6.1: Ідеальне рівняння газу

Last updated
Save as PDF

Page ID: 76270

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У 1660 році почесний Роберт Бойл, батько хімії і сьомий син графа Корка, і один із засновників Лондонського королівського товариства, провів певні експерименти фізико-механічного дотику до весни повітря. Він утримував кількість повітря в закритому плечі J-подібної скляної трубки за допомогою стовпчика ртуті, і він вимірював об'єм повітря, оскільки він піддавався більшому і більшому тиску. В результаті цих експериментів він встановив те, що зараз відомо як Закон Бойла:

Тиск нерухомої маси газу, що утримується при постійній температурі (тобто в ізотермічному процесі) обернено пропорційно його обсягу.

Тобто,

\[PV = \text{constant}.\]

Пізніші експерименти показали, що обсяг фіксованої маси газу, що утримується при постійному тиску, зростає лінійно з температурою. Зокрема, більшість газів мають приблизно однаковий об'ємний коефіцієнт розширення. При 0 ^o С це приблизно 0,00366 C ^o ⁻¹ або 1/273 C ^o ⁻¹.

Якщо екстраполювати об'єм фіксованої маси газу, що утримується при постійному тиску, на нижчі та нижчі температури, екстрапольований об'єм впаде до нуля при −273 ^o С. Це безпосередньо не є основою нашої думки, що температури не можливі нижче −273 ^o С. розріджується задовго до того, як буде досягнута температура. Проте, з причин, які будуть розглянуті в набагато більш пізньому розділі, ми дійсно вважаємо, що це абсолютний нуль температури. У будь-якому випадку:

Обсяг фіксованої маси газу, що утримується при постійному тиску (тобто в ізобарному процесі) прямо пропорційний його температурі Кельвіна.

Нарешті,

Тиск фіксованої маси газу, що утримується в постійному обсязі (тобто в ізохорному процесі) прямо пропорційно його температурі Кельвіна.

Якщо P, V і T дозволено змінюватися, ці три закони стають

\[ PV/T = \text{constant}\]

Величина константи залежить від того, скільки там газу; зокрема, вона пропорційна тому, скільки молів (звідси і скільки молекул) газу є. Тобто

\[ PV/T = RN,\]

де N - число молів, а R - константа пропорційності, яка виявляється приблизно однаковою для більшості газів.

Звичайно, реальні гази поводяться лише приблизно так, як описано, і тільки за умови, що експерименти проводяться в скромних діапазонах температури, тиску і обсягу, і за умови, що газ буде значно вище температури, при якій він буде зріджуватися. Тим не менш, за умови виконання цих умов більшість газів цілком добре відповідають рівнянню 6.1.3 з приблизно однаковою постійною пропорційності для кожного.

Газ, який підпорядковується рівнянню

\[ PV = NRT\]

точно називається ідеальним газом, а рівняння 6.1.4 називається рівнянням стану для ідеального газу. У цьому рівнянні V - загальний обсяг газу, N - число молів і R - Універсальна газова постійна. Рівняння також можна записати

\[PV = RT.\]

В даному випадку V - молярний об'єм. Деякі автори використовують різні символи (такі як V, v і V _m) для загального, питомого та молярного об'єму. Це, мабуть, гарна ідея, і я з певним ризиком не збираюся цього робити, і я сподіваюся, що контекст дасть зрозуміти, який обсяг я маю на увазі, коли я використовую простий символ V в будь-якій конкретній ситуації. Зверніть увагу, що, хоча загальний обсяг є великою величиною, питомі та молярні обсяги інтенсивні.

Не можна помилитися коефіцієнтом 10 ³ при використанні рівняння 6.1.5. Якщо ви використовуєте одиниці CGS, P буде виражено в динах на квадратний см, V - об'єм моля (тобто об'єм, зайнятий 6.0221 × 10 ²³ молекулами), а значення універсальної газової константи становить 0,8,3145 × 10 ⁷ ерг моль ⁻¹ K ⁻¹. Якщо ви використовуєте одиниці СІ, P буде виражено в паскалі (N m ⁻²), V - об'єм кіломоля (тобто об'єм, зайнятий 6.0221 x 10 ²⁶ молекулами), а значення універсальної газової константи - 8,3145 × 10 ³ Дж кіломоль ⁻¹ K ⁻¹. Якщо ви хочете висловити тиск в Торр, атм. або барах, і енергію в калоріях, ви самі по собі.

Ви можете записати рівняння 6.1.4 (з V = загальний об'єм),\(P = \frac{NN_{ \text{A}}}{V} \frac{RT}{N_{ \text{A}}}\) де N _A - число Авогадро, яке становить 6.0221 × 10 ²³ молекул на моль, або 6.02221 × 10 ²⁶ молекул на кіломоль. Перший член з правого боку - це загальна кількість молекул, розділених на об'єм; тобто це кількість молекул на одиницю об'єму, n. У другому члені R/N _A є постійною Больцмана, k = 1,3807 10 ⁻²³ × J K ⁻¹. Звідси рівняння стану для ідеального газу можна записати.

\[P = nkT.\]

Розділіть обидві сторони рівняння 6.1.5 на молярну масу («молекулярна маса») μ. Щільність ρ зразка газу дорівнює молярній масі, поділеної на молярний об'єм, а значить, рівняння стану для ідеального газу також може бути записано

\[ P = \frac{ \rho RT}{ \mu}.\]

Підсумовуючи, рівняння 6.1.4, 6.1.5, 6.1.6 та 6.1.7 - це всі поширені еквівалентні форми рівняння стану для ідеального газу.

З цього моменту я використовую V для означення молярного об'єму, якщо не вказано інше, так що я використовую рівняння 6.1.5, а не 6.1.4 для рівняння стану для ідеального газу. Зверніть увагу, що молярний об'єм (на відміну від загального обсягу) є змінною інтенсивного стану.

У вересні 2007 року значення, наведені для вищевказаних фізичних констант на Веб-сайті Національного інституту науки і техніки (http://physics.nist.gov/cuu/index.html), становили:

Постійна молярного газу R = 8314,472 (15) J кмоль ⁻¹ ^{К -1}.

Константа Авогаро N _A = 6,02 141 79 (30) × 1026 частинок ^{моль -1}.

Константа Больцмана k = 1,380 6504 (24) × 10−23 Дж K ⁻¹ на частинку.

Число в дужках - стандартна невизначеність в останніх двох цифрах.

[Існує пропозиція, яка, ймовірно, стане офіційною у 2015 році, дати визначені точні числові значення константам Авогадро та Больцмана, а саме 6.022 14 х 10 ²³ частинок моль ⁻¹ та 1,380 6 x 10 ^—23 J K ⁻¹ на частинку. Спочатку це може здатися дещо схожим на визначення π рівно 3, але це зовсім не так. Це все є частиною загального зрушення у визначенні багатьох одиниць, що використовуються у фізиці з точки зору фундаментальних фізичних величин (таких як заряд на електроні), а не з точки зору стрижнів або циліндрів платини, що проводяться в Парижі.]