Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

10.1.1: Струнний резонанс

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    79186

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Нагадаємо, що швидкість хвилі на струні визначається щільністю і натягом;\(v=(T/\mu )^{1/2}\) де\(T\) - натяг в струні в ньютонах і\(\mu\) - маса на довжину в кілограмах на метр). Ми також знаємо, що як тільки швидкість фіксована, частота (в герцах) і довжина хвилі (в метрах) обернено пропорційні;\(v=f\lambda\). Отже, трьома параметрами, що визначають частоти струни, є натяг, щільність (маса на довжину) і довжина. Щільність струни визначається товщиною і масою; товста, важка струна є більш щільною, тому хвилі рухаються повільніше.

    Для стоячих хвиль на мотузці кінці закріплюються, а струна не рухається. Місця, де жало не вібрує, називаються вузлами. Це обмежує можливі довжини хвиль, що, в свою чергу, визначає частоти, оскільки швидкість фіксована і\(v=f\lambda \). Найнижча частота називається фундаментальною або першою гармонікою. Для рядка більш високі частоти є кратними фундаментальним і називаються гармоніками або частковими. Більш загальний термін обертон використовується для позначення частот, більших за основні, які можуть бути гармонічними або не можуть бути. Це може трохи заплутати, оскільки для струн є тільки гармоніки і друга гармоніка - перший обертон і т.д. різні гармоніки (обертони) ще називають нормальними режимами вібрації струни.

    Які довжини хвиль помістяться на рядку довжини\(L\)? Там повинен бути вузол на кожному кінці, так що це повинно бути так, що\(L=n\lambda /2\) де\(n\) є ціле число. Іншими словами, ви можете мати половину хвилі на струні (\(n=1\)), одна хвиля (\(n=2\)), півтори хвилі (\(n=3\)) тощо Але у вас ніколи не буде іншої частки хвилі, тому що це вимагало б не мати вузла на обох кінцях.

    шлях різниця

    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Зверніть увагу, що вищі гармоніки мають вузли в інших місцях, крім тільки на кінцях. Між двома вузлами знаходиться область, де коливання максимальні. Вони називаються антивузлами. Фундаментальний має один анти-вузол, 2-а гармоніка має два анти-вузли.

    Після того, як щільність і натяг струни обрані, швидкість фіксується, і частоти залежатимуть від довжини хвилі, як показано в наступній таблиці. Зверніть увагу, що гармоніки є кратними фундаментальним.

    Гармонічне число Довжина хвилі Частота\(f=v/\lambda\)
    \(n=1\) \(\lambda_{1}=2L\) \ (f = v/\ лямбда\) ">\(f_{1}=v/\lambda_{1}\)
    \(n=2\) \(\lambda_{2}=L=\lambda_{1}/2\) \ (f = v/\ лямбда\) ">\(f_{2}=v/\lambda_{2}=2f_{1}\)
    \(b=3\) \(\lambda_{3}=\frac{2}{3}L=\lambda_{1}/3\) \ (f = v/\ лямбда\) ">\(f_{3}=v/\lambda_{3}=3f_{1}\)
    \(n=4\) \(\lambda_{4}=\frac{1}{2}L=\lambda_{1}/4\) \ (f = v/\ лямбда\) ">\(f_{4}=v/\lambda_{4}=4f_{1}\)
    \(n=5\) \(\lambda_{5}=\frac{2}{5}L=\lambda_{1}/5\) \ (f = v/\ лямбда\) ">\(f_{5}=v/\lambda_{5}=5f_{1}\)
    \(n\) \(\lambda_{n}=\frac{2}{n}L=\lambda_{1}/n\) \ (f = v/\ лямбда\) ">\(f_{n}=v/\lambda_{n}=nf_{1}\)

    Таблиця\(\PageIndex{1}\)

    У розділі 4 ми визначили резонанс як випадок, коли амплітуда вібрації стала більшою, оскільки частота руху відповідала власній частоті. Тут ми бачимо, що існує багато природних частот. Це означає, що резонансних частот багато. Для рядка це всі гармоніки (цілі числа кратні) фундаментального. У реальній струні, яка вищипана або схилена, часто трапляється, що кілька цих резонансних частот присутні одночасно. Це означає, що музичні інструменти зазвичай виробляють не тільки фундаментальні, але і гармоніки, які надають інструменту його тембр.