa})\) | \(T \, \left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)\) | \(v \, \left(\mathrm{~m}^{3} / \mathrm{kg}\right)\) | \(\dot{\mathrm{m}} \, (\mathrm{kg} / \mathrm{s})\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | \ (h\, (\ mathrm {кДж}/\ mathrm {кг})\) ">\(562.0\) | \ (P\, (\ mathrm {кПа})\) ">300 | \ (T\,\ ліворуч ({} ^ {\ circ}\ mathrm {C}\ праворуч)\) ">133 | \ (v\,\ ліворуч (\ mathrm {~m} ^ {3}/\ mathrm {кг}\ праворуч)\) ">\(0.001\) | \ (\ точка {\ mathrm {m}}\, (\ mathrm {kg}/\ mathrm {s})\) ">1000 |
| 2 | \ (h\, (\ mathrm {кДж}/\ mathrm {кг})\) ">\(\cdots\) | \ (P\, (\ mathrm {кПа})\) ">300 | \ (T\,\ ліворуч ({} ^ {\ circ}\ mathrm {C}\ праворуч)\) ">400 | \ (v\,\ ліворуч (\ mathrm {~m} ^ {3}/\ mathrm {кг}\ праворуч)\) ">1032 | \ (\ точка {\ mathrm {m}}\, (\ mathrm {kg}/\ mathrm {s})\) ">\(-\) |
| 3 | \ (h\, (\ матрм {кДж}/\ матрм {кг})\) ">3114 | \ (P\, (\ mathrm {кПа})\) ">150 | \ (T\,\ ліворуч ({} ^ {\ circ}\ mathrm {C}\ праворуч)\) ">320 | \ (v\,\ ліворуч (\ mathrm {~m} ^ {3}/\ mathrm {кг}\ праворуч)\) ">1819 | \ (\ точка {\ mathrm {m}}\, (\ mathrm {kg}/\ mathrm {s})\) "> 200 |
| 4 | \ (h\, (\ mathrm {кДж}/\ mathrm {кг})\) ">3034 | \ (P\, (\ mathrm {кПа})\) ">100 | \ (T\,\ ліворуч ({} ^ {\ circ}\ mathrm {C}\ праворуч)\) ">280 | \ (v\,\ ліворуч (\ mathrm {~m} ^ {3}/\ mathrm {кг}\ праворуч)\) "> 2546 | \ (\ точка {\ mathrm {m}}\, (\ mathrm {kg}/\ mathrm {s})\) ">\(-\) |
| \ (\ dot {\ mathrm {m}}\, (\ mathrm {kg}/\ mathrm {s})\) ">Примітка: Вам не потрібно заповнювати цю таблицю для вирішення проблеми. | |||||
(а) Визначте масову витрату, що залишає турбіну в стані\(4\).
(б) Визначити швидкість передачі тепла до теплообмінника.
(c) Визначте крутний момент, що передається валом турбіни, якщо турбіна обертається\(3600 \mathrm{~rpm}\).
Одним із засобів для отримання електроенергії є використання газотурбінного двигуна, підключеного до електричного генератора. Хоча газотурбінний двигун, як показано на малюнку, складається з трьох компонентів - компресора, теплообмінника та турбіни - з'єднаних разом з повітрям, що протікає через кожен послідовно, двигун можна проаналізувати за допомогою вказаної відкритої системи. Компресор і турбіна мають загальний вал і безпосередньо з'єднані з генератором. Експлуатаційна інформація показана на малюнку. Масова витрата повітря через газову турбіну становить\(2.0 \mathrm{~lbm} / \mathrm{s}\). Для аналізу можна припустити, що всі системи працюють в стаціонарних умовах і що зміни кінетичної та гравітаційної потенційної енергії незначні.
.png)
Малюнок\(\PageIndex{10}\): Електрогенератор працює від системи, що складається з компресора, теплообмінника і турбіни.
(а) Визначте потужність валу, що подається на електричний генератор\(\mathrm{Btu} / \mathrm{s}\), в, і вихідну електричну потужність генератора, в кіловатах.
(б) Визначити крутний момент вала в валу, що подає потужність на електрогенератор, в\(\mathrm{ft} \cdot \mathrm{lbf}\), якщо частота обертання вала дорівнює\(1800 \mathrm{~rpm}\).
Невелика парова турбіна з'єднується з повітряним компресором через редуктор, як показано на малюнку. Редуктор - це пристрій, що використовується для зміни швидкості обертання вала, коли два пристрої повинні бути підключені, але працювати з різними швидкостями.
Пар надходить в турбіну\(110^{\circ} \mathrm{C}\) при певній ентальпії\(h_{1}=2691.5 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}\) і виходить з турбіни під тиском\(100 \mathrm{~kPa}\) і специфічною ентальпією\(h_{2} = 2675.5 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}\). Вал турбіни обертається в\(2000 \mathrm{~rpm}\).
Повітря надходить в компресор з масовою витратою\(70 \mathrm{~kg} / \mathrm{min}\) в\(100 \mathrm{~kPa}\)\(300 \mathrm{~K}\) і і виходить з компресора при\(500 \mathrm{~kPa}\) і\(460 \mathrm{~K}\). Вал компресора обертається в\(600 \mathrm{~rpm}\). Припустимо, що повітря можна моделювати як ідеальний газ з питомою нагріванням кімнатної температури.
Припустимо, що всі пристрої, показані на малюнку - турбіна, компресор і редуктор - працюють адіабатично в стаціонарних умовах з незначними змінами кінетичної та гравітаційної потенційної енергії.
.png)
Малюнок\(\PageIndex{11}\): Парова турбіна і повітряний компресор, з'єднані загальним валом, який проходить через редуктор редуктора.
(а) Визначити масову швидкість потоку пари в турбіну, в\(\mathrm{kg} / \mathrm{min}\).
(b) Визначте потужність вала, необхідну повітряному компресору, в\(\mathrm{kW}\).
(c) Визначити крутний момент, в\(\mathrm{N} \cdot \mathrm{m}\), що передається валом повітряного компресора.
Хід стиснення повітряного компресора можна змоделювати як замкнуту систему. Спочатку повітря всередині камери займає обсяг\(100 \mathrm{~cm}^{3}\) і має тиск\(100 \mathrm{~kPa}\) і температуру\(25^{\circ} \mathrm{C}\). Під час процесу стиснення газ слідує за процесом, коли продукт тиску та об'єму залишаються постійними, наприклад\(P V\kern-1.0em\raise0.3ex- = C\). Після процесу стиснення газ займає обсяг\(12.5 \mathrm{~cm}^{3}\). Припустимо, повітря можна моделювати як ідеальний газ з питомою теплотою кімнатної температури.
(а) Визначити масу повітря всередині поршня в\(\mathrm{kg}\).
(б) Визначте роботу, виконану на газі поршнем під час цього процесу стиснення, в кілоджоулі.
(c) Визначити тепловіддачу для процесу, в кілоджоулі.
Повторіть задачу 8.21 і цього разу припустимо, що повітря слідує за процесом, де\(P V\kern-1.0em\raise0.3ex-^{1.3} = C\).
Водопровідний кран у вашій ванній виробляє потік теплої води шляхом змішування гарячого потоку і холодного потоку. Ви регулюєте температуру, регулюючи витрати двох вхідних потоків. У холодний день міська вода надходить в будинок за адресою\(50^{\circ} \mathrm{F~} \left(510^{\circ} \mathrm{R}\right)\). Деяка частина цієї води відводиться до водонагрівача і нагрівається до температури\(140^{\circ} \mathrm{F~} \left(600^{\circ} \mathrm{R}\right)\).
Припустимо, що кран можна змоделювати як змішувальний трійник, як показано на малюнку. Крім того, можна припустити, що воду можна моделювати як нестисливе речовина з питомою нагріванням кімнатної температури. Досвід також показав, що для цього типу проблем зміни тиску, кінетичної енергії та потенційної енергії мають незначний вплив на відповідь; таким чином, ви можете нехтувати ними.
.png)
Малюнок\(\PageIndex{12}\): Змішувальний трійник для гарячих і холодних потоків води.
(а) Визначте стабільну об'ємну витрату холодної води, яка виробляє температуру теплої води,\(100^{\circ} \mathrm{F}\) якщо гаряча вода тече зі швидкістю\(0.100\) галонів на хвилину. [Підказка: Застосовуючи енергетичний баланс, замініть питому ентальпію\(h\) в енергетичному балансі її визначенням,\(h=u+p v=u+p / \rho\)]
(б) Перегляньте свій аналіз для частини (а) і перепишіть результати як функцію співвідношення витрат,\(\dot{m}_{\text{cold}} / \dot{m}_{\text{hot}}.\) Побудуйте свої результати двома способами:
- Ділянка А:\(T_{\text {warm}}\) vs.\(\dot{m}_{\text {cold}} / \dot{m}_{\text {hot}}\)
- Ділянка B:\(\left(T_{\text {warm}} - T_{\text {cold}}\right) / \left(T_{\text {hot}} - T_{\text {cold}}\right)\) vs.\(\dot{m}_{\text {cold}} / \dot{m}_{\text {hot}}\)
Що, якщо є, є перевагою Plot\(\mathrm{B}\) над ділянкою\(\mathrm{A}\)?
Водонагрівач на вимогу призначений для подачі гарячої води майже миттєво без необхідності постійно підтримувати резервуар з гарячою водою. Одна конструкція для електричного водонагрівача на вимогу показана на малюнку нижче. Для цілей аналізу можна вважати, що водонагрівач працює в стаціонарних умовах відразу після включення живлення.
.png)
Малюнок\(\PageIndex{13}\): Вода тече через резервуар, що містить опорно-нагрівальний елемент.
Ця конструкція повинна подавати 3 галони води в хвилину на постійній основі. Він також розрахований на роботу при 220 вольт змінного струму. Температура води, що надходить, є\(60^{\circ} \mathrm{F}\) і температура води, що виходить\(140^{\circ} \mathrm{F}\). Воду можна моделювати як нестисливе речовина. Зміни кінетичної та потенційної енергії незначні.
(а) Визначити масову витрату води, в\(\mathrm{lbm} / \mathrm{s}\).
(b) Визначте вимоги до електроенергії для роботи водонагрівача відповідно до проекту, в\(\mathrm{kW}\).
(в) Визначити опір опору нагрівального елементу, в Омах.
Електродвигун використовується для живлення змішувача на заводі хімічного процесу. Електродвигун працює при\(1800 \mathrm{~rpm}\) (оборотів в хвилину). Для зниження частоти обертання вал двигуна з'єднують з редуктором швидкості з подальшим\(90^{\circ}\) приводом. Про всі компоненти відома наступна інформація:
- Електродвигун: адіабатичний, стаціонарний режим роботи; швидкість\(1800 \mathrm{~rpm}\) вала.
- Редуктор\(15: 1\) швидкості: зменшення швидкості; стабільна робота; швидкість передачі тепла від системи -\(10 \%\) потужність, що подається вхідним валом.
- \(90^{\circ}\)-Привід: адіабатична, стабільна робота; зниження\(6: 5\) швидкості.
- Вал змішувача: Необхідний крутний момент є\(500 \mathrm{~ft} \cdot \mathrm{lbf}\).
Крім того, в\(1000 \mathrm{~ft}^{3}\) резервуарі міститься рідина з щільністю\(70 \mathrm{~lbm} / \mathrm{ft}^{3}\). Питома внутрішня енергія рідини в резервуарі може бути розрахована за допомогою рівняння,\(u=c \cdot T\) де температура знаходиться в градусах Ренкіна\(\left({ }^{\circ} \mathrm{R}\right)\) і\(c=1.5 \mathrm{Btu} / left(\mathrm{lbm} \cdot { }^{\circ} \mathrm{R}\right)\).
.png)
Малюнок\(\PageIndex{14}\): Змішувач працює від електродвигуна, оснащеного редуктором швидкості.
(а) Визначте швидкість обертання вихідного вала редуктора швидкості та вала змішувача, в\(\mathrm{rpm}\).
(b) Визначте потужність вала, необхідну для повороту вала змішувача, в\(\mathrm{ft} \cdot \mathrm{lbf} / \mathrm{s}\) і\(\mathrm{hp}\).
(c) Визначте потужність, що подається вхідним валом до\(90^{\circ}\)- приводу, в\(\mathrm{ft} \cdot \mathrm{lbf} / \mathrm{s}\) і\(\mathrm{hp}\).
(d) Визначте швидкість передачі тепла від редуктора швидкості та потужність, що подається на редуктор швидкості валом двигуна, в\(\mathrm{ft} \cdot \mathrm{lbf} / \mathrm{s}\) і\(\mathrm{hp}\).
(е) Визначте електроенергію, яка повинна подаватися до двигуна\(\mathrm{ft} \cdot \mathrm{lbf}\), в\(\mathrm{hp}\), і\(\mathrm{kW}\).
(f) Визначити крутний момент, в\(\mathrm{ft} \cdot \mathrm{lbf}\), що подається двигуном.
(g) Якщо змішувач працює протягом однієї години (60 хвилин), а бак по суті адіабатичний, визначте підвищення температури рідини в резервуарі. (Ви можете знехтувати змінами кінетичної та потенційної енергії.)
Два потоки повітря змішуються в стаціонарному, змішувальному процесі. Потік один надходить при температурі\(36^{\circ} \mathrm{C}\) і масовому витраті\(5 \mathrm{~kg} / \mathrm{min}\). Потік два входить в\(10^{\circ} \mathrm{C}\) і\(15 \mathrm{~kg} / \mathrm{min}\). Весь процес змішування відбувається в сильно ізольованому трійнику для змішування листового металу і відбувається під тиском\(110 \mathrm{~kPa}\). У трійник вбудований нагрівальний елемент електричного опору, щоб можна було контролювати температуру на виході. Припустимо, що зміни кінетичної та гравітаційної потенційної енергії незначні і що повітря можна моделювати як ідеальний газ з питомою нагріванням кімнатної температури.
.png)
Малюнок\(\PageIndex{15}\): Потоки повітря змішуються в змішувальному трійнику, який містить нагрівальний елемент.
(а) Якщо нагрівач електричного опору вимкнений, визначте температуру повітря, що виходить із змішувального трійника, в\({ }^{\circ} \mathrm{C}\), і об'ємну швидкість потоку повітря, що виходить із змішувального трійника, в\(\mathrm{m}^{3} / \mathrm{s}\).
(b) Якщо температура потоку низької температури падає від\(10^{\circ} \mathrm{C}\) до\(3^{\circ} \mathrm{C}\), скільки енергії повинен подавати електричний нагрівач для підтримки тієї ж температури на виході, як ви знайшли в частині (а)?
Відцентровий насос приводиться в рух електродвигуном, як показано на малюнку. Вода стабільно тече через насос з показаними на малюнку режимами впуску і виходу. Електродвигун 440\(42 \mathrm{~kW}\) змінного струму отримує електричну потужність і подає\(40 \mathrm{~kW}\) потужність вала насосу в стаціонарних умовах. Двигун обертається при\(1750 \mathrm{~rpm}\) і має коефіцієнт потужності одиниці. Припустимо, що воду можна моделювати як нестисливе речовина з постійними питомими нагріваннями, і припустити, що зміни гравітаційної потенційної енергії незначні.
.png)
Малюнок\(\PageIndex{16}\): Електродвигун приводить в рух відцентровий водяний насос.
(а) Визначити напрямок і величину швидкості теплопередачі для насоса, в кіловатах.
(b) Визначити крутний момент, що передається валом двигуна насосу, в\(\mathrm{N} \cdot \mathrm{m}\).
(c) Визначте електричний струм, що подається на двигун, в амперах.
Поршнево-циліндровий пристрій, як показано на малюнку, містить газ гелію. Спочатку газ має тиск\(70 \mathrm{~psia}\), температуру і обсяг\(7 \mathrm{~ft}^{3}\).\(600^{\circ} \mathrm{R}\) Під час процесу\(P V=C\), коли константа, гелій розширюється до кінцевого обсягу\(28 \mathrm{~ft}^{3}\). Припустимо, що газ гелію можна моделювати як ідеальний газ з постійними питомими нагріваннями і припустити, що зміни кінетичної та потенційної енергії незначні.
Визначте напрямок і величину роботи і тепловіддачу для гелієвого газу, в\(\mathrm{ft} \cdot \mathrm{lbf}\).
.png)
Малюнок\(\PageIndex{17}\): Поршнево-циліндровий пристрій містить гелієвий газ.
Поршнево-циліндровий пристрій містить вуглекислий\(\left(\mathrm{CO}_{2}\right)\) газ, який спочатку займає обсяг\(V_{1}\) при тиску\(P_{1}\) і температурі,\(T_{1}\) зазначених нижче. Газ проходить процес, описаний нижче:\[\begin{array}{l} & \text { State } 1: P_{1}=150 \mathrm{~kPa} ; \quad T_{1}=400 \mathrm{~K} ; \quad V_{1}=0.5 \mathrm{~m}^{3} \\ & \text { Process 1-2: Quasistatic process where } P=\left(300 \mathrm{~kPa} / \mathrm{m}^{3}\right) V \\ &\text { State } 2: V_{2}=1.0 \mathrm{~m}^{3} \end{array} \nonumber \] Припустимо, що вуглекислий газ можна моделювати як ідеальний газ з постійними питомими нагріваннями і що зміни кінетичної та гравітаційної потенційної енергії незначні для процесу.
Визначають роботу і тепловіддачу енергії для процесу\(1 \text{-} 2\), в\(\mathrm{kJ}\). Обов'язково також чітко вказуйте напрямок кожної передачі енергії.
Система рекуперації енергії відновлює енергію з гарячого масла за допомогою рідинно-повітряного теплообмінника для нагрівання повітря. Світле масло протікає через теплообмінник зі швидкістю потоку\(100 \mathrm{~lbm} / \mathrm{min}\). Масло надходить при\(80 \mathrm{~psia}\)\(200^{\circ} \mathrm{F}\), і виходить при\(70 \mathrm{~psia}\) і\(100^{\circ} \mathrm{F}\). Повітря надходить в теплообмінник при\(14.8 \mathrm{~psia}\)\(80 \mathrm{~F}\) і об'ємній швидкості потоку\(17,550 \mathrm{~ft}^{3} / \mathrm{min}\). Тиск на виході повітря становить\(14.6 \mathrm{~psia}\). Припустимо, що зміни кінетичної та гравітаційної потенційної енергії незначні. Також припустимо, що повітря можна моделювати як ідеальний газ з постійними питомими нагріваннями, а рідка вода може бути змодельована як нестисливе речовина з постійними питомими нагріваннями. Щільність світлого масла становить\(62.4 \mathrm{~lbm} / \mathrm{ft}^{3}\).
.png)
Малюнок\(\PageIndex{18}\): Теплообмінник для гарячого масла і прохолодного повітря.
(а) Визначити температуру повітря на виході, в\({ }^{\circ} \mathrm{F}\).
(b) Визначте площу вхідного потоку для повітря, якщо швидкість на вході дорівнює\(50 \mathrm{~ft} / \mathrm{s}\).
(c) Визначте площу вхідного потоку для масла, якщо швидкість на вході дорівнює\(10 \mathrm{~ft} / \mathrm{s}\)
Жорсткий накопичувальний бак для води в домашніх умовах має обсяг\(0.40 \mathrm{~m}^{3}\). Бак спочатку містить\(0.30 \mathrm{~m}^{3}\) воду при\(20^{\circ} \mathrm{C}\) і\(240 \mathrm{~kPa}\). Простір над водою містить повітря тієї ж температури і тиску, що і вода. Додаткова\(0.05 \mathrm{~m}^{3}\) вода повільно закачується в бак, щоб температура повітря залишалася постійною протягом всього процесу наповнення. Припустимо, що повітря поводиться як ідеальний газ з постійними питомими нагріваннями, а зміни кінетичної та потенційної енергій газу, захопленого над водою, незначні.
.png)
Малюнок\(\PageIndex{19}\): Вода закачується в високий резервуар знизу.
(а) Визначити кінцевий тиск повітря в резервуарі, в\(\mathrm{kPa}\).
(b) Визначте роботу та тепловіддачу газу під час цього процесу ізотермічного стиснення. Повідомляють як напрямок, так і величину цих переносів енергії в кілоджоулі.
Рідка вода надходить в стаціонарний насос\(20^{\circ} \mathrm{C}\) зі швидкістю\(1.0 \mathrm{~bar}\) і зі швидкістю\(2.6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\) через отвір\(22.0 \mathrm{~cm}^{2}\). Вода виходить з насоса при\(6.0 \mathrm{~bars}\) і\(7.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\). Висота виходу насоса -\(0.5\) метри вище висоти вхідного отвору насоса. Припустимо, вода може бути змодельована як нестисливе речовина з постійними питомими нагріваннями і щільністю\(1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\).
.png)
Малюнок\(\PageIndex{20}\): Вода піднімається під тиском і висотою стаціонарним насосом.
(а) Визначте відношення діаметра вихідної труби до діаметра вхідної труби, наприклад\(D_{2} / D_{1}\).
(б) Припускаючи, що насос працює адіабатично і температура води не змінюється\(T_{1}=T_{2}\), тобто визначити потужність вала, необхідну для роботи насоса в кіловатах і кінських силах.
(в) Повторіть частину (b), тільки на цей раз припускаємо, що температура води збільшується на\(0.10^{\circ} \mathrm{C}\). Як це змінює вхідну потужність вала на насос?
Повітря тече через просту насадку, як показано на малюнку. Насадка являє собою жорстку порожнисту трубку, сторони якої контурні, як показано на малюнку. При правильній роботі швидкість рідини, що виходить з пристрою, більше швидкості рідини, що надходить в пристрій. Стінки сопла жорсткі і непроникні, за винятком ділянок входу і виходу. Зазвичай тепловіддача від сопла незначна.
Повітря надходить в стаціонарне сопло при стані 1\(200 \mathrm{~kPa}\)\(300 \mathrm{~K}\) і зі швидкістю і виходить з форсунки в стані 2 з тиском\(100 \mathrm{~kPa}\) і температурою\(246 \mathrm{~K}\).\(48 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\) Зміни гравітаційної потенційної енергії незначні. Припустимо, що повітря діє як ідеальний газ з питомою нагріванням кімнатної температури.
.png)
Малюнок\(\PageIndex{21}\): Повітря протікає через стійке сопло.
(а) Визначити швидкість повітря, що виходить з сопла, в\(\mathrm{m} / \mathrm{s}\). Використовуйте систему, зображену на малюнку.
(b) Визначити відношення площі виходу до площі впуску,\(A_{2} / A_{1}\).
(c) Як би змінився ваш аналіз, якби система була збільшена так, щоб вона включала боковину сопла? Пояснення - це все, що потрібно. Ніяких цифр не потрібно.
Рідка вода стабільно тече через адіабатичну форсунку. Вода надходить в сопло з незначною швидкістю при\(600 \mathrm{~kPa}\)\(100^{\circ} \mathrm{C}\) і виходить з форсунки під тиском\(400 \mathrm{~kPa}\). Припустимо, що рідку воду можна моделювати як нестисливе речовина з питомими нагріваннями кімнатної температури.
(а) Визначити швидкість виходу рідкої води\(\mathrm{m} / \mathrm{s}\), в, це температура виходу рідкої води\(100^{\circ} \mathrm{C}\).
(b) Повторіть частину (а) лише на цей раз припускайте, що температура на виході є\(100.01^{\circ} \mathrm{C}\).
Через клеми 12-вольтового автомобільного акумулятора підключений\(10,000 \Omega\) резистор. Тепловіддача відбувається від поверхні резистора шляхом природної конвекційної тепловіддачі відповідно до співвідношення,\[\dot{Q}_{\text {out}}=h_{\text {conv }} A_{\text {surface}}\left(T_{\text {surface}}-T_{\text {amb}}\right) \nonumber \] де
\(h_{\text {conv}}=5 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{K}\right)\), Коефіцієнт тепловіддачі конвекції.
\(A_{\text{surface}} = 1.8 \mathrm{~cm}^{2}\), Площа поверхні резистора.
\(T_{\text {surface}}=\)температура поверхні резистора, в градусах Кельвіна.
\(T_{\text{amb}}=\)температура навколишнього повітря, що оточує резистор, скажімо\(300 \mathrm{~K}\).
(а) Намалюйте систему, що показує резистор і акумулятор.
(б) Обчисліть постійний струм через резистор, в амперах, і електричну потужність, що подається на резистор, у ватах.
(c) Якщо батарея підключена протягом 30 хвилин і тепловіддача від батареї незначна, визначте зміну внутрішньої енергії батареї.
(d) Визначити температуру поверхні резистора за умови сталого стану, в\(\mathrm{K}\).
(e) Якби другий і однаковий резистор був розміщений паралельно поперек клем акумулятора і встановлені нові стаціонарні умови, чи буде температура поверхні резисторів збільшуватися, зменшуватися або залишитися незмінною? Поясніть і підтримайте свою відповідь.
Трансформатор змінного струму забезпечується електричною потужністю 230 Вт з вхідною напругою 220 вольт змінного струму і коефіцієнтом потужності одиниці. Вихід трансформатора знаходиться\(1.9 \mathrm{~A}\) на\(110 \mathrm{~V}\) змінному струмі з коефіцієнтом потужності одиниці. Площа поверхні теплопередачі для трансформатора може бути змодельована у вигляді\(10 \mathrm{~cm} \times 10 \mathrm{~cm} \times 10 \mathrm{~cm}\) куба. Коефіцієнт конвекції тепловіддачі у трансформатора дорівнює\(\mathrm{h}_{\text {conv}}=6 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{K}\).
(а) Визначте вхідний струм змінного струму до трансформатора, в амперах.
(б) Визначити швидкість тепловіддачі від трансформатора при стаціонарних умовах експлуатації, в\(\mathrm{W}\).
(c) Визначте стабільну температуру поверхні трансформатора, якщо температура навколишнього повітря є\(25^{\circ} \mathrm{C}\).
Просте поршнево-циліндровий пристрій містить гелій. Замкнута система, утворена гелієм в пристрої, виконує чотирипроцесний цикл з незначними змінами кінетичної і потенційної енергії. Припустимо, гелій можна моделювати як ідеальний газ з питомою теплотою кімнатної температури. Доступна інформація про процес і стан докладно наведена в таблиці нижче:
| \(T\) | \(P\) | \(V\) | \(Q_{\text{in}}\) \((\mathrm{kJ})\) | \(W_{\text {in}}\) \((\mathrm{kJ})\) | \(\Delta U\) \((\mathrm{kJ})\) | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Держава 1 | \ (T\)» клас = «lt-анг-84367">\(400 \mathrm{~K}\) | \ (P\) ">\(500 \mathrm{~kPa}\) | \ (V\) ">\(0.5 \mathrm{~m}^{3}\) | \ (Q_ {\ text {in}}\)\((\mathrm{kJ})\) «> | \ (W_ {\ text {in}}\)\((\mathrm{kJ})\) "клас="lt-eng-84367"> | \ (\ Дельта U\)\((\mathrm{kJ})\) "клас ="lt-анг-84367"> |
| Процес 1-2 | \ (V\)» rowspan = «1" Клас = «LT-ENG-84367">Постійне стиснення тиску | \ (Q_ {\ text {in}}\)\((\mathrm{kJ})\) «> | \ (W_ {\ text {in}}\)\((\mathrm{kJ})\) "клас="lt-eng-84367"> | \ (\ Дельта U\)\((\mathrm{kJ})\) "клас ="lt-анг-84367"> | ||
| Держава 2 | \ (T\)» клас = «lt-анг-84367">\(160 \mathrm{~K}\) | \ (P\) ">\(500 \mathrm{kPa}\) | \ (V\) ">\(0.2 \mathrm{~m}^{3}\) | \ (Q_ {\ text {in}}\)\((\mathrm{kJ})\) «> | \ (W_ {\ text {in}}\)\((\mathrm{kJ})\) "клас="lt-eng-84367"> | \ (\ Дельта U\)\((\mathrm{kJ})\) "клас ="lt-анг-84367"> |
| Процес 2-3 | \ (V\)» rowspan="1" Клас="lt-eng-84367">Розширення з\(p V=\) константою | \ (Q_ {\ text {in}}\)\((\mathrm{kJ})\) «> | \ (W_ {\ text {in}}\)\((\mathrm{kJ})\) "клас="lt-eng-84367"> | \ (\ Дельта U\)\((\mathrm{kJ})\) "клас ="lt-анг-84367"> | ||
| Держава 3 | \ (T\)» клас = «lt-анг-84367">\(160 \mathrm{~K}\) | \ (P\) ">\(100 \mathrm{kPa}\) | \ (V\) ">\(1.0 \mathrm{~m}^{3}\) | \ (Q_ {\ text {in}}\)\((\mathrm{kJ})\) «> | \ (W_ {\ text {in}}\)\((\mathrm{kJ})\) "клас="lt-eng-84367"> | \ (\ Дельта U\)\((\mathrm{kJ})\) "клас ="lt-анг-84367"> |
| Процес 3-4 | \ (V\)» rowspan = «1" Клас = «LT-ENG-84367" > Нагрівання постійного обсягу | \ (Q_ {\ text {in}}\)\((\mathrm{kJ})\) «> | \ (W_ {\ text {in}}\)\((\mathrm{kJ})\) "клас="lt-eng-84367"> | \ (\ Дельта U\)\((\mathrm{kJ})\) "клас ="lt-анг-84367"> | ||
| Штат 4 | \ (T\)» клас = "лт-анг-84367">252 К | \ (P\) ">\(158 \mathrm{kPa}\) | \ (V\) ">\(1.0 \mathrm{~m}^{3}\) | \ (Q_ {\ text {in}}\)\((\mathrm{kJ})\) «> | \ (W_ {\ text {in}}\)\((\mathrm{kJ})\) "клас="lt-eng-84367"> | \ (\ Дельта U\)\((\mathrm{kJ})\) "клас ="lt-анг-84367"> |
| Процес 4-1 | \ (P\)» rowspan = «1" Клас="lt-eng-84367">Адіабатичне стиснення | \ (V\) "> | \ (Q_ {\ text {in}}\)\((\mathrm{kJ})\) «> | \ (W_ {\ text {in}}\)\((\mathrm{kJ})\) "клас="lt-eng-84367"> | \ (\ Дельта U\)\((\mathrm{kJ})\) "клас ="lt-анг-84367"> | |
(а) Розрахувати роботу та тепловіддачу для кожного процесу в циклі. Чітко покажіть свою роботу
(б) Виходячи з вашого аналізу в частині (а), чи є цикл силовим циклом (тепловим двигуном) або холодильником? Чітко вкажіть свої міркування.
(c) Виходячи з вашої відповіді на частину (b), розрахуйте відповідний показник продуктивності, наприклад, теплову ефективність циклу потужності або коефіцієнт продуктивності холодильника.
Газ міститься в простому поршнево-циліндровому пристрої. Зміни кінетичної та потенційної енергії незначні для цієї замкнутої системи. Про чотири процеси, що складають цикл, відома наступна інформація:
| Процес | Опис | \(Q_{\mathrm{in}} / \mathrm{m}\) \((\mathrm{kJ} / \mathrm{kg})\) |
\(W_{\mathrm{in}} / \mathrm{m}\) \((\mathrm{kJ} / \mathrm{kg})\) |
\(\Delta u\) \((\mathrm{kJ} / \mathrm{kg})\) |
|---|---|---|---|---|
| \(1 \cdots 2\) | Адіабатичне стиснення | \ (Q_ {\ mathrm {in}}/\ mathrm {m}\)\((\mathrm{kJ} / \mathrm{kg})\) «>\ (0) | \ (W_ {\ mathrm {in}}/\ mathrm {m}\)\((\mathrm{kJ} / \mathrm{kg})\) «>\(458.73\) | \ (\ Дельта u\)\((\mathrm{kJ} / \mathrm{kg})\) «> |
| \(2 \cdots 3\) | Ізобарне опалення | \ (Q_ {\ mathrm {in}}/\ mathrm {m}\)\((\mathrm{kJ} / \mathrm{kg})\) «>\(+1038.12\) | \ (W_ {\ mathrm {in}}/\ mathrm {m}\)\((\mathrm{kJ} / \mathrm{kg})\) «> | \ (\ Дельта u\)\((\mathrm{kJ} / \mathrm{kg})\) «>\(811.20\) |
| \(3 \cdots 4\) | адіабатичне розширення | \ (Q_ {\ mathrm {in}}/\ mathrm {m}\)\((\mathrm{kJ} / \mathrm{kg})\) «>\(0\) | \ (W_ {\ mathrm {in}}/\ mathrm {m}\)\((\mathrm{kJ} / \mathrm{kg})\) «> | \ (\ Дельта u\)\((\mathrm{kJ} / \mathrm{kg})\) «>\(-819.65\) |
| \(4 \cdots 1\) | Постійне об'ємне охолодження | \ (Q_ {\ mathrm {in}}/\ mathrm {m}\)\((\mathrm{kJ} / \mathrm{kg})\) «>\(-450.23\) | \ (W_ {\ mathrm {in}}/\ mathrm {m}\)\((\mathrm{kJ} / \mathrm{kg})\) «>\(0\) | \ (\ Дельта u\)\((\mathrm{kJ} / \mathrm{kg})\) «> |
| Всього | \(\cdots \cdots\) | \ (Q_ {\ mathrm {in}}/\ mathrm {m}\)\((\mathrm{kJ} / \mathrm{kg})\) «> | \ (W_ {\ mathrm {in}}/\ mathrm {m}\)\((\mathrm{kJ} / \mathrm{kg})\) «> | \ (\ Дельта u\)\((\mathrm{kJ} / \mathrm{kg})\) «> |
(a) Заповніть таблицю, надавши числові значення для невідомих тепловіддачі та робочих передач.
(б) Це цикл живлення або холодильник? Поясніть, як ви прийняли це рішення
(c) Виходячи з вашої відповіді на частину (b), розрахуйте відповідний показник продуктивності: теплову ефективність для силового циклу або коефіцієнт продуктивності для холодильника.
Поршнево-циліндровий вузол містить газ, який проходить ряд процесів, що складають цикл. Припустимо, що зміни кінетичної та гравітаційної потенційної енергії незначні. Про цикл відома наступна інформація про стан та процес:
| Держава/Процес | \(P\)\((\mathrm{kPa})\) | \(V\)\((\mathrm{m}^{3})\) | \(T\)\(({ }^{\circ} \mathrm{C})\) | \(U\)\((\mathrm{kJ})\) |
|---|---|---|---|---|
| \(1\) | \ (P\)\((\mathrm{kPa})\) «>\(95\) | \ (V\)\((\mathrm{m}^{3})\) «>\(0.00570\) | \ (Т\)\(({ }^{\circ} \mathrm{C})\) «>\(20\) | \ (U\)\((\mathrm{kJ})\) «>\(1.47\) |
| \(1 \rightarrow 2\) | \ (U\)\((\mathrm{kJ})\) "rowspan = «1" Клас="lt-eng-84367">Адіабатичне стиснення | |||
| \(2\) | \ (P\)\((\mathrm{kPa})\) «>\(2390\) | \ (V\)\((\mathrm{m}^{3})\) «>\(0.00057\) | \ (Т\)\(({ }^{\circ} \mathrm{C})\) «>\(465\) | \ (U\)\((\mathrm{kJ})\) «>\(3.67\) |
| \(2 \rightarrow 3\) | \ (U\)\((\mathrm{kJ})\) "rowspan = «1" Клас = «LT-ENG-84367">Постійний тиск | |||
| \(3\) | \ (P\)\((\mathrm{kPa})\) «>\(2390\) | \ (V\)\((\mathrm{m}^{3})\) «>\(0.00171\) | \ (Т\)\(({ }^{\circ} \mathrm{C})\) «>\(1940\) | \ (U\)\((\mathrm{kJ})\) «>\(11.02\) |
| \(3 \rightarrow 4\) | \ (U\)\((\mathrm{kJ})\) "rowspan = «1" Клас="LT-eng-84367">Адіабатичне розширення | |||
| \(4\) | \ (P\)\((\mathrm{kPa})\) «>\(445\) | \ (V\)\((\mathrm{m}^{3})\) «>\(0.00570\) | \ (Т\)\(({ }^{\circ} \mathrm{C})\) «>\(1095\) | \ (U\)\((\mathrm{kJ})\) «>\(6.79\) |
| \(4 \rightarrow 1\) | \ (U\)\((\mathrm{kJ})\) "rowspan = «1" клас = «lt-eng-84367">Постійний обсяг | |||
(а) Визначте тепловіддачу та роботу для кожного процесу циклу.
(б) Це цикл живлення або холодильник? Поясніть, як ви прийняли своє рішення!
(c) Обчисліть відповідний показник продуктивності (СС) для цього циклу на основі частини (b).
Цикл теплового насоса доставляє енергію тепловіддачею в житло зі швидкістю\(60,000 \mathrm{~Btu} / \mathrm{h}\). Потужність, що вводиться в цикл, є\(7.8 \mathrm{~hp}\).
(а) Визначити коефіцієнт продуктивності для циклу.
(b) Якщо теплові насоси працюють по 12 годин на добу, скільки електричної енергії потрібно для роботи теплового насоса протягом одного дня?
(c) Якщо електроенергія коштує\(\$ 0.08\) за кіловат-годину, скільки коштує місяць працювати тепловим насосом?
(d) Якщо вся передача тепла в будинок забезпечується електроопорною піччю, піч вимагатиме введення електроенергії\(60,000 \mathrm{~Btu} / \mathrm{~h}\). Скільки б коштувало в місяць опалювати будинок електропіччю опору?
(e) Яку систему ви б порекомендували покупцеві будинку на основі інформації про ваші експлуатаційні витрати - тепловий насос або електропіч?
Енергетичний цикл виробляє електроенергію і має тепловий ККД\(33 \%\). Електрика від силового циклу використовується для запуску холодильного циклу, який має КС\(4\). Холодильний цикл отримує\(4,000 \mathrm{~Btu} / \mathrm{h}\) енергію шляхом теплопередачі при низькій температурі. [Підказка: Це може допомогти вам намалювати обидві системи, що показують всі відповідні теплопередачі та робочі передачі енергії.]
(а) Визначте електричну потужність, необхідну для запуску холодильного циклу, в\(\mathrm{Btu} / \mathrm{s}\) і\(\mathrm{hp}\).
(b) Визначити загальну швидкість теплопередачі енергії в силовий цикл, якщо вся його вихідна потужність буде керувати циклом охолодження, в\(\mathrm{Btu} / \mathrm{s}\) і\(\mathrm{hp}\).
Під час операції змішування залізної руди відро, повне руди, підвішується до ходового крана, який рухається по стаціонарному мосту. Ківш повинен гойдатися не більше\(4 \mathrm{~m}\) горизонтально при доведенні крана до раптової зупинки. Визначте максимально допустиму швидкість\(v\) роботи крана.
.png)
Малюнок\(\PageIndex{22}\): Ківш звисає від ходового крана через 10-метровий трос.
Пакети скидають вниз під\(A\) нахилом зі швидкістю\(4 \mathrm{~ft} / \mathrm{s}\). Пакети ковзають по поверхні\(ABC\) до конвеєрної стрічки, яка рухається зі швидкістю\(\8 mathrm{~ft} / \mathrm{s}.\) Знаючи, що\(\mu_{\mathrm{k}}=0.25\) між пакетами і поверхнею\(\\) визначають відстань,\(d\) якщо пакети повинні прибути. \(C\)при швидкості 8\(\mathrm{ft} / \mathrm{s}\).
.png)
Малюнок\(\PageIndex{23}\): A package slides down an incline whose base connects to a horizontal platform.
An elastic cable is to be designed for bungee jumping from a tower \(130 \mathrm{~ft}\) high. The specifications call for the cable to be \(85 \mathrm{~ft}\) long when unstretched, and to stretch to a total length of \(100 \mathrm{~ft}\) when a \(600 \text{-lb}\) weight is attached to it and dropped from the tower. Determine:
(a) the required spring constant \(\mathrm{k}\) of the cable,
(b) how close to the ground a \(185 \text{-lb}\) man will come if he uses this cable to jump from the tower, and
(c) the maximum acceleration experienced by the man.
.png)
Figure \(\PageIndex{24}\): A bungee cable is attached to the top of a \(130 \text{-ft}\) tower.
The \(4 \mathrm{~lbf}\) object is dropped 5 feet onto the \(20 \mathrm{~lbf}\) block that is initially at rest on two springs, each with a stiffness \(\mathrm{k}=5 \mathrm{~lb} / \mathrm{in}\). Calculate the maximum deflection of the springs assuming the two objects stick together after the impact.
.png)
Figure \(\PageIndex{25}\): One object is dropped onto another supported by springs.
The system is at rest in the position shown, with the \(10 \mathrm{~kg}\) collar \(A\) resting on the spring \((\mathrm{k}=500 \mathrm{~N} / \mathrm{m})\), when a constant \(0.5 \mathrm{~kN}\) force is applied to the cable. What is the velocity of the collar when it has risen \(0.2 \mathrm{~m}\) ? Assume there is no friction between the vertical shaft and \(A\).
.png)
Figure \(\PageIndex{26}\): Sliding collar with an applied tension rests on top of a spring.
Two kg of air (assume ideal gas) in a piston-cylinder device undergoes a thermodynamic cycle consisting of three processes, each with negligible kinetic and gravitational potential energy.
Process:
\(1 \rightarrow 2\) Constant Volume
\(2 \rightarrow 3\) : Compression with \(P=-\left(250 \mathrm{~kPa} / \mathrm{m}^{3}\right) V + 550 \mathrm{~kPa}\)
\(3 \rightarrow 1\) : Adiabatic Expansion
.png)
Figure \(\PageIndex{27}\): Pressure-volume relationships between three states of an ideal gas.
a) Complete the table given (Show work for full credit)
b) Is it a power cycle or a refrigeration cycle? Be sure to explain your answer.
| Process | \(Q_{\text{in}}\) \((\mathrm{kJ})\) | \(W_{\text{in}}\) \((\mathrm{kJ})\) | \(U_{\text{final}} - U_{\text{initial}}\) \((\mathrm{kJ})\) |
|---|---|---|---|
| \(1->2\) | \(Q_{\text{in}}\) \((\mathrm{kJ})\)"> | \(W_{\text{in}}\) \((\mathrm{kJ})\)">\(0\) | \(U_{\text{final}} - U_{\text{initial}}\) \((\mathrm{kJ})\)"> |
| \(2->3\) | \(Q_{\text{in}}\) \((\mathrm{kJ})\)"> | \(W_{\text{in}}\) \((\mathrm{kJ})\)"> | \(U_{\text{final}} - U_{\text{initial}}\) \((\mathrm{kJ})\)"> |
| \(3->1\) | \(Q_{\text{in}}\) \((\mathrm{kJ})\)"> | \(W_{\text{in}}\) \((\mathrm{kJ})\)"> | \(U_{\text{final}} - U_{\text{initial}}\) \((\mathrm{kJ})\)"> |
| NET | \(Q_{\text{in}}\) \((\mathrm{kJ})\)"> | \(W_{\text{in}}\) \((\mathrm{kJ})\)"> | \(U_{\text{final}} - U_{\text{initial}}\) \((\mathrm{kJ})\)"> |
Block \(A\) with mass \(m_{A}=10 \mathrm{~kg}\) slides to the right on a horizontal frictionless surface with an initial velocity of \(10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\) until it hits a Bumper \(B\) with mass \(m_{B}\). The Bumper \(B\) is attached to a linear, massless spring with a spring constant \(k=1000 \mathrm{~N} / \mathrm{m}\). The spring is initially unloaded and uncompressed. The bumper is designed so that the spring can only be compressed. Consider the distance required to stop Block \(A\) for two different cases.
.png)
Figure \(\PageIndex{28}\): Two blocks on a horizontal surface, one connected to a support via spring.
(a) Case I: Determine how far Block \(A\) travels after it impacts the bumper if the impact is purely plastic (perfectly inelastic), i.e. Block \(A\) and Bumper \(B\) stick together after they contact, and the bumper is massless, i.e. \(m_{B}=0 \mathrm{~kg}\).
(b) Case II: Repeat Part (a), only this time assume that the bumper has mass \(m_{B}=5 \mathrm{~kg}\). For this part assume that the motion of the Bumper \(B\) is negligible, i.e. spring force is negligible, during the impact between Block \(A\) and the Bumper \(B\).
A light rod with a fixed collar of mass \(m=10 \mathrm{~kg}\) is initially at rest in the inclined position shown in the figure. It is then rotated counter-clockwise about the pivot \(B\) from rest by the constant force \(\mathbf{P}\) until it is brought to rest in the horizontal position by the linear spring which has a spring constant of \(k=40 \mathrm{~kN} / \mathrm{m}\). The spring is compressed from its free (uncompressed) length by \(50 \mathrm{~mm}\) when the rod comes to rest. Assume the mass of the rod is negligible.
.png)
Figure \(\PageIndex{29}\): A rod with an attached mass is pivoted by application of a constant force.
(a) Determine the work done by the force \(\mathbf{P}\) to rotate the rod from \(C_{1}\) to \(C_{2}\), in joules.
(b) Determine the magnitude of force \(\mathbf{P}\), in newtons.
A centrifugal pump is driven by an electric motor as shown in the figure. Water flows steadily through the pump with the inlet and outlet conditions shown in the figure. The 440-ac-volt electric motor receives \(42 \mathrm{~kW}\) of electrical power and delivers \(40 \mathrm{~kW}\) of shaft power to the pump under steady-state conditions. The motor rotates at \(1750 \mathrm{~rpm}\) and has a power factor of unity. Assume that water can be modeled as an incompressible substance with constant specific heats, and assume changes in gravitational potential energy are negligible.
.png)
Figure \(\PageIndex{30}\): An electric motor powers a centrifugal pump for water.
(a) Determine the direction and magnitude of the heat transfer rate for the pump, in kilowatts.
(b) Determine the torque transmitted by the motor shaft to the pump, in \(\mathrm{N}-\mathrm{m}\).
(c) Determine the electric current supplied to the motor, in amps.
A piston-cylinder device contains helium gas. Initially, the gas has a pressure of \(70 \mathrm{~psia}\), a temperature of \(600^{\circ} \mathrm{R}\), and a volume of \(7 \mathrm{~ft}^{3}\). During a process where \(P V=C\), a constant, the helium is expanded to a final volume of \(28 \mathrm{~ft}^{3}\). Assume that helium gas can be modeled as an ideal gas with constant specific heats and assume that changes in kinetic and potential energy are negligible.
Determine the direction and the magnitude of the work and the heat transfer for the helium gas, in \(\mathrm{ft} \cdot \mathrm{lbf}\).
Air is contained inside of a piston-cylinder device that also contains an electric resistance heating element (see the figure). The cylinder walls and piston are heavily insulated giving an adiabatic boundary. The air expands from State 1 to State 2 in a constant pressure (isobaric) process.
During the expansion process electrical energy is supplied to the resistance heating element. For purposes of this analysis, you may assume that the heating element has negligible mass. Assume that air can be modeled as an ideal gas with room temperature specific heats. Also assume changes in kinetic and gravitational potential energy are negligible.
.png)
Figure \(\PageIndex{31}\): State information of air in a piston-cylinder device containing a resistance heating element.
(a) Determine the temperature of the gas in State 2.
(b) Determine the direction and magnitude of the transfer of energy by electric work for the process, in \(\mathrm{kJ}\).
The Collar \(A\) is released from rest at the position shown in the figure and slides up the fixed rod under the action of a constant force \(P\) applied to the cable. The rod is inclined at \(30^{\circ}\) from the horizontal as shown in the figure, and the position of the small pulley \(B\) is fixed. When the collar has traveled 40 inches along the rod to position \(D\), the spring is compressed 6 inches, the cable makes a \(90^{\circ}\) angle with the rod (see dashed line), and the collar is still moving with an unknown velocity.
The mass of the collar is \(30 \mathrm{~lbm}\) and the constant force \(P=50 \mathrm{~lbf}\). The spring has a stiffness \(\mathrm{k}=200 \mathrm{~lbf} / \mathrm{ft}\). Assume that friction between the collar and rod is negligible.
Determine the speed of the collar, in \(\mathrm{ft} / \mathrm{s}\), when the collar reaches Point \(D\), i.e. the cable is coincident with the dashed line in the figure.
.png)
Figure \(\PageIndex{32}\): System consisting of a rod, spring, and collar with attached cable.
A hydroelectric turbine-generator produces an electric power output of \(20 \mathrm{~MW}\) (megawatts). Water enters the turbine penstock at Point 1 and exits the turbine at Point 2 as shown in the figure. The known information at the inlet and exit are shown in the figure. The turbine-generator operates adiabatically at steady-state conditions. Do not neglect kinetic or gravitational potential energy unless you can substantiate your assumption.
Assume water can be modeled as an incompressible substance with room-temperature specific heats.
.png)
Figure \(\PageIndex{33}\): Water powers a turbine-generator attached to a dam.
(a) Determine the mass flow rate of the water through the turbine-generator, in \(\mathrm{kg} / \mathrm{s}\).
(b) If a shaft inside the turbine-generator system transmits \(22 \mathrm{~MW}\) of power at a rotational speed of \(100 \mathrm{~rpm}\), determine the torque in the shaft.
An ideal gas is contained in a simple piston-cylinder device and executes the three-step process shown in the table.
| State \(1\) | \(P_{1} = 100 \mathrm{~kPa}; \ V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{1} = 1.00 \mathrm{~m}^3; \ T_{1}=300 \mathrm{~K}\) |
| Process \(1 \rightarrow 2\) | Constant-pressure (isobaric) expansion |
| State \(2\) | \(V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{2} = 2.00 \mathrm{~m}^3\) |
| Process \(2 \rightarrow 3\) | Constant-temperature (isothermal) expansion where \(P V\kern-1.0em\raise0.3ex- = C\). |
| State \(3\) | \(V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{3} = 3.00 \mathrm{~m}^3\) |
| Process \(3 \rightarrow 4\) | Constant-pressure (isobaric) compression |
| State \(4\) | \(V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{4} = V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{1} = 1.00 \mathrm{~m}^3\) |
(b) Sketch the process on a \(P-V\) diagram. Clearly label the four states, \(1\), \(2\), \(3\), and \(4\) and the connecting processes
(c) Using your sketch from part (b) above, identify the area on the diagram that represents the work done during process \(2 \rightarrow 3\) by shading or cross-hatching the area.
A 455 cubic inch Pontiac engine (A) is connected to a TH400 automatic transmission (B) which sends power out to the rear wheels (C). A transmission cooler heat exchanger (D) is used to remove heat generated by frictional losses within the transmission. A liquid coolant circulates through a closed loop to transfer the energy from the transmission to the cooler heat exchanger. Steady-state performance data is measured in the lab and the results are shown in the table:
| Power Measurements | |
| Engine output shaft @ \(3800 \mathrm{~rpm}\) | \(390.0 \mathrm{~hp}\) |
| Transmission output shaft | \(350.4 \mathrm{~hp}\) |
| Coolant Temperatures | |
| Cooler inlet / transmission outlet | \(300^{\circ} \mathrm{F}\) |
| Cooler outlet / transmission inlet | \(237^{\circ} \mathrm{F}\) |
.png)
Figure \(\PageIndex{34}\): Engine is connected to a transmission and trasnmission coolant system.
If needed, you may assume the transmission coolant fluid can be modeled as an incompressible substance with a density of \(56.8 \mathrm{~lb}_{\mathrm{m}} / \mathrm{ft}^{3}\) and a specific heat \(0.4286 \mathrm{~Btu} /\left(\mathrm{lb}_{\mathrm{m}} \cdot { }^{\circ} \mathrm{F}\right)\).
a) Determine the torque produced by the motor at the engine output shaft, in \(\mathrm{ft} \cdot \mathrm{lb}_{\mathrm{f}}\).
b) Determine the heat transfer rate out of the transmission cooler heat exchanger, in \(\mathrm{Btu} / \mathrm{s}\). Assume that there is negligible heat transfer from the surfaces of the transmission casing and the coolant lines.
c) Determine the mass flow rate of coolant through the coolant lines, in \(\mathrm{lb}_{\mathrm{m}} / \mathrm{s}\). Assume that pressure drops inside the coolant loop circuit are negligible, i.e. pressure inside the coolant loop is uniform.
d) Experience has shown that the heat transfer from the transmission casing may not be negligible. To check this out, estimate the heat transfer rate from the surface of the transmission by convection. Assume that the surface area of the casing is \(8.68 \mathrm{~ft}^{2}\), the surface temperature is \(80^{\circ} \mathrm{F}\), the temperature of the surrounding air is \(70^{\circ} \mathrm{F}\), and the convective heat transfer coefficient is \(0.0144 \mathrm{~Btu} /\left(\mathrm{ft}^{2} \cdot \mathrm{s} \cdot { }^{\circ} \mathrm{F}\right)\).
In a belated move to surpass the U.S. space program, chipmunks have decided to place a chipmunk in space. The planned launch vehicle for the chipnaut is a potato slingshot as shown in the figure.
For the launch, the chipnaut first climbs out on a limb and takes a position immediately above the potato slingshot. Then his launch crew pulls back the slingshot into the firing position as shown. Once the slingshot is fired, the chipnaut awaits the potato "booster". When the potato booster arrives, it picks up (impacts) the chipnaut without touching the tree launch platform and carries the chipnaut upward to the heavens.
Your job is to predict how the flight will proceed. You may assume that all motion is in the vertical direction. Additional information is provided below:
| Mass of the potato \(=1.0 \mathrm{~kg}\) | Elastic Band: Spring Constant \(k=500 \mathrm{~N} / \mathrm{m}\) |
| Mass of the chipnaut \(=2.0 \mathrm{~kg}\) | \(\quad\) Total length (unstretched) = 1.0 m |
| \(\quad\) Total length installed (with initial stretch) = 1.3 m | |
| \(\quad\) Total length stretched for firing = 2.0 m |
.png)
Figure \(\PageIndex{35}\): Chipnaut and booster prior to launch.
a) Determine the velocity, in \(\mathrm{m} /\mathrm{s}\), of the potato "booster" immediately before it picks up the chipnaut.
b) Determine the maximum elevation, in meters, that can be achieved by the "booster" carrying the chipnaut. (Please note that some chipnauts have been concerned about remaining conscious during the flight. Future test flights will investigate this potential problem.)
(Please note that some chipnauts have been concerned about remaining conscious during the flight. Future test flights will investigate this potential problem.)
The ion sputtering process creates a new surface layer of material on an object by bombarding the surface with ions of the desired material. The top half of the device in the figure is the vacuum chamber and the lower half is the piston-cylinder device used to raise or lower the target. The position of the piston is altered by adding energy to the gas using an electric resistance heating element or removing energy by heat transfer using a cold plate in the cylinder wall. The known information is shown below.
.png)
Figure \(\PageIndex{36}\): A cylinder consisting of a vacuum chamber and a cylinder-piston device of gas, aligned vertically.
Given Information: \[\begin{aligned} m_{\mathrm{P}} &=\text { Mass of the piston } \\ m_{\mathrm{T}} &=\text { Mass of the target } \\ m_{\mathrm{G}} &=\text { Mass of the gas } \\ A_{\mathrm{P}} &=\text { Area of the piston } \\[4pt] T_{1} &=\text { Initial temperature of the gas } \\ T_{2} &=\text { Final temperature of the gas } \\ P_{1} &= \left(m_{T}+m_{P}\right) g / A_{P}, \text { the initial pressure in the gas. } \\ z_{1} &=\text { Initial elevation of the piston } \\[4pt] g &=\text { Acceleration of gravity } \\ c_{\mathrm{p}} \text{ & } c_{v} &=\text { Specific heats of the gas } \\[4pt] W_{\text {elect, in}} &=\text { Electric work into the gas } \\ Q_{\text {cold, out}} &=\text { Heat transfer out of the gas and into the cold plate. } \end{aligned} \nonumber \]
Select an appropriate system or systems and determine the change in elevation of the target, \(\Delta z=z_{2}-z_{1}\), in terms of some or all of the given information.
Assume that the piston is frictionless and initially stationary. The change in elevation occurs very slowly with negligible change in kinetic energy of the piston. In addition, the piston, the cylinder wall, and the vacuum chamber wall (all the cross-hatched regions) are made of material that provides an adiabatic boundary and does not change temperature. The gas can be modeled as an ideal gas with room-temperature specific heats.
The piston cylinder device shown below contains nitrogen. The nitrogen undergoes a volume-change process where \(P V\kern-1.0em\raise0.3ex- = C\). Other information about the process is shown below. Assume nitrogen can be modeled as ideal gas with room-temperature specific heats.
\[ \text{Nitrogen} \left(\mathrm{N}_2\right): \nonumber \] \[\begin{aligned} c_{v} &= 0.743 \mathrm{~kJ} / (\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}) \\ c_{p} &= 1.04 \mathrm{~kJ} / (\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}) \\ R &= 0.298 \mathrm{~kJ} / (\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}) \end{aligned} \nonumber \]
.png)
Figure \(\PageIndex{37}\): Initial and final states of gas in a piston-cylinder device.
(a) Determine the mass of nitrogen in the piston-cylinder device, in \(\mathrm{kg}\).
(b) Determine the work transfer of energy for the gas during this process, in \(\mathrm{kJ}\).
(c) Determine the heat transfer of energy for the gas during this process, in \(\mathrm{kJ}\).
(d) Sketch the process on a \(P \text{-} V\kern-1.0em\raise0.3ex-\) (pressure-volume) diagram and show the work for the process.
A hot-water heating system is shown in the figure below. The circulating pump is located in the basement of the building and the hot-water radiator is located on an upper floor. Under steadystate conditions, the radiator delivers \(3.0 \mathrm{~kW}\) by heat transfer to the surroundings.
Pertinent operating conditions are shown in the table. Assume that water can be treated as an incompressible substance with room-temperature specific heats. \[\text { [ Liquid Water Properties: } \quad c_{\mathrm{p}}=4.18 \mathrm{~kJ} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}) \text { and } \rho=997 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} \text { ] } \nonumber \]
.png)
Figure \(\PageIndex{38}\): Water is pumped upwards before being heated.
| State | \(T\) \(({ }^{\circ} \mathrm{C})\) | \(P\) \((\mathrm{kPa})\) | \(z\) \((\mathrm{m})\) | \(A\) \((\mathrm{m}^2)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(1\) | \(T\) \(({ }^{\circ} \mathrm{C})\)">\(60\) | \(P\) \((\mathrm{kPa})\)">\(100\) | \(z\) \((\mathrm{m})\)">\(10.0\) | \(A\) \((\mathrm{m}^2)\)">\(0.0020\) |
| \(2\) | \(T\) \(({ }^{\circ} \mathrm{C})\)">\(60\) | \(P\) \((\mathrm{kPa})\)">\(125\) | \(z\) \((\mathrm{m})\)">\(30.0\) | \(A\) \((\mathrm{m}^2)\)">\(0.0020\) |
| \(3\) | \(T\) \(({ }^{\circ} \mathrm{C})\)">\(40\) | \(P\) \((\mathrm{kPa})\)">\(125\) | \(z\) \((\mathrm{m})\)">\(30.0\) | \(A\) \((\mathrm{m}^2)\)">\(0.0020\) |
| \(P\) \((\mathrm{kPa})\)" rowspan="1" class="lt-eng-84367">Heat transfer from the pipes and the pump is negligible. | \(z\) \((\mathrm{m})\)" class="lt-eng-84367"> | \(A\) \((\mathrm{m}^2)\)" class="lt-eng-84367"> | ||
| \(P\) \((\mathrm{kPa})\)" class="lt-eng-84367">The only significant heat transfer occurs from the radiator. | \(z\) \((\mathrm{m})\)" class="lt-eng-84367"> | \(A\) \((\mathrm{m}^2)\)" class="lt-eng-84367"> | ||
(a) Determine the mass flow rate through the radiator, in \(\mathrm{kg} / \mathrm{s}\).
(b) Determine the shaft power supplied to the pump, in \(\mathrm{kW}\), to move the water up to the radiator.
(c) Estimate the surface area of the radiator. Assume that convection heat transfer is the primary mechanism, the convection heat transfer coefficient \(h=50 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot { }^{\circ} \mathrm{C}\right)\), the room temperature is \(22^{\circ} \mathrm{C}\) and the average radiator temperature is \(50^{\circ} \mathrm{C}\).
A common safety device utilized in mountainous areas is a "runaway truck" ramp used to stop a truck without functional brakes. This device consists of a long, upward-sloped ramp covered in gravel and a bumper attached to a spring. (See the figure below.).
A runaway truck weighing \(45,000 \mathrm{~lb}_{\mathrm{f}}\) pulls onto the ramp at \(100 \mathrm{~ft} / \mathrm{s}\) (just over \(68 \mathrm{~mph}\) ). The ramp is \(250 \mathrm{~ft}\) long. The bumper weighs \(500 \mathrm{~lb}_{\mathrm{f}}\). The spring is initially undeflected. As a last resort, the spring is attached to an immense, immovable concrete barrier.
.png)
Figure \(\PageIndex{39}\): A truck faces upslope on a long ramp with a spring-mounted bumper at the top.
(a) Determine the average friction force the ramp exerts on the truck, in newtons, as it climbs the ramp if the truck velocity is \(30 \mathrm{~ft} / \mathrm{s}\) just before it strikes the bumper.
(b) Determine the value of the spring constant \(k\), in \(\mathrm{lb}_{\mathrm{f}} / \mathrm{ft}\), necessary to bring the truck to rest in \(25 \mathrm{~ft}\) after the truck strikes and sticks to the bumper. Neglect frictional effects.
Block \(A\) with mass \(m_{\mathrm{A}}\) is released from rest in the position shown. It slides a distance \(L\) down a smooth incline before hitting and sticking to Block \(B\). Block \(B\) is initially at rest and has mass \(m_{\mathrm{B}}\).
Determine the equations necessary to find the maximum distance the spring deflects, \(d\).
Assume \(m_{\mathrm{A}}\), \(m_{\mathrm{B}}\), \(k\), \(L\) and \(\theta\) are known.
Do not solve these equations. Your solution should consist of a list of equations and unknowns.
.png)
Figure \(\PageIndex{40}\): A ramp with a spring-mounted block at the bottom and a free-sliding block at the top.
The \(10 \text{-kg}\) collar is attached to two identical springs and slides on the smooth vertical rod as shown in the figure. The spring constant for each spring is \(k=800 \mathrm{~N} / \mathrm{m}\), and the unstretched length of each spring is \(0.3 \mathrm{~m}\). In position \(A\), the collar has a velocity \(V_{1}=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\) in the direction shown.
It is desired to modify this device by applying a constant force \(\mathbf{F}\) to the collar as it moves from \(A\) to \(B\) so that the velocity of the collar at position \(B\) will be zero, i.e. \(V_{2}=0\).
.png)
Figure \(\PageIndex{41}\): A sliding collar is attached to two springs.
(a) Determine the direction and magnitude, in newtons, of the constant force \(\mathbf{F}\) that must be applied to the collar as it moves from \(A\) to \(B\) so that \(V_{2}=0\).
(b) Will the collar stop moving once it reaches position \(B\) even though \(V_{2}=0\)? Explain the basis for your answer. (Even without a numerical answer, full credit will be given for part (b) if a clear explanation of how you would determine the answer is given.)
A small steam turbine is connected to an air compressor through a gear reducer as shown in the figure. A gear reducer is a device used to change the shaft rotation speed when two devices must be connected but operate at different speeds.
- Steam enters the turbine at \(110^{\circ} \mathrm{C}\) with a specific enthalpy \(h_{1}=2691.5 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}\) and exits the turbine at a pressure of \(100 \mathrm{~kPa}\) and a specific enthalpy \(h_{2}=2675.5 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}\). The turbine shaft rotates at \(2000 \mathrm{~rpm}\).
- Air enters the compressor at a mass flow rate of \(70 \mathrm{~kg} / \mathrm{min}\) at \(P_{3}=100 \mathrm{~kPa}\) and \(T_{3}=300 \mathrm{~K}\) and exits the compressor at \(P_{4}=500 \mathrm{~kPa}\) and \(T_{4}=460 \mathrm{~K}\). The compressor shaft rotates at \(600 \mathrm{~rpm}\). A ssume that air can be modeled as an ideal gas with constant specific heats.
Assume all devices shown in the figure—turbine, compressor and gear reducer—operate adiabatically at steady-state conditions with negligible changes in kinetic and gravitational potential energy.
.png)
Figure \(\PageIndex{42}\): System consisting of a steam turbine, gear reducer, and air compressor, all sharing a common shaft.
(a) Determine the mass flow rate of steam into the turbine, in \(\mathrm{kg} / \mathrm{min}\).
(b) Determine the shaft power required by the air compressor, in \(\mathrm{kW}\).
(c) Determine the torque, in \(\mathrm{N} \cdot \mathrm{m}\), transmitted by the air-compressor shaft.
A piston-cylinder device contains carbon dioxide \(\left(\mathrm{CO}_{2}\right)\) gas initially occupying the volume \(V_{1}\) at the pressure \(P_{1}\) and temperature \(T_{1}\) indicated below. The gas undergoes the process described below:
| State \(1\): | \(P_{1}=150 \mathrm{~kPa} ; \quad T_{1}=400 \mathrm{~K} ; \quad V_{1}=0.5 \mathrm{~m}^{3}\) |
| Process \(1 \rightarrow 2\): | Quasistatic process where \(P=\left(300 \mathrm{kPa} / \mathrm{m}^{3}\right) V\) |
| State \(2\): | \(V_{2}=1.0 \mathrm{~m}^{3}\) |
Assume that carbon dioxide can be modeled as an ideal gas with constant specific heats and that changes in kinetic and gravitational potential energy are negligible for the process.
Determine the work and heat transfer of energy for process \(1 \rightarrow 2\). Indicate both the direction and the magnitude (in kilowatts) of each.
The collar \(C\) slides on the curved rod in the vertical plane under the action of a constant force \(F\) in the cord guided by the small pulleys at \(D\). The collar has a mass of \(0.70 \mathrm{~kg}\) and slides without friction.
If the collar is released from rest at \(A\), determine the value of the constant force \(F\) that will result in the collar striking the stop at \(B\) with a velocity of \(4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\).
.png)
Figure \(\PageIndex{43}\): A collar with an attached cable that passes over a pulley slides along a curved rod.
The system shown at right is the back end of a jet aircraft engine. Operating information about the system is shown in the table and figure. A ir flows steadily through the system. Assume changes in gravitational potential energy are negligible and air can be modeled as an ideal gas with room temperature specific heats.
| State | \(T\) \(\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)\) | \(P\) \((\mathrm{kPa})\) | \(V\) \((\mathrm{~m} / \mathrm{s})\) | \(A_{c}\) \(\left(\mathrm{~m}^{2}\right)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(1\) | \(T\) \(\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)\)">600 | \(P\) \((\mathrm{kPa})\)">800 | \(V\) \((\mathrm{~m} / \mathrm{s})\)">\(V_{1} \approx V_{2}\) | \(A_{c}\) \(\left(\mathrm{~m}^{2}\right)\)">\(\cdots\) |
| \(2\) | \(T\) \(\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)\)">\(? ? ?\) | \(P\) \((\mathrm{kPa})\)">800 | \(V\) \((\mathrm{~m} / \mathrm{s})\)">\(V_{2} \approx V_{3}\) | \(A_{c}\) \(\left(\mathrm{~m}^{2}\right)\)">\(\cdots\) |
| 3 | \(T\) \(\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)\)">1300 | \(P\) \((\mathrm{kPa})\)">600 | \(V\) \((\mathrm{~m} / \mathrm{s})\)">\(V_{3} << V_{4}\) | \(A_{c}\) \(\left(\mathrm{~m}^{2}\right)\)">\(\cdots\) |
| 4 | \(T\) \(\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)\)">950 | \(P\) \((\mathrm{kPa})\)">100 | \(V\) \((\mathrm{~m} / \mathrm{s})\)">\(? ? ?\) | \(A_{c}\) \(\left(\mathrm{~m}^{2}\right)\)">\(? ? ?\) |
Turbine: steady-state and adiabatic
Nozzle: steady-state and adiabatic
Heat exchanger: steady-state
.png)
Figure \(\PageIndex{44}\): System consisting of a heat exchanger, turbine, and nozzle.
(a) Determine the velocity of the air leaving the nozzle, in \(\mathrm{m} / \mathrm{s}\).
(b) Determine the cross-sectional area \(A_{\mathrm{c}}\) at the nozzle outlet, in \(\mathrm{m}^{2}\)
(c) Determine the shaft power out of the turbine, in \(\mathrm{kW}\).
A well-insulated copper tank of mass \(13 \mathrm{~kg}\) contains \(4 \mathrm{~kg}\) of liquid water. Initially, the temperature of the copper is \(27^{\circ} \mathrm{C}\) and the temperature of the water is \(50^{\circ} \mathrm{C}\). As the tank and its contents come to equilibrium, an electrical resistor of negligible mass transfers \(100 \mathrm{~kJ}\) of energy to the contents of the tank. Assume copper and liquid water can be modeled as incompressible substances.
.png)
Figure \(\PageIndex{45}\): Insulated tank contains water and an electrical resistor.
(a) Determine the final temperature of the tank and water.
(b) If current through the resistor is \(0.5\) amps and the applied voltage is 110 volts, determine (i) the electrical power supplied to the resistor and (ii) how long the resistor was "on" to deliver \(100 \mathrm{~kJ}\) of electrical energy.
A spring-loaded boot-on-a-stick kicks a marble as shown in the figure. Initially both the boot and marble are stationary. To load the device, the boot is swung up to the position shown and the uncompressed spring on the ceiling is compressed a distance \(d\). The stationary boot is then released, swinging down and to the left before kicking the marble. The mass of the boot and marble are \(m_{b}\) and \(m_{m}\), respectively, and the spring has a stiffness \(k\). The stick of length \(L\) has negligible mass and is hinged to a frictionless pin at \(A\).
.png)
Figure \(\PageIndex{46}\): A boot on a pivoting rod is loaded via spring before it swings down to kick a marble.
(a) Find an expression for the velocity of the boot just before it kicks the marble.
(b) Assuming the boot and the marble stick together, find an expression for the velocity of the marble immediately after it has been kicked.
(c) If the spring was initially compressed a distance \(d / 3\) before the device was loaded, i.e. before it was compressed a distance \(d\) as described above, would the velocity found in part (a) increase, decrease or remain the same? Why? [A clear, concise, correct explanation without equations is acceptable.]
A typical cylinder for a Cummins Model H diesel engine is shown in the figure at right. Details of the compression process are shown below. The piston-cylinder volume contains air. For modeling purposes, you may assume that the air can be modeled as an ideal gas with room-temperature specific heats.
| State \(1\): | \(P_{1} = 100 \mathrm{~kPa};\) \(T_{1}=320 \mathrm{~K};\) \(V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{1} = 300 \mathrm{~cm}^{3}\) |
| Process \(1 \rightarrow 2\): | Compression process with \(P V\kern-1.0em\raise0.3ex-^{1.3} = C\) |
| State \(2\): | \(V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{2} = (1/16) \ V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{1}\) |
.png)
Figure \(\PageIndex{47}\): A piston connected by a rod to a crankshaft moves up and down in a cylinder of air.
(a) Determine the final pressure and temperature.
(b) Determine the heat transfer and work transfer of energy for the air during the compression process.
(c) Sketch the process on a \(P \text{-} V\kern-1.0em\raise0.3ex-\) diagram. What, if anything, is the significance of the area under the process curve?
High-pressure hot water is mixed with \(0.20 \mathrm{~ft}^{3} / \mathrm{min}\) of high-pressure cold water in a showerhead as shown in order to produce a comfortable shower temperature of \(110^{\circ} \mathrm{F}\). The mixing process can be modeled as adiabatic with negligible kinetic and potential energies of the fluid streams. Assume liquid water can be modeled as an incompressible substance with room-temperature specific heats.
Find the required flow rate of hot water in \(\mathrm{ft}^{3} / \mathrm{min}\).
.png)
Figure \(\PageIndex{48}\): Mixing tee of hot and cold water for a showerhead.
A hydraulic power system operates at steady-state conditions and consists of an electrically driven hydraulic pump connected to a hydraulic motor by a two pipes carrying the hydraulic fluid. (See figure below.) The electric power input to the hydraulic pump is \(9.0 \mathrm{~kW}\).
For purposes of analysis, assume that changes in potential energy are negligible, the hydraulic fluid lines are well insulated, and the fluid can be modeled as an incompressible substance with the properties of liquid water. \[\text { [ Liquid Water Properties: } c_{\mathrm{p}}=4.18 \mathrm{~kJ} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}) \text { and } \rho=997 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} \text { ] } \nonumber \]
.png)
Figure \(\PageIndex{49}\): Two hydraulic fluid lines connect a hydraulic pump and a hydraulic motor.
(a) Assuming that the pump operates adiabatically, determine the mass flow rate of fluid through the pump, in \(\mathrm{kg} / \mathrm{s}\).
(b) Assuming the hydraulic motor loses \(1.0 \mathrm{~kW}\) by heat transfer, determine the shaft power out of the hydraulic motor, in \(\mathrm{kW}\).
(c) Estimate the convection heat transfer coefficient, \(h_{\text {conv}}\), in \(\mathrm{W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{K}\right)\) for the motor. The motor heat transfer is \(1.0 \mathrm{~kW}\), the room air temperature is \(24^{\circ} \mathrm{C}\), the motor surface area is \(0.22 \mathrm{~m}^{2}\), and the motor surface temperature is \(44^{\circ} \mathrm{C}\).