6.4: Носії заряду в напівпровідниках - статика та кінетика

Тепер дозвольте продемонструвати застосування концепцій, розглянутих в останньому розділі, до розуміння основних кінетичних властивостей напівпровідників і кількох ключових напівпровідникових структур, які є основою більшості сучасних електронних та оптоелектронних пристроїв, а отже і всієї нашої ІТ-цивілізації. Для цього мені потрібно буде зробити об'їзд, щоб спочатку обговорити їх властивості рівноваги.

Я буду використовувати приблизну, але розумну картину, в якій енергія електронної підсистеми в твердому тілі може бути розділена на суму ефективних енергій\(\varepsilon\) незалежних електронів. Квантова механіка говорить ³², що в таких періодичних структурах, як кристали, енергія\(\varepsilon\) стаціонарного стану частинки, що взаємодіє з атомною решіткою, слідує за однією з\(\varepsilon_n (\mathbf{q})\) періодичних функцій квазіімпульсу\(\mathbf{q}\), коливаючись між двома екстремальними значеннями. \(\varepsilon_{n|min}\)і\(\varepsilon_{n|max}\). Ці дозволені енергетичні смуги розділені смугами пропусків ширини\(\Delta_n \equiv \varepsilon_{n|min} – \varepsilon_{n-1|max}\), без дозволених станів всередині них. Напівпровідники та ізолятори (діелектрики) визначаються як такі кристали, які в рівновазі при\(T = 0\), всі електронні стани в декількох енергетичних смугах (причому найвища з них називається валентною смугою) повністю заповнені, в той час як ті\(\langle N(\varepsilon_v)\rangle = 1\), що знаходяться у верхніх смугах, починаючи з найнижчої, смуги провідності, повністю порожні,\(\langle N(\varepsilon_c)\rangle = 0\). ³³ Оскільки електрони слідують статистиці Фермі-Дірака (\(2.8.5\)), це означає, що при\(T \rightarrow 0\), енергія Фермі\(\varepsilon_F \equiv \mu (0)\) розташована десь між максимумом валентної зони\(\varepsilon_{v|max}\) (зазвичай називається просто\(\varepsilon_V\)), і мінімумом зони провідності\(\varepsilon_{c|min}\) (називається \(\varepsilon_C\)) — див\(\PageIndex{1}\). Рис.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Розрахунок\(\mu\) у внутрішньому напівпровіднику.

\[\varepsilon = \begin{cases} \varepsilon_c + q^2 / 2m_c, \text{ for } \varepsilon \geq \varepsilon_c , & \text{ with } \varepsilon_c - \varepsilon_v \equiv \Delta. \\ \varepsilon_v + q^2 / 2m_v, \text{ for } \varepsilon \geq \varepsilon_c , & \text{ with } \varepsilon_c - \varepsilon_v \equiv \Delta. \end{cases} \label{53}\]

Позитивні\(m_V\) константи\(m_C\) і прийнято називати ефективними масами, відповідно, електронів і дірок. (У типовому напівпровіднику,\(m_C\) в кілька разів менше маси вільних електронів\(m_e\), в той час як\(m_V\) ближче до мене.)

Через схожість між верхньою лінією рівняння (\ ref {53}) та законом дисперсії (\(3.1.3\)) вільних частинок, ми можемо повторно використовувати Equation (\(3.2.11\)) з відповідною масою частинок\(m\)\(g\), коефіцієнтом виродження та джерелом енергії для обчислення повної просторової щільності населені стани (у фізиці напівпровідників, звані електронами у вузькому сенсі цього слова):

\[n \equiv \frac{N_c}{V} = \int^{\infty}_{\varepsilon_C} \langle N (\varepsilon ) \rangle g_3 ( \varepsilon ) d \varepsilon \equiv \frac{g_c m_c^{3/2}}{\sqrt{2} \pi^2 \hbar^3} \int^{\infty}_0 \langle N ( \tilde{\varepsilon} + \varepsilon_C ) \rangle \sim{E}^{1/2} d \tilde{\varepsilon} , \label{54}\]

де\(\tilde{\varepsilon} \equiv \varepsilon – \varepsilon_C \geq 0\). Аналогічно,\(p\) щільність «неелектронних» збуджень (званих дірками) у валентній зоні - це кількість незаповнених станів у смузі, а отже, може бути розрахована як

\[p \equiv \frac{N_h}{V} = \int^{\varepsilon_v}_{-\infty} \left[ 1 - \langle N (\varepsilon ) \rangle \right] g_3 (\varepsilon ) d \varepsilon \equiv \frac{g_v m_v^{3/2}}{\sqrt{2} \pi^2 \hbar^3 } \int^{\infty}_0 \left[ 1 - \langle N ( \varepsilon_v - \tilde{\varepsilon} ) \rangle \right] \tilde{\varepsilon}^{1/2} d \tilde{\varepsilon} , \label{55}\]

де в даному випадку\(\tilde{\varepsilon} \geq 0\) визначається як\((\varepsilon_V – \varepsilon )\). Якщо електрони і дірки ³⁵ знаходяться в тепловій і хімічній рівновазі, функції\(\langle N(\varepsilon )\rangle\) в цих двох співвідношеннях повинні слідувати розподілу Фермі-Дірака (\(2.8.5\)) з однаковою температурою\(T\) і однаковим хімічним потенціалом\(\mu \). Більше того, в нашому нинішньому випадку нелегованого (внутрішнього) напівпровідника ці щільності повинні бути рівними,

\[n = p \equiv n_i , \label{56}\]

оскільки, якби ця умова електронейтральності була порушена, об'єм придбав би ненульову щільність електричного заряду\(\rho = e(p – n)\), що призвело б до об'ємного зразка надзвичайно високої енергії електричного поля. З цієї умови отримуємо систему з двох рівнянь,

\[n_{i}=\frac{g_{C} m_{c}^{3 / 2}}{\sqrt{2} \pi^{2} \hbar^{3}} \int_{0}^{\infty} \frac{\tilde{\varepsilon}^{1 / 2} d \tilde{\varepsilon}}{\exp \left\{\left(\tilde{\varepsilon}+\varepsilon_{c}-\mu\right) / T\right\}+1}=\frac{g_{V} m_{V}^{3 / 2}}{\sqrt{2} \pi^{2} \hbar^{3}} \int_{0}^{\infty} \frac{\tilde{\varepsilon}^{1 / 2} d \tilde{\varepsilon}}{\exp \left\{\left(\tilde{\varepsilon}-\varepsilon_{V}+\mu\right) / T\right\}+1} \label{57} \]

рішення якого дає як запитувану щільність носія заряду, так\(n_i\) і рівень Фермі\(\mu \).

Для довільного співвідношення\(\Delta /T\) таке рішення можна знайти тільки чисельно, але в більшості практичних випадків це співвідношення дуже велике. (Знову ж таки, для Si при кімнатній температурі,\(\Delta \approx 1.14\) еВ, в той час як\(T \approx 0.025\) eV.) У цьому випадку ми можемо використовувати те саме класичне наближення, що і в Equation (\(3.2.16\)), для зменшення Eqs. (\ ref {54}) і (\ ref {55}) до простих виразів

\[n = n_c \exp \left\{ \frac{\mu - \varepsilon_c}{T} \right\}, \quad p = n_v \exp \left\{ \frac{\varepsilon_v - \mu}{T} \right\} , \quad \text{ for } T << \Delta , \label{58}\]

де температурно-залежні параметри

\[n_c \equiv \frac{g_c}{\hbar^3} \left( \frac{m_c T}{2\pi}\right)^{3/2} \text{ and } n_v \equiv \frac{g_v}{\hbar^3} \left( \frac{m_v T}{2\pi}\right)^{3/2} \label{59}\]

може трактуватися як ефективні числа станів (на одиницю об'єму), доступних для занять у, відповідно, провідності та валентної зонах, в тепловій рівновазі. Для звичайних напівпровідників (з\(g_C \sim g_V \sim 1\), і\(m_C \sim m_V \sim m_e\)) при кімнатній температурі ці цифри мають порядок\(3 \times 10^{25}m^{-3} \equiv 3 \times 10^{19}cm^{-3}\). (Зверніть увагу, що всі результати засновані на Eqs. (\ ref {58}) дійсні лише в тому випадку, якщо\(p\) обидва\(n\) і набагато нижче, ніж, відповідно\(n_C\) і\(n_V\).)

З заміною Eqs. (\ ref {58}), система рівнянь (\ ref {56}) дозволяє зробити простий розв'язок:

\[\mu = \frac{\varepsilon_v + \varepsilon_c}{2} + \frac{T}{2} \left( \ln \frac{g_v}{g_c} + \frac{3}{} \ln \frac{m_v}{m_c} \right) , \quad n_i = ( n_c n_v )^{1/2} \exp \left\{ - \frac{\Delta}{2T}\right\}. \label{60}\]

Оскільки у всіх практичних матеріалах логарифми в першому з цих виразів ніколи не бувають набагато більшими за 1, ³⁶, це показує, що рівень Фермі у внутрішніх напівпровідниках ніколи істотно не відхиляється від так званого значення середньої щілини\((\varepsilon_V +\varepsilon_C)/2\) — див. (схематичний) малюнок.\(\PageIndex{1}\) . В результаті для\(n_i\) останнього (експоненціального) коефіцієнта дуже малий, так що рівноважна кількість носіїв заряду значно нижче, ніж у атомів — для найважливішого випадку кремнію при кімнатній температурі\(n_i \sim 10^{10}cm^{-3}\). Експоненціальна температурна залежність\(n_i\) (а отже, і електропровідності\(\sigma \propto n_i\)) власних напівпровідників є основою декількох застосувань, наприклад простих германієвих термометрів опору, ефективних у всьому діапазоні від\(\sim 0.5\) K до\(\sim 100 \) K. Іншим корисним застосуванням того ж факту є витяг смуги напівпровідника з експериментального вимірювання температурної залежності\(\sigma \propto n_i\) - часто, всього в двох добре розділених температурних точках.

Однак більшість застосувань вимагають набагато більшої концентрації носіїв. Це може бути досить різко збільшено, помістивши в напівпровідник відносно невелику кількість дещо різних атомів - або донорів (наприклад, атомів фосфору для Si) або акцепторів (наприклад, атомів бору для Si). Розберемо першу можливість, звану\(n\) - легування, використовуючи ту ж просту модель енергетичного діапазону (\ ref {53}). Якщо атом донора лише трохи відрізняється від тих, що знаходяться в кристалічній решітці, він може бути легко іонізований - даючи додатковий електрон в зону провідності, а отже, стає позитивним іоном. Це означає, що ефективна енергія\(\varepsilon_D\) наземного стану додаткових електронів трохи нижче краю зони провідності\(\varepsilon_C\) — див\(\PageIndex{2a}\). Рис. ³⁷

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Рівні Фермі\(\mu\) в (a)\(n\) -легованих і (b)\(p\) -легованих напівпровідниках. Штрихування показує діапазони енергій нелокалізованого стану.

\[np = n^2_i . \label{61}\]

Однак для легованого напівпровідника умова електронейтральності виглядає інакше, ніж Equation (\ ref {56}), оскільки загальна щільність позитивних зарядів в одиничному об'ємі не є\(p\), а скоріше\((p + n_+)\), де\(n_+\) щільність позитивно іонізованих («активованих») донорських атомів, так що стан електронейтральності стає

\[n=p+n_+. \label{62}\]

Якщо активовані практично всі легуючі речовини, як це в більшості практичних випадків, ³⁹, то можна взяти\(n_+ = n_D\), де\(n_D\) загальна концентрація донорських атомів, тобто їх кількість на одиницю об'єму, і Equation (\ ref {62}) стає

\[n=p+n_D.\label{63}\]

Підключивши вираз\(p = n_i^2/n\), слідуючи з Equation (\ ref {61}), ми отримаємо просте квадратне рівняння для\(n\), з наступним фізично прийнятним (позитивним) розв'язком:

\[n = \frac{n_D}{2} + \left(\frac{n^2_D}{4} + n^2_i \right)^{1/2} . \label{64}\]

Цей результат показує, що легування впливає\(n\) (і, отже,\(\mu = \varepsilon_C – T \ln ( n_C/n)\) і\(p = n_i^2/n\)) тільки в тому випадку, якщо\(n_D\) концентрація легуючої речовини порівнянна з або вище внутрішньої щільності носія,\(n_i\) заданої Equation (\ ref {60}). Для більшості застосувань\(n_D\) робиться набагато вище\(n_i\); в цьому випадку Equation (\ ref {64}) дає

\[n \approx n_D >> n_i, \quad p = \frac{n_i^2}{n} \approx \frac{n_i^2}{n_D} << n, \quad \mu \approx \mu_p \equiv \varepsilon_C - T \ln \frac{n_C}{n_D} . \label{65}\]

Через причини, які будуть обговорюватися дуже скоро, сучасні електронні пристрої вимагають легування щільності вище\(10^{18}cm^{-3}\), так що логарифм в Equation (\ ref {65}) не набагато більше 1. Це означає, що рівень Фермі піднімається від середньої щілини до положення лише трохи нижче краю зони провідності\(\varepsilon_C\) — див\(\PageIndex{2a}\). Рис.

Протилежний випадок чисто\(p\) -легування, з\(n_A\) акцепторними атомами на одиницю об'єму, і малою енергією активації (негативної іонізації)\(\varepsilon_A – \varepsilon_V << \Delta \), ⁴⁰ можна розглядати абсолютно аналогічно, використовуючи умову електронейтральності у вигляді

\[ n + n = p_− , \label{66}\]

де\(n_–\) - кількість активованих (а значить і негативно заряджених) акцепторів. Для відносно високої концентрації\((n_i << n_A << n_V)\) практично всі акцептори активуються, так що\(n_– \approx n_A\), Equation (\ ref {66}) може бути наближений як\(n + n_A = p\), а аналіз дає результати подвійні до Equation (\ ref {65}):

\[p \approx n_A >> n_i, \quad n = \frac{n_i^2}{p} \approx \frac{n_i^2}{n_A} << p, \quad \mu \approx \mu_n \equiv \varepsilon_V + T \ln \frac{n_V}{n_A} . \label{67}\]

так що в цьому випадку рівень Фермі трохи вище краю валентної зони (рис.\(\PageIndex{2b}\)), а кількість дірок набагато перевищує кількість електронів — знову ж таки, у вузькому сенсі цього слова. Дозвольте мені залишити аналіз одночасного\(n\) - і\(p\) -допінгу (що дозволяє, зокрема, так звані компенсовані напівпровідники зі знаково-змінною різницею\(n – p \approx n_D – n_A\)) для вправи читача.

\[\frac{d^2\phi}{dx^2} = -\frac{\rho (x) }{\kappa \varepsilon_0} . \label{68}\]

\(\kappa\)Ось діелектрична проникність напівпровідникової матриці — за винятком легуючих речовин і носіїв заряду, які при цьому підході трактуються як явні («автономні») заряди, з об'ємною щільністю

\[\rho = e ( pn_- - n ) . \label{69}\]

(Як перевірка осудності, Eqs. (\ ref {68}) - (\ ref {69}) показують\(\mathscr{E} \equiv –d\phi /dx = 0\), що якщо\(\rho = 0\), то, повертаючи нас до стану електронейтральності (\ ref {66}), а отже, і «плоскі» діаграми смуги, показані на рис. \(\PageIndex{2b}\)і\(\PageIndex{3a}\).)

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Смугові діаграми проникнення електричного поля в однорідний p-легований напівпровідник: (a)\(\mathscr{E} = 0\), (b)\(\mathscr{E} < 0\), і (c)\(\mathscr{E} > \mathscr{E}_c > 0\). Тверді червоні точки зображують позитивні заряди; суцільні сині точки, негативні заряди; а штриховані сині точки, можливі електрони в інверсійному шарі — все дуже схематично.

\[ \frac{d\phi}{dx} (0) = - \mathscr{E} . \label{70}\]

Відзначимо, що електрохімічний потенціал\(\mu '\) (який, відповідно до обговорення в п. 3, замінює хімічний потенціал при наявності електричного поля) ⁴⁶ повинен залишатися постійним через систему в рівновазі, зберігаючи електричний струм рівним нулю — див. Рівняння ( \(6.3.6\)). Для довільних параметрів легування система рівнянь (\ ref {58}) (з замінами\(\varepsilon_V \rightarrow \varepsilon_V – e\phi \), і\(\mu \rightarrow \mu '\)) і (\ ref {68}) - (\ ref {70}) плюс співвідношення між\(n_–\) і\(n_A\) (описує активацію акцептора) не дозволяє аналітичного рішення. Однак, як було розглянуто вище, в самих практичних випадках\(n_A >> n_i\) ми можемо використовувати приблизні відносини\(n_– \approx n_A\) і практично\(n \approx 0\) при будь-яких значеннях\(\mu '\) в межах локально зрушеної смуги\([\varepsilon_V – e\phi (x), \varepsilon_C – e\phi (x)]\), так що підміна цих відносин і друга з Eqs. (\ ref {58}), зі згаданими замінами, в Рівняння (\ ref {69}) дає

\[\rho \approx en_V \exp \left\{ \frac{\varepsilon_V - e \phi - \mu '}{T} \right\} - en_A \equiv en_A \left[\left( \frac{n_V}{n_V}\exp \left\{\frac{\varepsilon_V - \mu '}{T} \right\} \right) \exp \left\{ - \frac{e\phi}{T}\right\} - 1 \right] . \label{71}\]

\(x\)-Незалежний електрохімічний потенціал (він же рівень Фермі)\(\mu '\) в цьому відношенні повинен дорівнювати значенню хімічного потенціалу\(\mu (x \rightarrow \infty )\) в об'ємі напівпровідника, заданому останнім з Eqs. (\ ref {67}), який перетворює вираз у дужках на 1. З цими замінами рівняння (\ ref {68}) стає

\[\frac{d^2 \phi }{dx^2} = - \frac{en_A}{\kappa \varepsilon_0} \left[ \exp \left\{ - \frac{e\phi}{T}\right\} - 1 \right] , \quad \text{ for } \varepsilon_V - e \phi (x) < \mu ' < \varepsilon_C - e \phi (x) . \label{72}\]

Це нелінійне диференціальне рівняння може бути розв'язано аналітично, але щоб уникнути відволікання на це (досить громіздке) рішення, дозвольте мені спочатку розглянути випадок, коли електростатичний потенціал досить малий - або тому, що зовнішнє поле невелике, або тому, що ми зосереджуємося на відстанях досить далеко від поверхні — див. Малюнок\(\PageIndex{3}\) ще раз. У цьому випадку в розширенні Тейлора показника в рівнянні (\ ref {72}), щодо малого\(\phi \), ми можемо зберегти лише два провідні члени, перетворивши його в лінійне рівняння:

\[\frac{d^2 \phi }{dx^2} = - \frac{e^2 n_A}{\kappa \varepsilon_0 T} \phi , \quad \text{ i.e. } \frac{d^2 \phi }{dx^2} = \frac{\phi}{\lambda^2_D}, \quad \text{ where } \lambda_D \equiv \left( \frac{\kappa \varepsilon_0 T}{e^2 n_A} \right)^{1/2} , \label{73}\]

з відомим експоненціальним розв'язком, що задовольняє також граничну умову\(\phi \rightarrow 0\) при\(x \rightarrow \infty \):

\[\phi = C \exp \left\{ - \frac{x}{\lambda_D}\right\}, \quad \text{ at } e | \phi | << T. \label{74}\]

Константа,\(\lambda_D\) задана останнім з Eqs. (\ ref {73}) називається довжиною скринінгу Debye. Це може бути досить суттєвим; наприклад, при\(T_K = 300\) K, навіть для відносно високого легування,\(n_A \approx 10^{18}cm^{-3}\) характерного для сучасних кремнієвих\((\kappa \approx 12)\) інтегральних схем, він близький до 4 нм - все ще набагато більше, ніж постійна кристалічної решітки\(a \sim 0.3\) нм, так що вищевказаний аналіз дійсно кількісно дійсний. Зверніть увагу також, що\(\lambda_D\) не залежить від знака заряду; отже, не повинно бути великим здивуванням, що повторюючи наш аналіз для\(n\) -легованого напівпровідника, ми можемо з'ясувати, що Eqs. (\ ref {73}) - (\ ref {74}) дійсні і для цього випадку, з єдиною заміною\(n_A \rightarrow n_D\).

Якщо\(E\) застосоване поле слабке, Equation (\ ref {74}) є дійсним у всьому зразку, і константу\(C\) в ньому можна легко обчислити за допомогою граничної умови (\ ref {70}), що дає

\[\left| \phi \right|_{x = 0} \equiv C = \lambda_D \mathscr{E} \equiv \left( \frac{\kappa \varepsilon_0 T}{e^2 n_A} \right)^{1/2} \mathscr{E} . \label{75}\]

Ця формула дозволяє висловити умову достовірності лінійного наближення, що веде до Рівняння (\ ref {74})\(e| \phi | << T\), через прикладне поле:

\[|\mathscr{E}| << \mathscr{E}_{max} , \quad \text{ with } \mathscr{E}_{max} \equiv \frac{T}{e\lambda_D} \equiv \left( \frac{Tn_A}{\kappa \varepsilon_0}\right)^{1/2} ; \label{76}\]

у наведеному вище прикладі\(\mathscr{E}_{max} \sim 60\) кВ/см. У лабораторних масштабах таке поле зовсім не низьке (воно в два рази перевищує поріг електричного пробою в повітрі в умовах навколишнього середовища), але може витримуватися багатьма твердотільними матеріалами, які набагато менше схильні до поломки. ⁴⁷ Ось чому ми повинні бути зацікавлені в тому, що станеться, якщо застосоване поле вище цього значення.

\[\lambda_{ef} (0) \sim \lambda_{TF} \equiv \left[ \frac{\kappa \varepsilon_0}{e^2 g_3 (\varepsilon_F ) } \right]^{1/2} . \label{77}\]

Ефекти, що відбуваються при протилежній полярності поля\(\mathscr{E} > 0\), набагато цікавіші та корисніші для додатків. Дійсно, в цьому випадку смуга згинання вниз призводить до експоненціального зменшення,\(\rho (x)\) як тільки край валентної зони\(\varepsilon V – e\phi (x)\) падає вниз на кілька\(T\) нижче його незбуреного значення\(\varepsilon V\). Якщо застосоване поле досить велике,\(E > E_{max}\) (як це в ситуації, наведеній на малюнку\(\PageIndex{3c}\)), воно утворює, зліва від такої точки, так\(x_0\) званий виснажувальний шар, певної ширини\(w\). У цьому шарі не тільки електронна щільність\(n\), але й щільність отворів незначні,\(p\) так що єдиний істотний внесок у щільність заряду\(\rho\) дають повністю іонізовані акцептори:\(\rho \approx –en_– \approx –en_A\), і Equation (\ ref {72}) стає дуже простим:

\[\frac{d^2\phi}{dx^2} = \frac{en_A}{\kappa \varepsilon_0} = \text{const}, \quad \text{ for } x_0 - w < x < x_0 . \label{78}\]

Скористаємося цим рівнянням, щоб обчислити максимально можливу ширину\(w\) виснажувального шару та критичне значення застосованого поля\(\mathscr{E}_c\), необхідного для цього. (За визначенням, при\(\mathscr{E} = \mathscr{E}_c\), ліва межа шару, де, тобто\(\varepsilon_V – e\phi (x) = \varepsilon_C\)\(e\phi (x) = \varepsilon_V – \varepsilon_A \equiv \Delta \), якраз стосується поверхні напівпровідника:\(x_0 – w = 0\), т\(x_0 = w\). (Малюнок\(\PageIndex{3c}\) показує випадок\(\mathscr{E}\), коли трохи більше, ніж\(\mathscr{E}_c\).) Для цього рівняння (\ ref {78}) має бути розв'язано з наступними граничними умовами:

\[\phi (0) = \frac{\Delta}{e}, \quad \frac{d\phi}{dx} (0) = -\mathscr{E}_c , \quad \phi (w) = 0, \quad \frac{d\phi}{dx}(w) = 0. \label{79}\]

Зауважимо, що перша з цих умов суворо дійсна тільки в тому випадку\(T << \Delta \), якщо, тобто при припущенні, яке ми зробили з самого початку, тоді як останні дві умови є асимптотично правильними, тільки якщо\(\lambda_D << w\) — припущення, яке ми не повинні забувати перевіряти після розв'язку.

Після всього досвіду бакалаврату з задачами проективного руху, читач напевно знає напам'ять, що рішення Equation (\ ref {78}) є квадратичною параболою, так що дозвольте мені відразу написати її кінцеву форму, що задовольняє граничним умовам (\ ref {79}):

\[\phi (x) = \frac{en_A}{\kappa \varepsilon_0} \frac{(w-x)^2}{2} , \quad \text{ with } w = \left( \frac{2\kappa \varepsilon_0 \Delta}{e^2 n_A} \right)^{1/2}, \text{ at } \mathscr{E}_c = \frac{2\Delta}{e\varepsilon_0 w} . \label{80}\]

Порівнюючи результат для\(w\) з Equation (\ ref {73}), ми бачимо, що якщо наша основна умова\(T << \Delta\) виконана, то\(\lambda D << w\), підтверджуючи якісну валідність всього розв'язку (\ ref {80}). Для тих же конкретних параметрів, що і в прикладі before (\(n_A \approx 10^{18}cm^{-3}, \kappa \approx 10\)) та\(\Delta \approx 1\) eV, Eqs. (\ ref {80}) дають\(w \approx 40\) нм і\(\mathscr{E}_c \approx 600\) кВ/см — все ще практичне поле. (Як\(\PageIndex{3c}\) показано на малюнку, для його створення нам знадобиться напруга затвора лише трохи більше\(\Delta /e\), ніж, тобто близьке до 1 В для типових напівпровідників.)

На малюнку\(\PageIndex{3c}\) також видно, що якщо прикладне поле перевищує це критичне значення, біля поверхні напівпровідника край зони провідності опускається нижче рівня Фермі. Це так званий інверсійний шар, в якому електрони з енергіями нижче\(\mu '\) утворюють високопровідний вироджений газ Фермі. Однак типові швидкості тунелювання електронів від основної маси через виснажувальний шар дуже низькі, так що після того, як інверсійний шар був створений (скажімо, шляхом застосування напруги затвора), він може бути заселений лише з іншого джерела - отже, штриховані сині точки на малюнку\(\PageIndex{3c}\). Це саме той факт, який використовується в роботі конячки приладу напівпровідникових інтегральних мікросхем — польового транзистора (FET) — див\(\PageIndex{4}\). Рис.

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Два основних види\(n\) -FET: (а) основна FET, і (b) FinFET. У той час як на панелі (а) потік струму від джерела до стоку паралельний площині креслення, на панелі (б) він нормальний площині, при цьому n-легований джерело і стік контактують з тонким «плавником» з двох сторін від цієї площини.

У «об'ємної» різновиди цієї структури (рис.\(\PageIndex{4a}\)) електрод затвора перекриває зазор між двома подібними високо\(n\) - легованими областями біля поверхні, званими джерелом і стоком, утвореним\(n\) легуванням всередині\(p\) легованого напівпровідника. Більш-менш очевидно (і буде показано через мить), що за відсутності напруги затвора електрони не можуть пройти через\(p\) леговану область, так що між джерелом і стоком практично не протікає струм, навіть якщо між цими електродами подається скромна напруга. Однак, якщо напруга затвора позитивна і досить велика, щоб викликати електричне поле\(\mathscr{E} > \mathscr{E}_c\) на поверхні p-легованого напівпровідника, це створює інверсійний шар, як показано на малюнку\(\PageIndex{3c}\), і електронний струм між електродами джерела та стоку може легко протікати через це поверхневий канал. (На жаль, в цьому курсі я не мав би часу/простору для детального аналізу транспортних властивостей цього електронного приладу, і довелося б віднести читача до спеціальної літератури. ⁴⁹)

Малюнок\(\PageIndex{4a}\) робить очевидним, що ще однією основною (і практично неминучою) структурою напівпровідникових інтегральних мікросхем є\(p-n\) знаменитий перехід - інтерфейс між\(p\) - і\(n\) -легованими регіонами. Розберемо його просту модель, в якій інтерфейс знаходиться в площині\(x = 0\), а легуючі профілі\(n_D(x)\) і\(n_A(x)\) ступінчасті, роблячи різкий стрибок на інтерфейсі:

\[n_A (x) = \begin{cases} n_A = \text{const} & \text{ at } x<0, \\ 0, & \text{ at } x>0, \end{cases} \quad n_D (x) = \begin{cases} 0 & \text{ at } x<0, \\ n_D = \text{const} & \text{ at } x>0. \end{cases} \label{81}\]

(Ця модель дуже розумна для сучасних інтегральних схем, де легування здійснюється шляхом імплантації, з використанням високоенергетичних іонних пучків.)

Для початку припустимо, що між\(p\) - і\(n\) -регіонами не подається напруга, так що система може перебувати в термодинамічній рівновазі. У рівновазі рівень Фермі\(\mu '\) повинен бути плоским через конструкцію, а при\(x \rightarrow –\infty\) і, де\(x \rightarrow +\infty \)\(\phi \rightarrow 0\), рівнева структура повинна наближатися до позицій, показаних відповідно на панелах (а) і (б) малюнка\(\PageIndex{2}\). Крім того, розподіл електричного потенціалу\(\phi (x)\), зміщуючи структуру рівня вертикально на\(–e\phi (x)\), повинен бути безперервним, щоб уникнути нефізичних нескінченних електричних полів. При цьому ми неминуче приходимо до смугової діаграми, яка (схематично) показана на малюнку\(\PageIndex{5}\).

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Діаграма смугового\(p-n\) переходу в термодинамічній рівновазі (\(T\)= const,\(\mu '\) = const). Позначення такі ж, як і в рис. \(\PageIndex{2}\)і\(\PageIndex{3}\).

На схемі видно, що контакт різнолегованих напівпровідників породжує вбудовану різницю електричних потенціалів\(\Delta \phi \), рівну різниці\(\mu\) їх значень при відсутності контакту — див. (\ ref {65}) і (\ ref {67}):

\[e\Delta \phi \equiv e \phi (+\infty ) - e \phi ( - \infty ) = \mu_n - \mu_p = \Delta - T \ln \frac{n_Cn_V}{n_Dn_A}, \label{82}\]

який, як правило, трохи менше, ніж заборона. ⁵⁰ (Якісно це та сама різниця контактних потенціалів, про яку йшла мова, для випадку металів, в п. 3 — див\(6.3.1\). Рис.) Виникаюче внутрішнє електростатичне поле\(\mathscr{E} = –d\phi /dx\) індукує в обох напівпровідниках шари виснаження, подібні до тих, що індуковані зовнішнім полем (рис.\(\PageIndex{3c}\)). Їх ширини\(w_p\) і також\(w_n\) можуть бути розраховані аналогічно, вирішуючи наступну граничну задачу електростатики, здебільшого подібну до тієї, що задається Eqs. (\ ref {78}) - (\ ref {79}):

\[\frac{d^{2} \phi}{d x^{2}}= \frac{e}{\kappa \varepsilon_{0}} \times \begin{cases} n_{A}, & \text { for }-w_{p}<x<0, \\ \left(-n_{D}\right), & \text { for } 0<x<+w_{n}, \end{cases} \label{83}\]

\[\phi\left(w_{n}\right) = \phi\left(-w_{p}\right)+\Delta \phi, \frac{d \phi}{d x}\left(w_{n}\right)=\frac{d \phi}{d x}\left(-w_{p}\right)=0, \quad \phi(-0)=\phi(+0), \quad \frac{d \phi}{d x}(-0)=\frac{d \phi}{d x}(+0), \label{84}\]

також точний тільки в ліміті\(\tau << \Delta , n_i << n_D, n_A\). Його (простий) розв'язок дає результат, подібний до Equation (\ ref {80}):

\[\phi = \text{const}+\begin{cases} en_A (w_p + x)^2 / 2\kappa \varepsilon_0, & \text{ for } - q_p < x < 0, \\ \Delta \phi - en_D (w_n - x )^2 / 2\kappa \varepsilon_0, & \text{ for } 0 < x < +w_n, \end{cases} \label{85}\]

з виразами для\(w_p\) та\(w_n\) наведенням наступної формули для повної ширини шару виснаження:

\[w \equiv w_p + w_n = \left( \frac{2\kappa \varepsilon_0 \Delta \phi }{en_{ef} } \right)^{1/2} , \quad \text{ with } n_{ef} \equiv \frac{n_An_D}{n_A + n_D}, \text{ i.e.} \frac{1}{n_{ef}} = \frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_D}. \label{86}\]

Цей вираз схожий на вираз, заданий Equation (\ ref {80}), так що для типових високолегованих напівпровідників (\(n_{ef} \sim 10^{18}cm^{-3}\)) він дає\(w\) аналогічну оцінку в кілька десятків нм. ⁵¹ Повертаючись до малюнка\(\PageIndex{4a}\), ми бачимо, що ця шкала накладає істотне обмеження на зменшення об'ємних транзисторів (масштабування яких лежить в основі відомого закону Мура), ⁵² пояснюючи, чому такий високий допінг необхідний. На початку 2010-х років проблеми з впровадженням ще більш високого допінгу, плюс проблеми з розсіяним управлінням живленням, мотивували перехід передової технології кремнієвих інтегральних схем від основної FET до FinFET (також називається «подвійними воротами», або «tri-gate», або «обертання-навколо воріт») Різноманітність цих пристроїв, схематично показана на малюнку\(\PageIndex{4b}\), незважаючи на їх по суті тривимірну структуру і, отже, більш складну технологію виготовлення. У FinFETS роль переходів знижується, але ці структури залишаються важливою особливістю напівпровідникових інтегральних мікросхем.\(p-n\)

Тепер давайте подивимося на\(p-n\) стик в рівновазі з точки зору Equation (\(6.3.19\)). У розглянутій нами зараз простій моделі (зокрема, в\(T << \Delta \)) це рівняння застосовно окремо до електронної і діркової підсистем, оскільки в даній моделі гази цих носіїв заряду класичні у всіх ділянках системи, а процеси генерації-рекомбінації ⁵³ зчеплення цих підсистем мають відносно невеликі показники — див. Нижче. Отже, для електронної підсистеми ми можемо переписати Equation (\(6.3.19\)) як

\[j_n = n\mu_m q \mathscr{E} - D_n \frac{\partial n}{\partial x}, \label{87}\]

де\(q = –e\). Обговоримо, як кожен термін правої руки цієї рівності залежить від параметрів системи. Через\(n\) -легування в\(x > 0\) цій частині системи набагато більше електронів. Згідно з розподілом Больцмана (\ ref {58}), деяка їх кількість,

\[n_> \propto \exp \left\{-\frac{e\Delta \phi}{T} \right\}, \label{88}\]

Малюнок\(\PageIndex{6}\): Електрони в зоні провідності\(p-n\) переходу в: (a)\(\mathscr{V} = 0\), і (b)\(\mathscr{V} > 0\). Для наочності інші заряди (дірок і всіх іонізованих легуючих атомів) не показані.

\[ e\Delta \phi \rightarrow e\Delta \phi + \Delta \mu ' \equiv e\Delta \phi + q\mathscr{V} \equiv e(\Delta \phi −\mathscr{V} ). \label{89}\]

Ця зміна призводить до експоненціальної зміни кількості електронів, здатних дифузіюватися в\(p\) -сторону переходу — порівняльне рівняння (\ ref {88}):

\[n_> ( \mathscr{V} ) \approx n_> (0) \exp \left\{\frac{e\mathscr{V}}{T}\right\}, \label{90}\]

а отже, в пропорційній зміні\(j_n\) дифузійного потоку електронів з\(n\) -боку на\(p\) -сторону системи, тобто протилежно спрямованої густини електронного струму\(j_e = –ej_n\) — див\(\PageIndex{6b}\). Рис.

З іншого боку, дрейф зустрічного потоку електронів не надто змінюється прикладеною напругою: хоча він і змінює електростатичне поле\(\mathscr{E} = –\nabla \phi\) всередині виснажувального шару, а також ширину шару виснаження, ⁵⁷ ці зміни є інкрементними, а не експоненціальними. В результаті чиста щільність струму, що переноситься електронами, може бути приблизно виражена у вигляді

\[j_e (\mathscr{V} ) = j_{diffusion} - j_{drift} \approx j_e (0) \exp \left\{\frac{e\mathscr{V}}{T}\right\} - \text{const.} \label{91a}\]

Як було розглянуто вище, в\(\mathscr{V} = 0\), чистий струм повинен зникнути, так що константа в рівнянні (\ ref {91a}) повинна дорівнювати\(j_e(0)\), і ми можемо переписати цю рівність як

\[j_e(\mathscr{V}) = j_e (0) \left(\exp\left\{\frac{e\mathscr{V}}{T}\right\}-1\right). \label{91b}\]

\[j(\mathscr{V})\equiv j_e (\mathscr{V})+j_h(\mathscr{V}) = j(0)\left(\exp \left\{\frac{e\mathscr{V}}{T}\right\}-1\right), \text{ with } j(0) \equiv j_e (0) + j_h (0), \label{92}\]

описуючи властивість головного\(p-n\) переходу як електричний діод — двухклемний пристрій, що пропускає струм більш «охоче» в одному напрямку (від\(p\) - до\(n\) -клеми), ніж в протилежному. ⁵⁹ Крім численних практичних застосувань в електротехніці та електронній техніці, такі діоди мають дуже цікаві статистичні властивості, зокрема виконують дуже нетривіальні перетворення спектрів детермінованих і випадкових сигналів. На жаль, я б не встиг на їх обговорення і довелося б віднести зацікавленого читача до спеціальної літератури. ⁶⁰

Все-таки, перш ніж перейти до нашого наступного (і останнього!) тема, дозвольте навести для читача посилання, без доказів, вираз для коефіцієнта масштабування\(j(0)\) в Equation (\ ref {92}), який випливає з простої, але широко використовуваної моделі процесу рекомбінації:

\[j(0) = en^2_i \left(\frac{D_e}{l_en_A} + \frac{D_h}{l_hn_D}\right).\label{93}\]

Ось\(l_e\) і\(l_h\) наведені характерні довжини дифузії електронів і дірок до їх рекомбінації, які можуть бути виражені рівнянням (\(5.6.8\)),\(l_e = (2D_e\tau_e)^{1/2}\) і\(l_h = (2D_h\tau_h)^{1/2}\), при\(\tau_e\) і\(\tau_h\) є характерними моментами рекомбінації так званих міноритарні носії — електронів у\(p\) -легованій частині та дірок у\(n\) -легованій частині структури. Оскільки рекомбінація є нееластичним процесом, її час, як правило, досить тривалий — порядку\(10^{-7}\) s, тобто набагато довший, ніж типові часи пружного розсіяння тих же носіїв, які визначають їх коефіцієнти дифузії — див. Рівняння (\(6.3.16-6.3.18\)).