2.1: Закони руху Ньютона

Last updated
Save as PDF

Page ID: 74533

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Як описано в главі 1, класична механіка заснована на наборі аксіом, які, в свою чергу, засновані на (повторюваних) фізичних спостереженнях. Для того, щоб сформулювати перші три аксіоми, нам потрібно буде спочатку визначити три величини: (миттєву) швидкість, прискорення і імпульс частинки. Якщо позначити положення частинки як x (t) - позначаючи вектор ¹ величини з розмірністю довжини, яка залежить від часу, визначаємо її швидкість як тимчасову похідну позиції:

\[v(t)={\dot x (t)}={{d x(t)} \over dt}\]

Зауважте, що ми використовуємо overdot для позначення похідної часу, ми будемо використовувати цю конвенцію протягом цих нотаток. Прискорення - це похідна за часом швидкості, і, отже, друга похідна позиції:

\[a(t)={\ddot x (t)}={{d v(t)} \over dt}={{d^2 x(t)} \over dt^2}\]

Нарешті, імпульс частинки - це її маса, що перевищує її швидкість:

\[p(t)={m v(t)}={m \dot x (t)}\]

Тепер ми готові дати наші наступні три аксіоми. Можливо, ви стикалися з ними раніше; вони відомі як три закони руху Ньютона.

Аксіома 1 (перший закон руху Ньютона). Поки немає зовнішньої дії, швидкість частинки залишатиметься постійною. Зверніть увагу, що перший закон включає в себе частинки в стані спокою, т\(v=0\). Ми визначимо загальну «зовнішню дію» як силу, тому сила тепер все, що може змінити швидкість частинки. Другий закон кількісно визначає силу.

Аксіома 2 (другий закон руху Ньютона). Якщо на частинку діє чиста сила, то її миттєва зміна імпульсу за рахунок цієї сили дорівнює цій силі:

\[F(t)={dp(t) \over dt} \label{2.1.4}\]

Тепер, оскільки\(p=mv\) і\(a={dv \over dt}\), якщо маса постійна, ми також можемо записати Equation\ ref {2.1.4} як\(F=ma\), або

\[F(t)=m \ddot x(t)\]

який є формою в ми будемо використовувати більшість. Виходячи з другого закону, ми бачимо, що сила має фізичний вимір маси на довжину, розділену на квадрат часу - оскільки це досить багато, щоб покласти кожен раз, ми визначаємо вимір сили як такий:\(F=MLT^{-2}\). Так само ми визначаємо одиницю, Ньютон (N), як кілограм разів на метр на секунду в квадраті:\(N={{kg \cdot m} \over s^2}\). Тому в принципі другий закон руху Ньютона також може бути використаний для вимірювання сил, хоча ми часто будемо використовувати його навпаки, і обчислювати зміни імпульсу через відому силу.

Зверніть увагу, як перший закон Ньютона випливає з другого: якщо сила дорівнює нулю, зміни імпульсу немає, і, таким чином, (припускаючи постійну масу) постійну швидкість. Зауважте також, що хоча другий закон дає нам кількісну оцінку сили, сам по собі він не допоможе нам досягти багато чого, оскільки ми в даний час не маємо уявлення про те, що таке сила (хоча у вас, мабуть, є деякі інтуїтивні ідеї з досвіду) - для цього ми будемо використовувати закони сили наступного розділу. Перш ніж відправитися туди, є ще одне важливе спостереження за характером сил взагалі.

Аксіома 3 (третій закон руху Ньютона). Якщо тіло чинить силу F ₁ на друге тіло, друге тіло чинить рівну, але протилежну силу F ₂, на перше, тобто сили рівні за величиною, але протилежні в напрямку:

\[F_1 = -F_2\]

Ісаак Ньютон

Ісаак Ньютон (1642-1727) був британським фізиком, астрономом і математиком, який широко розглядається як один з найважливіших вчених в історії. Ньютон був професором в Кембриджі з 1667 по 1702 рік, де він займав знамениту луказьку кафедру математики. Ньютон винайшов нескінченно мале числення, щоб мати можливість виражати закони механіки, які тепер носять його ім'я в математичній формі. Він також дав математичний опис сили тяжіння (Рівняння 2.2.3), з якого міг вивести закони руху планет Кеплера (розділ 6.4). Окрім роботи з механіки, Ньютон зробив ключовий внесок у оптику та винайшов телескоп відображення, який використовує дзеркало, а не об'єктив для збору світла. Пішовши зі своєї посади в Кембриджі, Ньютон більшу частину своєї половини життя проводить в Лондоні, будучи наглядачем, а пізніше майстром королівського монетного двору, і президентом королівського товариства.

Ньютон Portrait.PNG — Ілюстрація\(\PageIndex{1}\): Портрет Ісаака Ньютона Годфрі Кнеллера (1689 р.) [2].

¹ Додаток A.1 перераховує деякі основні властивості векторів, які можуть виявитися корисними.