8.8: Адіабатична частота затримки

Last updated
Save as PDF

Page ID: 76346

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Атмосфера Землі не є, звичайно, ізотермічною. Температура знижується з висотою. Швидкість проміжку температури в атмосфері - це швидкість зниження температури з висотою; тобто −dt/dz.

Адіабатична атмосфера - це та, в якій P /ρ ^γ не змінюється в залежності від висоти. У такій атмосфері, якщо кусок повітря переміщений адиабатично на більш високий рівень, його тиск і щільність зміняться так, що P/ρ ^γ є постійним - і буде дорівнює тиску навколишнього середовища і щільності на новій висоті. Для такої атмосфери можна обчислити швидкість, з якою температура знижується з висотою — адіабатичну швидкість проміжку. Ми зробимо цей розрахунок і подивимося, як він порівнюється з фактичними показниками затримки.

Як і в розділі 8.7, умовою гідростатичної рівноваги є

\[ d P=-\rho g d z.\]

Оскільки ми намагаємося знайти зв'язок між T і z для адіабатичної атмосфери (тобто тієї, в якій P /ρ ^γ не змінюється з висотою), нам потрібно знайти адіабатичні відносини між P і T і між ρ і T.

Вони легко знайти з адіабатичного співвідношення між P і ρ:

\[ P=c \rho^{\gamma}\]

і ідеальне рівняння стану газу:

\[ P=\frac{\rho R T}{\mu}.\]

Усунути P:

\[ \rho=\left(\frac{R T}{c \mu}\right)^{1 /(\gamma-1)}.\]

Усунути ρ:

\[ P=\frac{R^{\gamma /(\gamma-1)}}{\mu^{\gamma /(\gamma-1)} c^{1 /(\gamma-1)}} T^{\gamma /(\gamma-1)},\]

з якого

\[ d P=\frac{\gamma}{\gamma-1} \frac{R^{\gamma /(\gamma-1)}}{\mu^{\gamma /(\gamma-1)} c^{1 /(\gamma-1)}} T^{1 /(\gamma-1)} d T.\]

Замініть рівняння (8.8.4) та (8.8.6) у рівняння (8.8.1), щоб отримати після невеликої алгебри наступне рівняння для адіабатичної швидкості лапсу:

\[ -\frac{d T}{d z}=\left(1-\frac{1}{\gamma}\right) \frac{g \mu}{R}.\]

Це не залежить від температури.

Якщо взяти середню молярну масу для повітря 28,8 кг кмоль ⁻¹, а g - 9,8 м с ⁻² для помірних широт, ви отримаєте для адіабатичної швидкості проміжку для сухого повітря −9,7 К км ⁻¹. Наявність водяної пари у вологому повітрі зменшує середнє значення μ (а отже, і швидкість адіабатичного проміжку), а фактичні показники затримки зазвичай скоріше менше, ніж розраховані показники адіабатичної затримки навіть для вологого повітря. (Наявність водяної пари також трохи збільшує значення γ. Це призведе до трохи більшої швидкості затримки, але ефект не такий великий, як зменшення швидкості затримки, спричинене більшим значенням μ. Спробуйте деякі цифри, щоб переконати себе в цьому.) Стандартна атмосфера Міжнародної організації цивільної авіації приймає швидкість затримки в тропосфері (перші 11 км) до −6,3 К км ⁻¹. Що станеться, якщо фактична швидкість затримки швидша, ніж адіабатична частота затримки? Якщо ви уявляєте, що кусок повітря буде переміщений адіабатично на більш високий рівень, його тиск і щільність зміняться так, що P/ρ ^γ є постійними, і потім він опиниться в регіоні, де його нова щільність менше, ніж нова щільність навколишнього середовища. Отже, вона продовжить підніматися, і атмосфера буде конвективно нестійкою, і настане буря. Атмосфера стабільна до тих пір, поки фактична швидкість затримки менше, ніж адіабатична швидкість затримки (яка зменшується у вологому повітрі) нестабільна, якщо фактична швидкість затримки більша за адіабатичну швидкість затримки.