9.7: Підсумовуючи

(Примітка: це резюме широко використовує перехресні продукти, але не включає резюме властивостей крос-продукту. Будь ласка, зверніться до розділу 9.3 для цього!)

1. Кутова швидкість і прискорення частинки, що рухається по колу, можна розглядати як вектори, перпендикулярні площині кола,\(\vec \omega\) і\(\vec \alpha\), відповідно. Напрямок такої\(\vec \omega\), що відношення\(\vec v = \vec \omega \times \vec r\) завжди тримається, де\(\vec r\) знаходиться (миттєвий) вектор положення частинки на колі.
2. Кінетична енергія частинки може бути записана як\(K_{rot} = \frac{1}{2} I\omega^2\), де\(I = mR^2\) обертальна інерція або момент інерції. Для розширеного об'єкта, що обертається навколо осі,\(K_{rot} = \frac{1}{2} I\omega^2\) також застосовується, якщо\(I\) визначається як сума величин\(mr^2\) для всіх частинок,\(r\) що складають об'єкт, де відстань частинки до осі обертання.
3. Для жорсткого предмета, який обертається навколо осі, що проходить через його центр маси з кутовою швидкістю\(\omega\), загальну кінетичну енергію можна записати як\(K = K_{cm} + K_{rot} = \frac{1}{2}Mv^2_{cm} + \frac{1}{2}I\omega^2\). Це стосувалося б і нежорсткої системи, за умови, що всі частинки мають однакову кутову швидкість.
4. Кутовий імпульс частинки близько точки O визначається як\( \vec{L}=\vec{r} \times \vec{p}=m \vec{r} \times \vec{v} \), де\(\vec r\) вектор положення частинки відносно походження O, а\(\vec v\) також вектори\(\vec p\) її швидкості та імпульсу.\(\vec L\) Для розширеного об'єкта або системи\(\vec L\) визначається як сума величин\(m \vec{r} \times \vec{v}\) для всіх частинок, що складають систему.
5. Для твердого об'єкта, що обертається навколо осі симетрії,\(\vec L = I\vec{\omega}\). Це стосується і по суті плоского об'єкта, що обертається навколо перпендикулярної осі, навіть якщо він не є віссю симетрії.
6. Крутний\(\vec{\tau}\) момент сили близько точки О визначається як\(\tau = \vec r \times \vec F\), де\(\vec r\) вектор положення точки прикладання сили відносно початку О. Це міра ефективності сили при спричиненні обертання навколо цієї точки.
7. Швидкість зміни кутового моменту системи щодо точки О дорівнює сумі крутних моментів, приблизно в тій же точці, всіх зовнішніх сил, що діють на систему:\(\sum \vec{\tau}_{e x t}=d \vec{L}_{sys}/dt\). Отже, кутовий імпульс є постійним, коли всі зовнішні крутні моменти зникають (збереження моменту моменту).
8. Для випадків, розглянутих в пункті 7 вище, якщо момент інерції\(I\) постійний, рівняння\( \sum \vec{\tau}_{e x t}=d \vec{L}_{s y s} / d t \) можна записати в тому вигляді\(\sum \vec{\tau}_{e x t}=I \vec{\alpha}\), який сильно нагадує знайоме\(\sum \vec{F}_{e x t}=m \vec{a}\). Однак зауважте, що деформовані системи, де\(I\) можуть змінюватися з часом в результаті внутрішніх сил, є відносно поширеними, і для цих систем це більш просте рівняння не застосовується.
9. Щоб об'єкт знаходився в статичній рівновазі, ми вимагаємо, щоб сума зовнішніх сил і зовнішніх крутних моментів дорівнювала нулю:\(\sum \vec{F}_{e x t}=0\) і\(\sum \vec{\tau}_{e x t} = 0\). Зверніть увагу, що якщо застосовується перша умова, не має значення, в якій точці ми розраховуємо крутний момент, тому ми вільні вибирати, який найбільш зручний.
10. Для жорсткого об'єкта радіусу\(R\) кочення без ковзання на деякій поверхні співвідношення\(|v_{cm}| = R|\omega|\) і\(|a_{cm}| = R|\alpha|\) утримання. Відносні ознаки, наприклад,\(v_{cm}\) і\(\omega\) (розуміються тут як відповідні компоненти відповідних векторів) повинні бути обрані таким чином, щоб відповідати будь-якій прийнятій конвенції щодо позитивного напрямку руху та позитивного напрямку обертання (як правило, a обертання проти годинникової стрілки вважається позитивним).