9.1: Математичні попередні етапи

Почнемо з теореми про диференціальні форми, яка потрібна для формування версії другого закону Каратеодорі.

Перш ніж довести теорему Каратеодорі, нам знадобиться наступний результат.

Теорема\(\PageIndex{1}\) — Integrating Factor Theorem

Дозвольте\(A = A_idx^i\) позначити диференціал одноформи. Якщо\(A ∧ dA = 0\), то хоча б локально, можна знайти інтегруючий фактор для\(A\); тобто існують функції\(τ\) і\(φ\) такі, що\(A = τ\;dφ\).

Доказ цього результату найлегше зробити індуктивно в розмірності простору. Спочатку розглянемо двомірний випадок, так що\(i = 1, 2\). В цьому випадку стан\(A ∧ dA = 0\) вакуумне. Напишіть\(A = A_1dx^1 + A_2dx^2\). Робимо перетворення координат в\(λ\),\(φ\) де

\ [\ почати {рівняння}
\ почати {спліт}
\ розбиття {dx^1} {dλ} & = -f (x^1, x^2) A_2\ [0.125in]
\ frac {dx^2} {dλ} & = f (x^1, x^2) A_1
\ кінець {спліт}
\ кінець {рівняння}\ мітка {9.1.1}\]

де\(f(x^1 , x^2)\) - довільна функція, яку можна вибрати будь-яким зручним способом. Це рівняння показує, що

\[A_1 \frac{\partial x^1}{\partial λ} + A_2 \frac{\partial x^2}{\partial λ} = 0 \]

Рівняння\ ref {9.1.1} визначають набір непересічних траєкторій, λ є параметром по траєкторії. Вибираємо\(ϕ\) як координату на поперечних ділянках потоку, що генерується (\ ref {9.1.1}). Здійснюючи перетворення координат від\(x^1\)\(λ\),\(x^2\) до\(ϕ\), ми тепер можемо записати одну форму\(A\) як

\ [\ почати {рівняння}
\ почати {спліт}
A & =\ лівий (A_1\ frac {\ частковий x^1} {\ частковий λ} + A_2\ frac {\ частковий x^2} {\ частковий λ}\ правий) dλ +\ лівий (A_1\ frac {\ частковий x^1} {\ частковий\ phi} + A_2\ frac {\ частковий x^2}\ часткове\ фі}\ право) d\ фі\\ [0.125in]
& = τ\; d\ phi\\ [0.125in] τ & = a_i\ розрив {\ частковий x^i} {\ частковий\ phi}
\ кінець {спліт}
\ кінець {рівняння}\ мітка {9.1.3}\]

Це доводить теорему для двох вимірів. У трьох вимірах ми маємо

\[A = A_1dx^1 + A_2dx^2 + A_3dx^3 \label{9.1.4} \]

Стратегія полягає в тому, щоб почати з визначення\(τ\),\(ϕ\) для\(A_1\),\(A_2\) підсистеми. Ми вибираємо нові координати як\(λ\)\(ϕ\),\(x^3\) і накладаємо Equation\ ref {9.1.1}. Вирішуючи ці, ми знайдемо\(x^1\) і в\(x^2\) якості функцій\(λ\) і\(x^3\). Траєкторії також залежатимуть від точок огляду, які можуть бути прийняті як точки на поперечному перерізі і, отже, позначені\(ϕ\). Таким чином ми отримуємо

\[x^1 = x^1 (λ, ϕ, x^3 ), x^2 = x^2 (λ, ϕ, x^3) \]

Одна форма\(A\) в рівнянні\ ref {9.1.4} тепер стає

\ [\ почати {рівняння}
\ почати {спліт}
A & =\ лівий (A_1\ frac {\ частковий x^1} {\ частковий λ} + A_2\ frac {\ частковий x^2} {\ частковий λ}\ правий) dλ +\ лівий (A_1\ frac {\ частковий x^1} {\ частковий\ phi} + A_2\ frac {\ частковий x^2}\ частковий\ фі}\ праворуч) d\ phi + a_3dx^3 +\ лівий (A_1\ frac {\ частковий x^1} { \ часткова x^3} + A_2\ розриву {\ часткова x^2} {\ часткова x^3}\ права) dx^3\ [0.125in]
& = τ\; d\ phi +\ widetilde {A} _3dx^3\\ [0.125in]\ widetilde {A} _3 & = A_3\ ліворуч (A_1\ frac {\ часткова x^1]} {\ частковий x^3} + A_2\ frac {\ частковий x^2} {\ частковий x^3}\ праворуч)
\ кінець {спліт}
\ кінець {рівняння}\ мітка {9.1.6}\]

Розглянемо тепер накладення рівнянь\(A ∧ dA = 0\),

\ [\ begin {рівняння}
\ почати {спліт}
A да & =\ лівий [\ widetilde {A} _3 (_λa_μ − _a_λ) + A_λ (_\ widetilde {A} _3 − _3a_) + A_( _3A_λ − _λ\ widetilde {A} _3)\ праворуч] dx^3 dλ dθ\\ [0.125in]
& = 0
\ кінець {спліт}
\ кінець {рівняння}\ мітка {9.1.7}\]

Починаючи\(A_λ = 0\)\(A_ϕ = τ\) з Equation\ ref {9.1.6}, це рівняння стає

\[ \widetilde{A}_3 \frac{\partial τ}{\partial λ} - τ \frac{\partial \widetilde{A}_3}{\partial λ} = 0 \label{9.1.8} \]

Написання\(\widetilde{A}_3 = τ\;h\), це стає

\[τ^2 \frac{\partial h}{\partial λ} = 0 \label{9.1.9} \]

Оскільки для нас\(τ\) не однаково нуль, ми отримуємо\(\frac{∂h}{∂λ} = 0\) і, повертаючись до Equation\ ref {9.1.6}, ми можемо записати

\[ A = τ \left[ dϕ + h(ϕ, x^3) dx^3 \right] \label{9.1.10} \]

Величина в квадратних дужках є одновиформою на двовимірному просторі\(ϕ\), визначеному,\(x^3\). Для цього ми можемо використовувати двовимірний результат і записати його як\(\widetilde{τ} d \widetilde{ϕ}\), щоб

\[A = τ τ [dϕ + h(ϕ, x^3) dx^3] = τ \widetilde{τ} d \widetilde{ϕ} ≡ T d\widetilde{ϕ}\]

\(T = τ \widetilde{τ}\)Це доводить теорему для тривимірного випадку.

Розширення на чотири розміри відбувається за аналогічною схемою. Розв'язки рівняння\ ref {9.1.1} стають

\[ x^1 = x^1 (λ, ϕ, x^3, x^4),\;\;\;\;\;\;\; x^2 = x^2 (λ, ϕ, x^3, x^4) \]

щоб ми могли довести\(A\) до форми

\ [\ begin {рівняння}
\ почати {спліт}
A & =\ лівий (A_1\ frac {\ частковий x^1} {\ частковий} + A_2\ frac {\ частковий x^2} {\ частковий}\ праворуч) d+\ лівий (A_3 + A_1\ frac {\ частковий x^1} {\ частковий x^3} + A_2\ frac {\ частковий x^1} ^2} {\ частковий x^3}\ праворуч) d x^3 +\ лівий (A_4 + A_1\ frac {\ частковий x^1} {\ частковий x^4} + A_2\ розриву {\ частковий x^2} {\ частковий x^4}\ праворуч) dx^4\ [0.125in]
& = τ\; d ɛ+\ widetilde {A} _3dx^3 +\ widetilde {A} _4dx^4
\ кінець {спліт}
\ кінець {рівняння}\ мітка {9.1.13}\]

Тепер перейдемо до накладення умови\(A ∧ dA = 0\). У локальних координатах це стає

\[A_α(∂_µA_{\nu} − ∂_{\nu}A_µ) + A_µ(∂_{\nu}A_α − ∂_αA_{\nu}) + A_{\nu}(∂_αA_µ − ∂_µA_α) = 0\]

Тут є чотири незалежні умови, що відповідають\((α, µ, \nu) = (1, 2, 3), (4, 1, 2), (3, 4, 1), (3, 2, 4)\). Використовуючи\(A_λ = 0\) і\(A_ϕ = τ\), ці чотири рівняння стають

\[\widetilde{A}_3 \frac{∂τ}{∂λ} - τ \frac{∂ \widetilde{A}_3}{∂λ} = 0 \label{9.1.15}\]

\[\widetilde{A}_4 \frac{∂τ}{∂λ} - τ \frac{∂ \widetilde{A}_4}{∂λ} = 0 \label{9.1.16}\]

\[\widetilde{A}_4 \frac{∂ \widetilde{A}_3}{∂λ} - \widetilde{A}_3 \frac{∂ \widetilde{A}_4}{∂λ} = 0 \label{9.1.17}\]

\[\widetilde{A}_3 \frac{∂ \widetilde{A}_4}{∂ϕ} - \widetilde{A}_4 \frac{∂ \widetilde{A}_3}{∂ϕ} + τ \frac{∂ \widetilde{A}_3}{∂x^4} - \widetilde{A}_3 \frac{∂τ}{∂x^4} + \widetilde{A}_4 \frac{∂τ}{∂x^3} - τ \frac{∂ \widetilde{A}_4}{∂x^3} = 0 \label{9.1.18}\]

Знову вводимо\(h\) і\(g\) по\ widetilde {A} _3 = τ h\),\(\widetilde{A}_4 = τ g\). Потім рівняння (\ ref {9.1.15}) і (\ ref {9.1.16}) стають

\[\frac{\partial h}{\partial λ} = 0,\;\;\;\;\;\; \frac{\partial g}{\partial λ} = 0 \label{9.1.19} \]

Рівняння\ ref {9.1.17} тоді однаково задовольняється. Останнє рівняння, а саме\ ref {9.1.18}, спрощує

\[h \frac{\partial g}{\partial ϕ} - g \frac{\partial h}{\partial ϕ} + \frac{\partial h}{\partial x^4} - \frac{\partial g}{\partial x^3} = 0 \label{9.1.20} \]

Використовуючи ці результати, Equation\ ref {9.1.13} стає

\[A = = [τ dϕ + hdx^3 + gdx^4] \label{9.1.21}\]

Кількість у квадратних дужках є єдиною формою на тривимірному просторі,\(ϕ, x^3, x^4\) і ми можемо використовувати попередній результат для інтеграційного коефіцієнта для цього. Умовою існування інтегруючого фактора для\(dϕ + hdx^3 + gdx^4\) є саме\ ref {9.1.20}. Таким чином, якщо у нас є Equation\ ref {9.1.20}, ми можемо написати\(dϕ + hdx^3 + gdx^4\) як\(tds\) для деяких функцій\(t\) і\(s\), так що, нарешті,\(A\) приймає форму\(A = T dS\). Таким чином теорема доведена для чотирьох вимірів. Процедура може бути розширена на вищі виміри рекурсивно, встановлюючи теорему для всіх вимірів.

Тепер перейдемо до основної теореми, необхідної для формулювання Каратеодорі. Розглянемо n-мірний многовид\(M\) з одноформою\(A\) на ньому. Крива рішення до\(A\) визначається\(A = 0\) вздовж кривої. Явно крива може бути прийнята як задана набором функцій,\(x^i = ξ^i (t)\) де\(t\) параметр вздовж кривої та

\[A_i \frac{dx^i}{dt} = A_i \dot{ξ}^i = 0 \label{9.1.22} \]

Іншими словами, дотичний вектор до кривої ортогональний a_i, тому крива лежить на\((n − 1)\) -мірній поверхні. Дві точки, скажімо,\(P\) і\(P'\)\(M\) далі, як кажуть,\(A\) доступні, якщо є крива рішення, яка містить\(P\) і\(P'\). Теорема Каратеодорі полягає в наступному:

Теорема\(\PageIndex{2}\) — Carathéodory’s Theorem.

Якщо по сусідству з точкою\(P\) є\(A\) -недоступні точки, то\(A\) допускає інтегруючий фактор; тобто\(A = T dS\) де\(T\) і\(S\) є чітко визначені функції по сусідству.

Доказ теореми включає аргумент reductio ad absurdum, який будує шляхи, що\(P\) з'єднуються з будь-якою іншою точкою в околицях. (Цей доказ зобов'язаний Х.А. Бухдаль, Proc. Камб. Філ. Соц. 76, 529 (1979).) Для цього визначте

\[ C_{ijk} = A_i(∂_jA_k − ∂_kA_j) + A_k(∂_iA_j − ∂_jA_i) + A_j (∂_kA_i − ∂_iA_k) \label{9.1.23} \]

Тепер розглянемо точку\(P'\) біля\(P\) Ми маємо вектор зміщення\( \epsilonη^i\) для координат\(P'\) (з\(P\)). \(η^i\)може взагалі мати компонент поряд\(A_i\) і деякі компоненти ортогональні до\(A_i\). Ідея полягає в тому, щоб вирішити їх з рівняння\(A = 0\). \(ξ^i (t)\)Дозволяти шлях, який починається і закінчується на\(P\), тобто,\(ξ^i (0) = ξ^i (1) = 0\),\(0 ≤ t ≤ 1\), і який є ортогональним до\(A_i\). Таким чином, це крива рішення. \(A_i\)Можна вибрати будь-яку замкнуту криву, що починається\(P\) і лежить у\((n − 1)\) -мірному просторі, ортогональному до. Розглянемо тепер сусідній шлях, заданий\(x^i (t) = ξ^i (t) + \epsilon η^i (t)\). Це також буде крива рішення, якщо\(A_I (ξ + \epsilon η)(\dot{ξ} + \epsilon \dot{η})^i = 0\). Розширюючись до першого порядку в\(\epsilon\), це еквівалентно

\[A_i \dot{η}^i + \dot{ξ}^i \left( \frac{\partial A_i}{\partial x^j} \right) η^j = 0 \label{9.1.24}\]

де ми також використовували\(A_i \dot{ξ}^i = 0\). Ми можемо\(\dot{ξ}^i\) вибрати форму,\(\dot{ξ}^i = f^{ij}A_j\) де\(f^{ij}\) антисиметрична, щоб бути узгодженим\(A_i \dot{ξ}^i = 0\). Ми можемо знайти\(f^{ij}\) такі величини, що це правда; у будь-якому випадку достатньо показати один шлях, який робить\(P'\) доступним. Таким чином, ми можемо розглянути\(\dot{ξ}^i\) в цій формі. Таким чином, рівняння\ ref {9.1.24} стає

\[ A_i \dot{η}^i + η^j (∂_jA_i)f^{ik}A_k = 0 \]

Це одне рівняння для\(n\) складових зміщення\(η^i\). Ми можемо вибрати\(n − 1\) компоненти,\(η^i\) які ортогональні,\(A_i\) як нам подобається, і розглядати це рівняння як визначальний компонент, що залишився, той, що вздовж\(A_i\). Таким чином, ми перепишемо це рівняння як рівняння для\(A_iη^i\) наступним чином.

\ [\ begin {рівняння}

\ почати {спліт}\ розриву {d} {dt} (A_I^i) & =\ точка {A} _iη ^i\ точка {η} ^i\\ [0.125in]
& = (_ja_i)\ точка {} ^j η ^i − θ ^j (_ja_i) f^ {ik})\\ [0.125in]
& = −η ^ i f^ {jk} (_IA_J − _ja_i) a_k\\ [0.125in]
& =\ фракція {1} {2} η ^i f^ {jk} [a_k (_IA_J − _ja_i) + a_J (_ka_i − _IA_k) + A_i (_ja_k − _ka_j)] +\ frac {1} {2} (А · η) f^ {jk} (_ja_k) ka_j)\\ [0.125in]
& =\ розриву {1} {2} η ^i f^ {jk} C_ {kij} +\ розриву {1} {2} (A · η) f^ {ij} (_IA_J − _ja_i)
\ кінець {спліт}
\ кінець {рівняння}\ мітка { 9.1.26}\]

Це можна переписати як

\[\frac{d}{dt} (A · η) - F (A · η) = -\frac{1}{2} (C_{kij}η^i f^{jk}) \label{9.1.27} \]

де\(F = \frac{1}{2} f^{ij} (∂_iA_j − ∂_jA_i)\). Важливим моментом є те\(f^{ij}\), що ми можемо вибрати разом з координатним перетворенням, якщо це необхідно, таке, що не\( C_{kij}η^i f^{jk} \) має жодного компонента поряд\(A_i\). Для цього зверніть увагу, що

\[ C_{kij}η^i f^{jk} A_i = A^2F_{ij} − A_iA_kF_{kj} + A_jA_kF_{ki} f^{ij} \label{9.1.28}\]

де\(F_{ij} = ∂_iA_j − ∂_jA_i\). Є\(\frac{1}{2} n(n − 1)\) компоненти для\(f^{ij}\), для яких ми маємо одне рівняння, якщо ми\( C_{kij}η^i f^{jk} A_i\) встановимо нуль. Ми завжди можемо знайти рішення; насправді є багато рішень. Роблячи цей вибір, не\( C_{kij}η^i f^{jk} \) має жодного компонента поряд\(A_i\), тому компоненти з правого\(η\) боку Equation\ ref {9.1.27} ортогональні\(A_i\). Як вже говорилося раніше, існує велика свобода в тому, як\(η\) вибираються ці компоненти. Після їх вибору ми можемо інтегрувати Equation\ ref {9.1.27}\((A · η)\), щоб отримати компонент разом\(A_i\). Інтегруючи рівняння\ ref {9.1.27}, отримаємо

\[A · η(1) = \int_0^1 dt \text{ exp} \left( \int_t^1 dt' F(t') \right) \left( \frac{1}{2} C_{kij}η^i f^{jk} \right) \]

Ми вибрали\(η(0) = 0\). Важливо, що права частина Equation\ ref {9.1.27} не\((A · η)\) передбачає, щоб ми могли інтегруватися так. Ми вибираємо всі компоненти\(η^i\) ортогональних,\(A_i\) щоб бути такими, що

\[ \epsilon η^i = \text{ coordinates of } P' \text{ orthogonal to } A \label{9.1.30} \]

Потім ми вибираємо\(f^{jk}\), якщо потрібно, масштабуючи його, такий, що\(A · η(1)\) в Equation\ ref {9.1.30} дає\(A_i(x_{P'} − x_P)^i\). Таким чином, ми показали, що ми завжди можемо отримати доступ\(P'\) вздовж кривої рішення. Єдиний випадок, коли аргумент не вдасться, - це коли\(C_{ijk} = 0\). У цьому випадку\(A · η(1)\) як обчислюється дорівнює нулю і ми не маємо ніякої гарантії узгодження складової зсуву\(P'\) по напрямку\(A_i\). Таким чином, якщо є недоступні точки по сусідству\(P\), то ми повинні мати\(C_{ijk} = 0\). У цьому випадку, за попередньою теоремою,\(A\) допускає інтегруючий фактор, і ми можемо писати\(A = T dS\) для деяких функцій\(T\) і\(S\) в околицях\(P\). На цьому доказ теореми Каратеодорі завершено.