25.2: Вектори

Поки що ми бачили, як використовувати систему координат для опису положення однієї точки в просторі відносно початку. У цьому розділі ми введемо поняття «вектор», що дозволяє описати величини, що мають величину і напрямок. Наприклад, ви можете використовувати вектор для опису того, що ви пройшли 5 км в північному напрямку. Вектор можна візуалізувати стрілкою. Довжина стрілки - це величина, яку ми хочемо описати, а напрямок стрілки відповідає напрямку, яке ми хотіли б описати.

На відміну від точки в просторі, вектори не мають розташування. Тобто вектори - це просто стрілка, і ви можете вибрати, щоб намалювати цю стрілку де завгодно. У двовимірному просторі потрібно два числа, щоб повністю визначити вектор. У тривимірному просторі потрібно три числа, щоб повністю визначити вектор. На малюнку А1.2.1 показаний двовимірний вектор\(\vec d\), двічі. Оскільки обидві стрілки на малюнку мають однакову величину і напрямок, вони представляють один і той же вектор. Коли ми посилаємось на величини, які є векторами, ми зазвичай малюємо стрілку поверх кількості (\(\vec d\)), щоб вказати, що вони є векторами. Ми використовуємо слово «скалярний» для позначення чисел, які не є векторами (регулярне число, таким чином, також називається скаляром, щоб відрізнити його від величини, яка є вектором).

Малюнок A1.2.1: Вектор,\(\vec d\) показаний двічі, один раз з його декартовими компонентами\((dx, dy)\) і один раз з його величиною і напрямком\((d, φ)\).

За аналогією з системами координат у нас є кілька способів вибору чисел, які ми використовуємо для опису вектора. Найбільш зручним вибором зазвичай є використання «декартових компонентів» вектора, які відповідають довжині вектора при проектуванні на декартову систему координат. Наприклад, на малюнку А1.2.1 декартові складові вектора\(\vec d\) позначені як (\(d_x\),\(d_y\)), що вказує на те, що вектор має довжину\(d_x\) в\(x\) напрямку і\(d_y\) в \(y\)напрямок. Крім того, число\(d_x\) є негативним, так як вектор вказує в негативному\(x\) напрямку. Іншим поширеним вибором є використання довжини вектора, який ми позначаємо\(d\) (назва вектора без стрілки зверху), і кут,\(\phi\) який вектор робить з\(x\) -віссю, як показано на малюнку A1.2.1. З точки зору двовимірних декартових компонентів величина вектора задається:\[\begin{aligned} d&= ||\vec d||= \sqrt{d_x^2+d_y^2}\end{aligned}\] де ми також ввели позначення, що розміщення двох вертикальних смуг навколо вектора (\(||\vec d||\)) використовується для позначення його величини. Зверніть увагу, що в трьох вимірах зазвичай не зручно вказувати напрямок, якщо вектор не лежить в одній з площин, визначених системою координат (наприклад,\(xy\) площині). У трьох вимірах зазвичай найзручніше вказувати три декартові компоненти.

Одиничні вектори

Особливою категорією векторів є «одиничні вектори», які представляють собою просто вектори, які мають довжину (величину) 1 (в яких одиницях визначена система координат). Одиничні вектори особливо корисні для вказівки напрямку. Наприклад, на малюнку А1.2.1 нам може бути цікаво вказати напрямок вектора\(\vec d\). Одиничні вектори позначаються за допомогою «капелюха» замість стрілки. Таким чином, вектор\(\hat d\), - це вектор довжини 1, який вказує в тому ж напрямку, що і\(\vec d\). (\(\hat d\)Декартові) компоненти легко знайти шляхом ділення відповідних компонентів\(\vec d\) на\(d\) (величина):\[\begin{aligned} (\hat d)_x &= \frac{d_x}{d}=\frac{d_x}{\sqrt{d_x^2+d_y^2}}\\ (\hat d)_y &= \frac{d_y}{d}=\frac{d_y}{\sqrt{d_x^2+d_y^2}}\\ \therefore d &= ||\hat d||=\sqrt{(\hat d)_x^2+(\hat d)_y^2}=\sqrt{\frac{d_x^2}{d_x^2+d_y^2}+\frac{d_y^2}{d_x^2+d_y^2}}=1\end{aligned}\]

Специфічним типом одиничного вектора є вектори одиниць, які паралельні осям системи координат. Ці вектори позначаються\(\hat x\)\(\hat y\),\(\hat z\) (а іноді\(\hat i\)\(\hat j\),\(\hat k\) або\(\hat e_x\),\(\hat e_y\),\(\hat e_z\)) для\(x\), \(y\), І\(z\) осі відповідно. Таким чином, вектор\(d\hat{x}\), - це вектор довжини\(d\), який вказує в позитивному\(x\) напрямку.

Позначення та представлення векторів

Існує кілька позначень для опису вектора з використанням його компонентів. Нижче наведено всі еквівалентні способи запису вектора з\(\vec d\) точки зору його складових\(d_x\) і\(d_y\):\[\begin{aligned} \vec d &= (d_x,d_y)\quad&\text{row vector}\\ &=\begin{pmatrix} d_x \\ d_y \\ \end{pmatrix}\quad&\text{column vector}\\ &= d_x\hat x +d_y \hat y\quad&\text{using }\hat x,\;\hat y\\ &=d_x\hat i +d_y \hat j \quad&\text{using }\hat i,\;\hat j\end{aligned}\] вектори\(\hat x\) (\(\hat i\)) і\(\hat y\) (\(\hat j\)) є одиницею вектори в\(x\) і\(y\) напрямках відповідно. Наприклад, одиничний вектор\(\hat y\) можна записати як (0,1) у двох вимірах або (0,1,0) у трьох вимірах, використовуючи позначення рядків.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Що таке величина (довжина) вектора\(5\hat x-2\hat y\)?

1. \(3.0\)
2. \(5.4\)
3. \(7.0\)
4. \(10.0\)

Відповідь

Ілюструвати вектор графічно в двох вимірах просто, але важко в трьох вимірах. Щоб виправити це, вводиться позначення для того, щоб малювати вектори, які вказують на сторінку або поза нею (перпендикулярно площині сторінки). Позначення походить від уяви, що вектор - стрілка стрільби з лука. Якщо вектор виходить зі сторінки (у вас!) , тоді ви побачите голову стрілки, яку ми представляємо як коло з крапкою (точка - точка стрілки, коло - основа конічної форми наконечника стрілки). Якщо замість цього вектор вказує на сторінку, то ви побачите задню частину стрілки, яку ми представляємо як хрест (хрест - пір'я в хвості стрілки). Це проілюстровано на малюнку А1.2.2.

Малюнок А1.2.2: Геометричне зображення трьох векторів. Вектор\(\vec a\) лежить в площині сторінки, вектор\(\vec b\) вказує на сторінку, а вектор\(\vec c\) вказує на сторінку.