7.9: Термодинамічні цикли

Вивчаючи поведінку пристроїв, ми виявимо, що одним з найважливіших процесів з теоретичної та технологічної точки зору є термодинамічний цикл. Більш конкретно ми будемо стосуватися продуктивності трьох типів термодинамічних циклів — силових циклів, циклів охолодження та циклів теплового насоса. У цьому розділі ми обговоримо основні особливості термодинамічного циклу, далі обговоримо три способи класифікації цих приладів, і наостанок розглянемо, як виміряти їх продуктивність.

7.9.1 Основні характеристики та приклади

Промислова революція була частково викликана розвитком парового двигуна — пристрою, який приймає «тепло» від пожежі, доставляє «роботу» в навколишнє середовище, працює як цикл. Наше сучасне суспільство населене машинами та пристроями, які або працюють як справжній термодинамічний цикл, або можуть бути змодельовані як один з цілей аналізу. Сучасний двигун внутрішнього згоряння почався як, і до сих пір моделюється як цикл Отто, Дизель цикл, або комбінований цикл. Сучасна парова електростанція на викопному паливі або на ядерному паливі моделюється як цикл Ренкіна. Сучасний газотурбінний двигун, незалежно від того, використовується в реактивному двигуні для руху літака або як частина станції піку електричної енергії на природному газі, має своє коріння в циклі Брайтона. Деякі інноваційні двигуни зовнішнього згоряння, які зараз розглядаються для автомобілів та віддалених електростанцій у віддалених регіонах, базуються на циклі Стірлінга. Одним з найвідоміших теоретичних циклів, обговорюваних у фізиці через його відношення до другого закону термодинаміки, є цикл Карно. Всі ці цикли є прикладами силових циклів.

Якщо ви зараз втомилися думати про вироблення електроенергії, але справді любите відпочивати у вашій кімнаті з кондиціонером, ви не закінчили цикли. Кішки вашого віконного кондиціонера моделюються як механічний цикл стиснення пари. Насправді більшість холодильних систем, незалежно від того, використовуються для охолодження повітря у вашому будинку, підтримки їжі у вашому холодильнику або зберігання цих морозильних вітрин у продуктовому холоді, також є механічними циклами стиснення пари. Якщо ви подорожуєте по повітрю і насолоджуєтеся прохолодною кабіною, ви отримали вигоду від зворотного циклу Брайтона. Іноді ви зіткнетеся з холодильником або кондиціонером, який вимагає мало або зовсім не вимагає електрики, але для роботи потрібен природний газ або пропанове полум'я. Це приклади циклів поглинання. (Компанія під назвою Arkla використовувала для виробництва цих типів систем в Евансвіллі. Вони були особливо популярні до електрифікації сільських територій і сьогодні повертаються.) І останнє, але не менш важливе, якщо у вашому будинку є тепловий насос, вгадайте, що? Це, як правило, механічний цикл стиснення пари.

Тепер, коли ви зіткнулися з тим, наскільки наше суспільство залежить від цієї речі, яка називається термодинамічним циклом, що це таке? Термодинамічний цикл - замкнута система, яка виконує ряд процесів, періодично повертають систему в початковий стан.

Це здається простим, особливо коли ви визнаєте, що це основа для вивчення всіх основних пристроїв, описаних раніше. Оскільки ми обмежені замкнутими системами, то швидкісна форма рівняння збереження енергії стає наступною:\[\frac{d E_{sys}}{dt} = \dot{Q}_{\text{net, in}} + \dot{W}_{\text{net, in}} \nonumber \] яка діє в будь-який час циклу. Ми повернемося до цього балансу незабаром після того, як обговоримо фізичну структуру циклів.

7.9.2 Класифікація циклів

При будь-якому обговоренні термодинамічних циклів корисно вміти їх класифікувати. Ми представимо три різні способи класифікації циклів - робочі рідини, фізична структура та призначення.

Класифікація за робочою рідиною

Якщо ви вивчите різні згадані раніше пристрої, які працюють як термодинамічні цикли, ви виявите, що всі вони працюють, змінюючи властивості речовини всередині замкнутої системи. Ця речовина називається робочою рідиною. Всі приклади, представлені раніше, відносяться до однієї з двох категорій. У циклах для автомобільного двигуна або реактивного двигуна робоча рідина залишається газом протягом усього циклу. Це приклади циклів, які працюють з однофазною робочою рідиною. Цикли, які складають основу для більшості холодильників та парових електростанцій, що працюють на викопному паливі, змінюють фазу робочої рідини з рідини на пару, а потім назад на рідину в циклі. Це приклади циклів, які працюють з двофазною робочою рідиною. Ці відмінності не будуть дуже значними для нас у цьому кварталі; однак для дизайнера вони мають велике значення у визначенні розміру, ваги, вартості та продуктивності конкретного циклу.

Класифікація за фізичною структурою

Більшість пристроїв, які працюють як або можуть бути змодельовані як термодинамічний цикл, мають фізичну структуру, яка вписується в одну з двох категорій - замкнутий, періодичний цикл або замкнутий цикл, сталий. Вони проілюстровані на рис\(\PageIndex{1}\).

(а) Закритий періодичний цикл (зліва) (b) замкнутий цикл, сталий цикл (праворуч)
Малюнок\(\PageIndex{1}\): Класифікація термодинамічних циклів за фізичною структурою

Закритий періодичний цикл моделюється як фіксована кількість речовини, що міститься всередині простого поршневого циліндрового пристрою [див. Рис.\(\PageIndex{1}\) (a)]. Цей цикл характеризується просторово рівномірними інтенсивними властивостями, які періодично змінюються з часом. Це класичний цикл, який вивчається інженерами роками. Це модель для ранніх парових двигунів і все ще є моделлю для сучасного двигуна внутрішнього згоряння, де газ стискається і розширюється всередині поршневого двигуна.

Закритий цикл, сталий стан моделюється як сукупність стаціонованих пристроїв, які з'єднані між собою, утворюючи замкнутий контур рідини, як показано на малюнку\(\PageIndex{1}\) (б). Замкнутий контур рідини утворює замкнуту систему. Стаціонарними пристроями, які зазвичай використовуються в цих циклах, є насоси, турбіни, компресори, теплообмінники та клапани. Цей цикл характеризується просторово-неоднорідними інтенсивними властивостями, які залежать від положення в контурі рідини, але не змінюються з часом. Цей цикл є моделлю для сучасного газотурбінного двигуна, сучасної парової силової установки, а також сучасного холодильника і кондиціонера.

Щоб дослідити, що збереження енергії може розповісти нам про ці цикли, ми застосовуємо форму швидкості енергетичного балансу замкнутої системи до кожного типу циклу і маніпулюємо відповідним чином:\[\frac{d E_{sys}}{dt} = \dot{Q}_{\text{net, in}} + \dot{W}_{\text{net, in}} \nonumber \]

\(\text{Closed-periodic cycle}\)

\(\text{Closed-loop, steady-state cycle}\)

\[ \begin{array}{l} \underbrace{\int\limits_{t}^{t + \Delta t_{\text{cycle}}} \left(\frac{d E_{sys}}{dt}\right) dt}_{\begin{array}{c} \text{Integrated over one period} \\ \text{of the cyle} \end{array}} = \int\limits_{t}^{t + \Delta t_{\text{cycle}}} \dot{Q}_{\text{net, in}} + \int\limits_{t}^{t + \Delta t_{\text{cycle}}} \dot{W}_{\text{net, in}} \\ \underbrace{\left. E_{sys} \right|_{t + \Delta t_{\text{cycle}}} - \left. E_{sys} \right|_{t}}_{=0. \text{ Why?}} = Q_{\text{net, in}} + W_{\text{net, in}} \\ 0 = Q_{\text{net, in}} + W_{\text{net, in}} \\ Q_{\text{net, in}} = -W_{\text{net, in}} = W_{\text{net, out}} \end{array} \nonumber \]

\[\begin{array}{l} \underbrace{ \cancel{\dfrac{d E_{sys}}{dt}}^{=0} }_{\begin{array}{c} \text{Steady-state} \\ \text{system} \end{array}} = \dot{Q}_{\text{net, in}} + \dot{W}_{\text{net, in}} \\ { } \\ 0 = \dot{Q}_{\text{net, in}} + \dot{W}_{\text{net, in}} \\ \dot{Q}_{\text{net, in}} = -W_{\text{net, in}} = W_{\text{net, out}} \end{array} \nonumber \]

В обох циклах ми виявляємо щось подібне — чиста тепловіддача (або швидкість передачі) енергії в систему дорівнює чистої передачі (або швидкості передачі) енергії з системи для термодинамічного циклу.

Цей результат призводить до загальної інтерпретації термодинамічного циклу як пристрою перетворення енергії для перетворення теплопередачі енергії в робочі передачі енергії.

Класифікація за призначенням

Досвід показав, що робочі передачі енергії більш цінні, ніж теплопередачі енергії. Це означає, що ми можемо робити більше речей з роботою передачі енергії, ніж ми можемо з тепловіддачею енергії. Через це ми виберемо визначення призначення пристрою з точки зору роботи передачі енергії за цикл.

Як ви думаєте?

Пред'являється претензія, що робота цінніша за тепловіддачу. Чи можете ви придумати будь-яку систему і процес, який може бути здійснений тільки тепловіддачею енергії? [Якщо ви можете, чи можна перевизначити систему, а тепловіддачу замінити робочою передачею енергії?]

Якщо корисна потужність або робота поза циклом позитивні, то ми називаємо пристрій силовим циклом або тепловим двигуном:\[\dot{W}_{\text {net, out }} \text { or }\left.W_{\text {net, out }}\right|_{\text {cycle}}>0 \quad \rightarrow \quad \text { Power cycle } \nonumber \] Мета силового циклу полягає в тому, щоб взяти чисту кількість енергії шляхом передачі тепла від оточення і передавати назад в оточення мережу кількість енергії в якості роботи.

Якщо корисна потужність або робота в цикл позитивні, то ми називаємо пристрій циклом охолодження або теплового насоса (іноді це називають зворотним циклом потужності):\[\dot{W}_{\text {net, in }} \text { or }\left.W_{\text {net, in }}\right|_{\text {cycle }}>0 \quad \rightarrow \quad \begin{array}{c} \text { Refrigeration or } \\ \text{ heat pump cycle } \end{array} \nonumber \] Мета циклу холодильного або теплового насоса полягає в тому, щоб взяти чистий обсяг енергії роботою від оточення і передавати чистий обсяг енергії шляхом передачі тепла назад в навколишнє середовище. Більш конкретно, ці цикли забирають кількість енергії за рахунок теплопередачі при низькій температурі і відкидають більшу кількість енергії тепловіддачею при більш високій температурі. Холодильний цикл будується для максимізації кількості енергії, яка може бути передана в цикл тепловіддачею при низькій температурі. Цикл теплового насоса побудований, щоб максимізувати кількість енергії, яка може бути передана з системи при високій температурі.

7.9.3 Кількісна оцінка продуктивності циклу

Враховуючи конкретний цикл, корисно мати можливість кількісно оцінити його продуктивність, щоб ми могли порівняти його з іншими циклами, які роблять те саме. Як працюючий інженер, ви можете зіткнутися з покупкою одиниці обладнання у одного з декількох виробників або постачальників. Хоча продукт кожного постачальника виконує одне і те ж завдання, він, безсумнівно, матиме різну продуктивність. Тому нам потрібен певний спосіб порівняти продуктивність між постачальниками.

Міра продуктивності (MOP)

Виходячи з нашого обговорення мети циклів, здавалося б, одним із способів оцінки продуктивності циклу є порівняння двох речей: що це коштує проти бажаного продукту чи виходу.

Використовуючи цю ідею, ми можемо визначити показник продуктивності (MOP) для циклу наступним чином:\[MOP = \frac{\text { (Desired product or output) }}{\text { (What it costs to operate the cycle) }} \nonumber \] Якщо ви думаєте про цикл як про пристрій перетворення енергії, однаково гарною назвою для міри продуктивності буде коефіцієнт перетворення енергії (ECR). Ці терміни будуть використовуватися як взаємозамінні в цьому курсі. Щоб піти далі, ми повинні вивчити кожен цикл і визначити, що являє собою бажаний вихід і вартість роботи циклу.

MOP для силового циклу

Якщо зараз вивчити цикл живлення, то можна виявити три взаємодії з навколишнім середовищем: передача тепла в систему, тепловіддача з системи, і чиста робота передачі енергії з системи (див. Рис.\(\PageIndex{2}\)). Тепер який бажаний вихід і яка вартість експлуатації силового циклу?

• Бажаний вихід? \(\rightarrow\)Чиста робота перенесення енергії з системи.
• Вартість? \(\rightarrow\)Теплопередача енергії в систему.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Потужність циклу або теплового двигуна.

З огляду на цю інформацію, МОП для силового циклу називається тепловою ефективністю циклу\(\eta\) і визначається наступним чином:\[\eta = \frac{\dot{W}_{\text {net, out}}}{\dot{Q}_{\text {in}}} \leq 1 \quad\quad \begin{array}{c} \text{ Cycle } \\ \text { Thermal Efficiency } \end{array} \nonumber \] Як зазначено вище, тепловий ККД може приймати значення від 0 до 1. Найгіршим циклом живлення буде той, який приймає і відкидає рівну кількість енергії за рахунок теплопередачі і не виробляє електроенергії. З іншого боку, найкращим циклом живлення буде той, який обмінюється енергією шляхом передачі тепла лише з одним джерелом і перетворює цю енергію повністю на вихідну потужність. (Ми покажемо в наступному розділі, що побудувати силовий цикл з тепловим ККД не можна.) Деякі з найкращих парових електростанцій на викопному паливі мають ефективність лише приблизно\(30 \%\).

Як ви думаєте?

Тепловий ККД визначається з точки зору загальної тепловіддачі в систему. Чи має сенс визначати його з точки зору чистої тепловіддачі в систему? Чому б і ні?

MOP для холодильного циклу

Якщо зараз вивчити холодильний цикл, то можна виділити три взаємодії з навколишнім середовищем: передача тепла в систему, тепловіддача з системи і чиста робота передачі енергії в систему (див. Рис.\(\PageIndex{3}\)). Тепер яка бажана продуктивність, і яка вартість експлуатації холодильного циклу?

• Бажаний вихід? \(\rightarrow\)Теплопередача енергії в систему.
• Вартість? \(\rightarrow\)Чиста робота, передача енергії в систему

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Цикл холодильного або теплового насоса.

З огляду на цю інформацію МОП для холодильного циклу називається коефіцієнтом продуктивності\(\mathrm{COP}_{\mathrm{ref}}\) і визначається наступним чином:\[0 \leq COP_{\text {ref}} = \frac{\dot{Q}_{\text {in }}}{\dot{W}_{\text {net, in}}} \quad\quad \begin{array}{c} \text { Coefficient of Performance } \\ \text { (Refrigeration Cycle) } \end{array} \nonumber \] Як зазначено вище, КС для холодильного циклу може приймати значення більше нуля. Найгіршим циклом охолодження буде той, який не приймає енергії за рахунок теплопередачі. З іншого боку, як видається, немає верхньої межі на КС. (У наступному розділі ми покажемо, що насправді існує верхня межа значення COP для холодильного циклу.)

Швабра для теплового насоса

Якщо дослідити цикл теплового насоса, можна виявити три взаємодії з навколишнім середовищем: тепловіддача в систему, тепловіддача поза системою і чиста робота передачі енергії в систему (див. Рис.\(\PageIndex{3}\)). Тепер яка потрібна продуктивність, і яка вартість експлуатації теплового насоса циклу?

• Бажаний вихід? \(\rightarrow\)Тепловіддача енергії з системи.
• Вартість? \(\rightarrow\)Чиста робота, передача енергії в систему

З огляду на цю інформацію, СС для циклу теплового насоса називається коефіцієнтом продуктивності\(\text{COP}_{\text{HP}}\) і визначається наступним чином:\[1 \leq COP_{\mathrm{hp}} = \frac{\dot{Q}_{\text {out}}}{\dot{W}_{\text {net, in}}} \quad\quad \begin{array}{c} \text { Coefficient of Performance } \\ \text { (Heat Pump Cycle) } \end{array} \nonumber \] Як зазначено вище КС для циклу теплового насоса може приймати значення більше одиниці. Найгірший цикл теплового насоса буде той, який не приймає енергії за рахунок теплопередачі і перетворює всю роботу передачі в систему в тепловіддачу з системи. З іншого боку, як видається, немає верхньої межі на КС. (Ми покажемо в наступному розділі, що насправді існує верхня межа значення КС для будь-якого циклу теплового насоса.)

Застосування MOP

Показники продуктивності зазвичай використовуються одним з двох способів:

• вас попросять обчислити СС для певного циклу з урахуванням всієї необхідної інформації.
• Вам надається СС та інша інформація, наприклад, холодильна потужність (передача тепла в холодильний цикл), а потім просять знайти інші передачі тепла та роботи.

Ось приклади кожного типу питань:

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Виміряна продуктивність силового циклу вказує на те, що тепловіддача в цикл є\(800 \mathrm{~kJ} / \mathrm{cycle}\) і тепловіддача поза циклом\(600 \mathrm{~kJ} / \mathrm{cycle}\). Визначте тепловий ККД даного силового циклу.

Рішення

\[\left.\begin{array}{l} Q_{\text {in}} = 800 \mathrm{~kJ} / \mathrm{cycle} \\ \mathrm{Q}_{\text {out}} = 600 \mathrm{~kJ} / \mathrm{cycle} \end{array}\right\} \rightarrow \left\{ \begin{array}{c} 0=Q_{\text {in}}-Q_{\text {out}}-W_{\text {net, out}} \\ W_{\text {net, out}}=Q_{\text {in}}-Q_{\text {out}} \\ W_{\text {net, out}}=(800-600) \dfrac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{cycle}} = 200 \dfrac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{cycle}} \end{array}\right\} \rightarrow \eta=\frac{W_{\text {net, out}}}{Q_{\text {in}}} = \frac{(200)}{(800)} = 0.25 \nonumber \]

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Тепловий насос призначений для доставки\(10,000 \mathrm{~Btu} / \mathrm{~h}\) тепловіддачі з КС\(4\). Яка потужність необхідна для роботи цього теплового насоса?

Рішення

\[\left.\begin{array}{l} Q_{\text {out}}=10,000 \ \dfrac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{h}} \\ COP_{HP} = \dfrac{\dot{Q}_{\text {out}}}{\dot{W}} \end{array}\right\} \quad \rightarrow \quad \dot{W}_{\text {net, in}} = \dfrac{\dot{Q}_{\text {out}}}{COP_{HP}} = \dfrac{\left(10,000 \ \dfrac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{h}}\right)}{4} = 2,500 \ \dfrac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{h}} \nonumber \]Як би ви розрахували швидкість тепловіддачі в систему?

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Повітря міститься в простому поршнево-циліндровому пристрої і виконує триступінчастий цикл, описаний в таблиці:

Держава 1	\(P_{1}=200 \mathrm{~kPa}; \quad T_{1}=27^{\circ} \mathrm{C}; \quad V_{1}=0.5 \mathrm{~m}^{3}\)
\(1 \rightarrow 2\)	\ (P_ {1} =200\ mathrm {~кПа};\ квадрат T_ {1} =27^ {\ circ}\ mathrm {C};\ квадрат V_ {1} =0,5\ mathrm {~m} ^ {3}\)» Клас ="LT-eng-84366">Постійний об'ємний нагрів
Держава 2	\ (P_ {1} =200\ матрм {~кПа};\ квадрат T_ {1} =27^ {\ circ}\ mathrm {C};\ квадрат V_ {1} =0,5\ mathrm {~m} ^ {3}\)» клас = "lt-eng-84366">\(P_{2}=400 \mathrm{~kPa}\)
\(2 \rightarrow 3\)	\ (P_ {1} =200\ mathrm {~кПа};\ квадрат T_ {1} =27^ {\ circ}\ mathrm {C};\ quad V_ {1} =0,5\ mathrm {~m} ^ {3}\)» Клас="LT-eng-84366">Постійна температура (ізотермічне) розширення
Держава 3	\ (P_ {1} =200\ матрм {~кПа};\ квадрат T_ {1} =27^ {\ circ}\ mathrm {C};\ квадрат V_ {1} =0,5\ mathrm {~m} ^ {3}\)» клас = "lt-eng-84366">\(P_{3}=P_{1}\)
\(3 \rightarrow 1\)	\ (P_ {1} =200\ mathrm {~кПа};\ квадрат T_ {1} =27^ {\ circ}\ mathrm {C};\ quad V_ {1} =0,5\ mathrm {~m} ^ {3}\)» Клас="LT-eng-84366">Постійний тиск (ізобарне) стиснення

Припускаючи, що повітря можна розглядати як ідеальний газ з кімнатною температурою питомої нагрівання, визначте наступне:

(а) робота і тепловіддача на одиницю маси для кожного процесу, в\(\mathrm{kJ} / \mathrm{kg}\),

(b) чиста робота і чистий теплообмін на одиницю маси за цикл, в\(\mathrm{kJ} / \mathrm{kg}\),

(c) чи є пристрій силовим циклом (тепловим двигуном) або холодильником,

(d) обчислити відповідний показник ефективності на основі вашої відповіді на (b).

Рішення

\[ \begin{array}{c} \text{Closed system: Air inside piston}; \quad \Delta KE = 0; \quad \Delta PE = 0 \\ \Rightarrow \Delta U = Q_{\text{in}} + W_{\text{in}} \\ \text{Divide by } m \text{ to get:} \quad \boxed{\Delta u = q + w} \end{array} \nonumber \]

\[ \begin{array}{c} \text{Since there is only } PdV \text{ work, } \quad W_{\text{in}} = - \int\limits_{1}^{2} P \ d V\kern-0.8em\raise0.3ex- \\ \text{Divide by } m \text{ to get:} \quad \boxed{w_{\text{in}} = - \int P \ d \upsilon} \end{array} \nonumber \]

\[ \begin{aligned} 1 \rightarrow 2: \text{ Constant Volume} \\ \Delta u &= q_{1 \text{-} 2} - \cancel{ w_{1 \text{-} 2}}^{=0} \\ w_{1 \text{-} 2} &= 0 \quad \text{ since } \upsilon = \text{a constant} \\[4pt] \text{Ideal gas model:} \quad \frac{P_2 \cancel{V\kern-0.8em\raise0.3ex-_2}}{P_1 \cancel{V\kern-0.8em\raise0.3ex-_1}} &= \frac{\cancel{m} \cancel{R} T_{2}}{\cancel{m} \cancel{R} T_{1}} \\ \Rightarrow T_{2} &= \frac{P_2}{P_1} T_{1} = (2)(600 \mathrm{~K}) = 600 \mathrm{~K} \\[4pt] q_{1 \text{-} 2} &= u_{2} - u_{1} \\ &= C_{v} \left(T_{2}-T_{1}\right) \\ &= (0.718)(600-300) \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}} \end{aligned} \nonumber \]

\[ \boxed{q_{1 \text{-} 2} = 215.40 \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}}} \nonumber \]

\[ \begin{aligned} 2 \rightarrow 3: \text{ Isothermal} \\ \Delta u &= C_{v} \cancel{\left(T_{2}-T_{1}\right)}^{=0} = 0 \\ \cancel{\Delta u}^{=0} &= q+w \\ q_{2 \text{-} 3} &= -w_{2 \text{-} 3} \\[4pt] w_{2 \text{-} 3} &= - \int\limits_{2}^{3} P \ d\upsilon \quad \text{ but } P=\frac{RT}{\upsilon} \\ w_{2 \text{-} 3} &= - \int\limits_{2}^{3} \frac{RT}{\upsilon} \ d\upsilon \\ w_{2 \text{-} 3} &= -RT_{2} \ln \left(\frac{\upsilon_{3}}{\upsilon_{2}}\right) \\[4pt] P_{3} \upsilon_{3} = P_{2} \upsilon_{2} \rightarrow \frac{\upsilon_{3}}{\upsilon_{2}} &= \frac{P_{2}}{P_{3}} \quad \text{ where } P_{3} = P_{1} \\ \Rightarrow \frac{\upsilon_{3}}{\upsilon_{2}} = \frac{P_{2}}{P_{1}} = \frac{400}{200} &= 2 \\[4pt] w_{2 \text{-} 3} &= -(0.287)(600) \ln (2) \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} \end{aligned} \nonumber \]

\[ \begin{array}{c} \boxed{ w_{2 \text{-} 3} = -119.36 \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}} } \\ \boxed{ q_{2 \text{-} 3} = 119.36 \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}} } \end{array} \nonumber \]

\[ \begin{aligned} 3 \rightarrow 1: \text{ Isobaric Compression} \\ \Delta u &= q+w \\ w_{3 \text{-} 1} &= - \int\limits_{3}^{1} P \ d \upsilon \\ &= - \underbrace{P_{3}}_{= P_1} \left(\upsilon_{1} - \upsilon_{3}\right) \\ &= -P_{1} \upsilon_{1} \left(1 - \frac{\upsilon_{3}}{\upsilon_{1}}\right) \\ &= -RT_{1} \left(1 - \frac{P_{2}}{P_{1}}\right) \\ \frac{\upsilon_{3}}{\upsilon_{1}} &= \frac{P_{2}}{P_{1}} \text{ since } P_{3} \upsilon_{3} = P_{2} \upsilon_{2}; \quad P_{3} = P_{1}; \quad \upsilon_{2} = \upsilon_{1} \\ &\Rightarrow P_{1} \upsilon_{3} = P_{2} \upsilon_{1} \end{aligned} \nonumber \]

\[ \begin{array}{l} { } \\ w_{3 \text{-} 1} = -(0.287)(300)(1-2) \dfrac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}} \\ \boxed{ w_{3 \text{-} 1} = 86.10 \ \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}} } \end{array} \nonumber \]

\[ \begin{aligned} q_{3 \text{-} 1} &= \left(u_{1}-u_{3}\right) - w_{3 \text{-} 1} \\ &= C_{v} \left(T_{1}-T_{3}\right) - w_{3 \text{-} 1} \\ &= \left(0.718 \ \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}}\right)(300-600) - w_{3 \text{-} 1} \\ &= (-215.40 - 86.10) \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}} \end{aligned} \nonumber \]

\[ \boxed{q_{3 \text{-} 1} = -301.50 \ \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}}} \nonumber \]

а) Підсумовуючи ці результати:

	\(q_{\text{in}} \ (\mathrm{kJ}/\mathrm{kg})\)	\(w_{\text{in}} \ (\mathrm{kJ}/\mathrm{kg})\)
\(1 \rightarrow 2\)	\ (q_ {\ text {in}}\ (\ mathrm {кДж}/\ mathrm {кг})\) ">\(215.40\)	\ (w_ {\ text {in}}\ (\ mathrm {кДж}/\ mathrm {кг})\) ">\(0\)
\(2 \rightarrow 3\)	\ (q_ {\ text {in}}\ (\ mathrm {кДж}/\ mathrm {кг})\) ">\(119.36\)	\ (w_ {\ text {in}}\ (\ mathrm {кДж}/\ mathrm {кг})\) ">\(-119.36\)
\(3 \rightarrow 1\)	\ (q_ {\ text {in}}\ (\ mathrm {кДж}/\ mathrm {кг})\) ">\(-301.50\)	\ (w_ {\ text {in}}\ (\ mathrm {кДж}/\ mathrm {кг})\) ">\(86.10\)
\[\mathbf{\sum} \nonumber \]	\ (q_ {\ text {in}}\ (\ mathrm {кДж}/\ mathrm {кг})\) ">\(\mathbf{33.26}\)	\ (w_ {\ text {in}}\ (\ mathrm {кДж}/\ mathrm {кг})\) ">\(\mathbf{-33.26}\)

б)\(q_{\text{net, in}} + w_{\text{net, in}} = 0. \) Це повинно відбуватися протягом циклу!

в) Тип циклу:\[ \begin{gathered} w_{\text{net, in}} = -33.26 \ \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}} \\ \Rightarrow w_{\text{net, out}} = 33.26 \ \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}} > 0 \\ \text{Power cycle} \end{gathered} \nonumber \]

г) На основі (c):\[ \begin{aligned} \eta &= \frac{w_{\text{net, out}}}{q_{\text{gross, in}}} = \frac{33.26}{215.40 + 119.36} \\ &= 0.09935 \Rightarrow 9.935 \% \end{aligned} \nonumber \] Тільки\(\simeq 10 %\) енергія, що надходить тепловіддачею, перетворюється в тепло!

Коментарі:

1) Таблиця є істотною особливістю даного аналізу. Це дозволяє нам легко перевірити нашу роботу.

2) Весь аналіз проводиться на масовій основі.

3) Цей цикл представлений у вигляді замкнутого, періодичного циклу. Теоретично, якби ми могли побудувати стійкі пристрої для виконання цих трьох процесів, ми могли б мати замкнутий цикл, сталий стан.

Якщо ми змінили напрямок цього циклу, т.\(1 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 1\) Е.

	\(q_{\text{in}} \ (\mathrm{kJ}/\mathrm{kg})\)	\(w_{\text{in}} \ (\mathrm{kJ}/\mathrm{kg})\)
\(1 \rightarrow 3\)	\ (q_ {\ text {in}}\ (\ mathrm {кДж}/\ mathrm {кг})\) ">\(301.50\)	\ (w_ {\ text {in}}\ (\ mathrm {кДж}/\ mathrm {кг})\) ">\(-86.10\)
\(3 \rightarrow 2\)	\ (q_ {\ text {in}}\ (\ mathrm {кДж}/\ mathrm {кг})\) ">\(-119.36\)	\ (w_ {\ text {in}}\ (\ mathrm {кДж}/\ mathrm {кг})\) ">\(119.36\)
\(2 \rightarrow 1\)	\ (q_ {\ text {in}}\ (\ mathrm {кДж}/\ mathrm {кг})\) ">\(-215.40\)	\ (w_ {\ text {in}}\ (\ mathrm {кДж}/\ mathrm {кг})\) ">\(0\)
\[ \mathbf{\sum} \nonumber \]	\ (q_ {\ text {in}}\ (\ mathrm {кДж}/\ mathrm {кг})\) ">\(-33.26\)	\ (w_ {\ text {in}}\ (\ mathrm {кДж}/\ mathrm {кг})\) ">\(33.26\)

\[ w_{\text{net, in}} = 33.26 \ \mathrm{kJ} / \mathrm{kg} > 0 \Rightarrow \text{Refrigeration cycle} \nonumber \]

\[ \begin{aligned} COP &= \frac{q_{\text{in, gross}}}{w_{\text{net, in}}} = \frac{119.36+215.40}{33.26} \\ &= 10.06 \end{aligned} \nonumber \]