8.6: Схили ізотерм і Адіабатів

Для ідеального газу в ізотермічному процесі PV = постійна.

При оборотному адіабатичному процесі:

PV ^γ = постійна,

TV ^γ − 1 = постійна,

P ^{1 − γ} T ^γ = постійна.

З них легко помітити, що співвідношення адіабатичних, ізотермічних, ізобарних і ізохорних схилів такі:

\[ \left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{S}=\gamma\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{T} ; \qquad\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{S}=-\frac{1}{\gamma-1}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P} ; \qquad\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{S}=\frac{\gamma}{\gamma-1}\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}.\]

Наприклад: - ізотермічний: ПВ = постійна. Візьміть логарифми і диференціюйте:\(\frac{d P}{P}+\frac{d V}{V}=0\). Звідси\( \left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{T}=-\frac{P}{V}\). адіабатичний: PV ^γ = постійна. Візьміть логарифми і диференціюйте:\( \frac{d P}{P}+\gamma \frac{d V}{V}=0\). Звідси\( \left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{S}=-\gamma \frac{P}{V}\). Інші два відносини можна отримати аналогічним чином.

Чи тримаються ці відносини взагалі для будь-якого рівняння стану, або вони справедливі лише для ідеального газу? У цьому розділі ми побачимо, що вони дійсні загалом для будь-якого рівняння стану і не обмежуються рівнянням стану для ідеального газу.

Уявімо, що стан робочої речовини (будь то газ, рідке або тверде тіло) починається в PVT-просторі в точці А (P, V, T _A). Ми збираємося перенести його в нову точку B (P + δ P, V + δ V, T _B). Як я намалював це на малюнку VIII.3, δ P позитивний, δ V - негативний, а T _B > T _A.

Спочатку ми припускаємо, що ми робимо цей крок єдиним адіабатичним процесом. У такому випадку тепло не додається або не втрачається від системи, а збільшення внутрішньої енергії становить − P δ V.

Як варіант, B можна досягти в два етапи:

Ізохорний шлях від А до нової точки С (P + δ P, V, T _C), за яким слідують

Ізобарний шлях від C до B.

Як я намалював це на малюнку VIII.3, T _C> T _B> T _A.

В ізохорному процесі не проводиться жодна робота системою або над нею, а збільшення внутрішньої енергії дорівнює теплоті, що додається в систему, C _V (T _C − T _A).

В ізобарному процесі збільшення внутрішньої енергії дорівнює роботі, виконаної в системі, −P δ V, мінус теплоти, втраченого від системи, C _P (T _C − T _B); тобто −C _P (T _C − T _B) − Р δ V.

Тому, оскільки сумарне збільшення внутрішньої енергії не залежить від маршруту,

\[ -P \delta V=C_{V}\left(T_{\mathrm{c}}-T_{\mathrm{A}}\right)-C_{P}\left(T_{\mathrm{C}}-T_{\mathrm{B}}\right)-P \delta V.\]

_{Скасуйте P δ V і запишіть γ для C P/C V, щоб}

\[ \left(T_{\mathrm{C}}-T_{\mathrm{A}}\right)=\gamma\left(T_{\mathrm{C}}-T_{\mathrm{B}}\right).\]

Але\( T_{\mathrm{C}}=T_{\mathrm{A}}+\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{V} \delta P\) і\( T_{\mathrm{B}}=T_{\mathrm{C}}+\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{P} \delta V\).

[Нагадування: Тут δ P означає P _C − P _A (який, як я намалював його на малюнку VIII.3, є позитивним), а δ V означає V _B − V _C (що, таким чином, яким я його намалював на малюнку VIII.3, є негативним).]

Тому

\[ \left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{V} \delta P=-\gamma\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{P} \delta V.\]

Розділіть обидві сторони на δ V і перейдіть до нескінченно малої межі, нагадуючи, що δ P і δ V пов'язані адіабатичним шляхом:

\[ \left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{V}\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{S}=-\gamma\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{P}.\]

Тому

\[ \left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{S}=-\gamma\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{P}\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}.\]

Але\( \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{P}\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{T}=-1\), так\( \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{P}\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}=-\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{T}\).

Тому

\[ \left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{S}=\gamma\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{T}.\]

Таким чином, що стосується ідеального газу, то нахил адиабата в γ рази перевищує нахил ізотерми, тільки на цей раз ми не зробили жодного припущення про рівняння стану.

Два інших співвідношення (рівняння 8.6.1 b, c) можна розглядати наступним чином.

Рівняння 8.6.3 можна переставити на читання

\[ T_{\mathrm{B}}-T_{\mathrm{A}}=-(\gamma-1)\left(T_{\mathrm{B}}-T_{\mathrm{C}}\right)\]

Але\( T_{\mathrm{B}}=T_{\mathrm{A}}+\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{S} \delta V\) і\( T_{\mathrm{B}}=T_{\mathrm{C}}+\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{P} \delta V\).

Звідси

\[ \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{S}=-\frac{1}{\gamma-1}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}, \]

який збігається з рівнянням 8.6.1 b, але без будь-яких припущень про рівняння стану.

Зауважте також, що

\[ \left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{T}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{V}=-1.\]

Поєднайте це з рівняннями 8.6.7 та 8.6.9 для отримання

\[ \frac{1}{\gamma}\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{S}(\gamma-1)\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{S}\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{V}=1.\]

Тому

\[ \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}=\frac{\gamma-1}{\gamma}\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{S}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{S}=\frac{\gamma-1}{\gamma}\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{S}.\]

Тому

\[ \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{S}=\frac{\gamma}{\gamma-1}\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V},\]

який збігається з рівнянням 8.6.1 c, але без будь-яких припущень про рівняння стану.