6.4: Золоте правило Фермі
- Page ID
- 79411
Розглянемо тепер систему з гамільтоном\( \mathcal{H}_{0}\), з яких нам відомі власні значення та власні функції:
\[\mathcal{H}_{0} u_{k}(x)=E_{k} u_{k}(x)=\hbar \omega_{k} u_{k}(x) \nonumber\]
Тут я якраз висловив енергію власнихзначень в плані частот\( \omega_{k}=E_{k} / \hbar\). Тоді загальний стан буде розвиватися як:
\[\psi(x, t)=\sum_{k} c_{k}(0) e^{-i \omega_{k} t} u_{k}(x) \nonumber\]
Якщо система знаходиться в рівноважному стані, ми очікуємо, що вона буде нерухомою, таким чином хвильова функція буде однією з власних функцій гамільтоніана. Наприклад, якщо розглядати атом або ядро, ми зазвичай розраховуємо знайти його в основному стані (стані з найменшою енергією). Вважаємо це початковим станом системи:
\[\psi(x, 0)=u_{i}(x) \nonumber\]
де\(i\) розшифровується як початковий). Тепер припустимо, що до системи застосовано збурень. Наприклад, ми могли б мати лазер, що висвітлює атом, або нейтронне розсіювання ядром. Це збурення вводить додатковий потенціал\(\hat{V}\) у гамільтоніан системи (апріорі\(\hat{V}\) може бути функцією як позиції, так і часу\(\hat{V}(x, t)\), але ми розглянемо простіший випадок незалежного від часу потенціалу\( \hat{V}(x)\)). Тепер гамільтоніан читає:
\[\mathcal{H}=\mathcal{H}_{0}+\hat{V}(x) \nonumber\]
Що ми повинні зробити, це знайти власні значення\(\left\{E_{h}^{v}\right\}\) та власні функції\(\left\{v_{h}(x)\right\}\) цього нового Гамільтоніана і висловити\(u_{i}(x)\) в цій новій основі і побачити, як він розвивається:
\[u_{i}(x)=\sum_{h} d_{h}(0) v_{h} \quad \rightarrow \quad \psi^{\prime}(x, t)=\sum_{h} d_{h}(0) e^{-i E_{h}^{v} t / \hbar} v_{h}(x). \nonumber\]
Однак більшу частину часу новий гамільтоніан є складним, і ми не можемо обчислити його власні значення та власні функції. Далі слідуємо іншій стратегії.
Розглянемо наведені вище приклади (атом+лазер або ядро+нейтрон): Те, що ми хочемо обчислити, - це ймовірність здійснення переходу від рівня енергії атома/ядра до іншого енергетичного рівня, індукованого взаємодією. Оскільки\(\mathcal{H}_{0}\) оригінальний гамільтоніан описує систему, має сенс завжди описувати стан з точки зору його енергетичних рівнів (тобто з точки зору власних функцій). Потім вгадуємо рішення для стану форми:
\[\psi^{\prime}(x, t)=\sum_{k} c_{k}(t) e^{-i \omega_{k} t} u_{k}(x) \nonumber\]
Це дуже схоже на вираз для\( \psi(x, t)\) вище, за винятком того, що тепер коефіцієнт\( c_{k}\) залежний від часу. Часова залежність випливає з того факту, що ми додали додаткову потенційну взаємодію до гамільтоніана.
Давайте тепер вставимо цю здогадку в рівняння Шредінгера\(i \hbar \frac{\partial \psi^{\prime}}{\partial t}=\mathcal{H}_{0} \psi^{\prime}+\hat{V} \psi^{\prime} \):
\[i \hbar \sum_{k}\left[\dot{c}_{k}(t) e^{-i \omega_{k} t} u_{k}(x)-i \omega c_{k}(t) e^{-i \omega_{k} t} u_{k}(x)\right]=\sum_{k} c_{k}(t) e^{-i \omega_{k} t}\left(\mathcal{H}_{0} u_{k}(x)+\hat{V}\left[u_{k}(x)\right]\right) \nonumber\]
(де\(\dot{c}\) похідна за часом). Використовуючи рівняння власних значень для спрощення RHS, ми знаходимо
\[\sum_{k}\left[i \hbar \dot{c}_{k}(t) e^{-i \omega_{k} t} u_{k}(x)\right. \left.+\hbar \omega c_{k}(t) e^{-i \omega_{k} t} u_{k}(x)\right]= \sum_{k}\left[c_{k}(t) e^{-i \omega_{k} t} \hbar \omega_{k} u_{k}(x)+\right. \left.c_{k}(t) e^{-i \omega_{k} t} \hat{V}\left[u_{k}(x)\right]\right] \nonumber\]
\[\sum_{k} i \hbar \dot{c}_{k}(t) e^{-i \omega_{k} t} u_{k}(x)=\sum_{k} c_{k}(t) e^{-i \omega_{k} t} \hat{V}\left[u_{k}(x)\right] \nonumber\]
Тепер візьмемо внутрішній виріб кожної зі сторін з\(u_{h}(x)\):
\[\sum_{k} i \hbar \dot{c}_{k}(t) e^{-i \omega_{k} t} \int_{-\infty}^{\infty} u_{h}^{*}(x) u_{k}(x) d x=\sum_{k} c_{k}(t) e^{-i \omega_{k} t} \int_{-\infty}^{\infty} u_{h}^{*}(x) \hat{V}\left[u_{k}(x)\right] d x \nonumber\]
У LHS ми знаходимо, що\(\int_{-\infty}^{\infty} u_{h}^{*}(x) u_{k}(x) d x=0\) для\(h \neq k\) і це 1 for\(h = k\) (власні функції ортонормальні). Тоді в сумі за єдиний\(k\) термін, який вижив, є один\(k = h\):
\[\sum_{k} i \hbar \dot{c}_{k}(t) e^{-i \omega_{k} t} \int_{-\infty}^{\infty} u_{h}^{*}(x) u_{k}(x) d x=i \hbar \dot{c}_{h}(t) e^{-i \omega_{h} t} \nonumber\]
На RHS у нас немає жодного спрощення. Однак, щоб скоротити позначення, ми\(V_{h k} \) називаємо інтеграл:
\[V_{h k}=\int_{-\infty}^{\infty} u_{h}^{*}(x) \hat{V}\left[u_{k}(x)\right] d x \nonumber\]
Рівняння спрощує:
\[\dot{c}_{h}(t)=-\frac{i}{\hbar} \sum_{k} c_{k}(t) e^{i\left(\omega_{h}-\omega_{k}\right) t} V_{h k} \nonumber\]
Це диференціальне рівняння для коефіцієнтів\(c_{h}(t) \). Ми можемо висловити те ж відношення, використовуючи інтегральне рівняння:
\[c_{h}(t)=-\frac{i}{\hbar} \sum_{k} \int_{0}^{t} c_{k}\left(t^{\prime}\right) e^{i\left(\omega_{h}-\omega_{k}\right) t^{\prime}} V_{h k} d t^{\prime}+c_{h}(0) \nonumber\]
Тепер зробимо важливе наближення. На початку ми говорили, що потенціал\(\hat{V}\) є збуренням, тому ми припускаємо, що його ефекти невеликі (або зміни відбуваються повільно). Тоді ми можемо наблизити\(c_{k}\left(t^{\prime}\right) \) в інтегралі з його значенням в момент 0,\(c_{k}(t=0)\):
\[c_{h}(t)=-\frac{i}{\hbar} \sum_{k} c_{k}(0) \int_{0}^{t} e^{i\left(\omega_{h}-\omega_{k}\right) t^{\prime}} V_{h k} d t^{\prime}+c_{h}(0) \nonumber\]
[Примітка: для кращого наближення може бути використана ітераційна процедура, яка\( c_{k}\left(t^{\prime}\right)\) замінює її рішенням першого порядку, потім другим тощо].
Тепер повернемося до початкового сценарію, в якому ми припускали, що система спочатку знаходиться в стані спокою, в стаціонарному стані\(\psi(x, 0)=u_{i}(x) \). Це означає, що\(c_{k}(0)=0\) для всіх\(k \neq i\). Рівняння потім зводиться до:
\[c_{h}(t)=-\frac{i}{\hbar} \int_{0}^{t} e^{i\left(\omega_{h}-\omega_{i}\right) t^{\prime}} V_{h i} d t^{\prime} \nonumber\]
або, зателефонувавши\( \Delta \omega_{h}=\omega_{h}-\omega_{i}\),
\[c_{h}(t)=-\frac{i}{\hbar} V_{h i} \int_{0}^{t} e^{i \Delta \omega_{h} t^{\prime}} d t^{\prime}=-\frac{V_{h i}}{\hbar \Delta \omega_{h}}\left(1-e^{i \Delta \omega_{h} t}\right) \nonumber\]
Що нас дійсно цікавить, так це ймовірність здійснення переходу з початкового стану\(u_{i}(x) \) в інший стан\( u_{h}(x): P(i \rightarrow h)=\left|c_{h}(t)\right|^{2}\). Цей перехід викликаний додатковим потенціалом,\(\hat{V} \) але ми припускаємо, що як початковий, так і кінцевий стани є власними функціями початкового гамільтоніана\(\mathcal{H}_{0} \) (однак зауважте, що кінцевий стан буде суперпозицією всіх можливих станів, до яких система може перейти).
Отримуємо
\[P(i \rightarrow h)=\frac{4\left|V_{h i}\right|^{2}}{\hbar^{2} \Delta \omega_{h}^{2}} \sin \left(\frac{\Delta \omega_{h} t}{2}\right)^{2} \nonumber\]
Функція\(\frac{\sin z}{z} \) називається функцією sinc (див. Рис.\(\PageIndex{1}\)). Візьміть\( \frac{\sin (\Delta \omega t / 2)}{\Delta \omega / 2}\). У межі\(t \rightarrow \infty \) (тобто припускаючи, що ми описуємо стан системи після того, як новий потенціал давно повинен був змінити стан квантової системи) функція sinc стає дуже вузькою, поки ми не зможемо наблизити її за допомогою дельта-функції. Точна межа функції дає нам:
\[P(i \rightarrow h)=\frac{2 \pi\left|V_{h i}\right|^{2} t}{\hbar^{2}} \delta\left(\Delta \omega_{h}\right) \nonumber\]
Потім ми можемо знайти швидкість переходу від\( i \rightarrow h\) ймовірності переходу за одиницю часу,\( W_{i h}=\frac{d P(i \rightarrow h)}{d t}\):
\[\boxed{W_{i h}=\frac{2 \pi}{\hbar^{2}}\left|V_{h i}\right|^{2} \delta\left(\Delta \omega_{h}\right)} \nonumber\]
Це так зване Золоте правило Фермі, що описує швидкість переходу між державами.
Ця швидкість переходу описує перехід від\(u_{i} \) до єдиного рівня\( u_{h}\) з заданою енергією\( E_{h}=\hbar \omega_{h}\). У багатьох випадках кінцевий стан - це незв'язаний стан, який, як ми бачили, може приймати безперервну можливу енергію. Потім замість точкової дельта-функції розглянемо перехід до сукупності станів з енергіями в малому проміжку\( E \rightarrow E+d E\). Швидкість переходу тоді пропорційна кількості станів, які можна знайти з цією енергією. Число стану задається тим\( d n=\rho(E) d E\), де\(\rho(E) \) називається щільність станів (як це обчислити ми побачимо в більш пізній лекції). Тоді Золоте правило Фермі більш загально виражається як:
\[\boxed{W_{i h}=\left.\frac{2 \pi}{\hbar}\left|V_{h i}\right|^{2} \rho\left(E_{h}\right)\right|_{E_{h}=E_{i}}} \nonumber\]
[Примітка, перед тим як зробити заміну,\(\delta(\Delta \omega) \rightarrow \rho(E)\) нам потрібно написати\(\delta(\Delta \omega)=\hbar \delta(\hbar \Delta \omega)=\hbar \delta\left(E_{h}-E_{i}\right) \rightarrow \left.\hbar \rho\left(E_{h}\right)\right|_{E_{h}=E_{i}}\). Ось чому в остаточній формулюванні Золотого правила ми маємо лише фактор,\(\hbar\) а не його квадрат.]
