5.6: Проблеми

Last updated
Save as PDF

Page ID: 76559

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

5.5 Розв'язка квантових гамільтонів

Доведіть теорему «розв'язки Гамільтона передбачає факторингову функцію розділення» розділу 5.1.2 для квантових систем.

5.6 Аномалія Шотткі

Молекулу можна точно змоделювати квантовою двостанною системою з енергією основного стану 0 та енергією збудженого стану\( \epsilon\). Покажіть, що внутрішня питома теплота

\[ c_{V}^{\mathrm{int}}(T)=k_{B}\left(\frac{\epsilon}{k_{B} T}\right)^{2} \frac{e^{-\epsilon / k_{B} T}}{\left(1+e^{-\epsilon / k_{L} T}\right)^{2}}\]

Намалюйте цю питому теплоту як функцію\( k_B / \epsilon\). Як поводиться функція, коли\( k_B T \ll \epsilon\) і\( k_B T \gg \epsilon \)?

5.7 Простий гармонічний генератор

Припустимо, молекулу можна точно змоделювати як гармонічний генератор власної частоти ω.

a. знайти очікувану внутрішню енергію однієї такої молекули, записану у вигляді суми енергії основного стану плюс залежна від температури частина.

б. показати, що внутрішня питома теплоємність

\[ c_{V}^{\mathrm{int}}(T)=k_{B}\left(\frac{\hbar \omega}{k_{B} T}\right)^{2} \frac{e^{-\hbar \omega / k_{B} T}}{\left(1-e^{-\hbar \omega / k_{H} T}\right)^{2}}.\]

c. показати, що при низьких температурах\( \left(k_{B} T \ll \hbar \omega\right)\),

\[ c_{V}^{\mathrm{int}}(T) \approx k_{B}\left(\frac{\hbar \omega}{k_{B} T}\right)^{2} e^{-\hbar \omega / k_{B} T}\]

тоді як при високих температурах\( \left(k_{B} T \rr \hbar \omega\right)\),

\[ c_{V}^{\mathrm{int}}(T) \approx k_{B}.\]

d. (необов'язково.) Показати, що провідною квантовою корекцією до високотемпературної питомої теплоти є

\[ c_{V}^{\mathrm{int}}(T)=k_{B}\left[1-\frac{1}{12} x^{2}+\mathcal{O}\left(x^{3}\right)\right], \quad \text { where } \quad x=\frac{\hbar \omega}{k_{B} T}.\]

е. ескіз внутрішньої питомої теплоти в залежності від\(k_B T / \hbar \omega \).

5.8 Простий гармонічний осцилятор - ентропія

Я розмовляв з кимось, хто стверджував, що термодинаміка не стосується систем взаємодіючих атомів, ні до живих істот, ні до чогось іншого, крім ідеального газу. Він кинув мені виклик: «Що таке ентропія маятника? Відповідь полягає в тому, що ентропія не поширюється на маятник!» Відповідь на його питання для маятника в простому гармонічному наближенні осцилятора, з власною частотою ω і температурою T.

5.9 Кінетична енергія в повітрі

Яка кінетична енергія являє собою кубічний літр повітря (переважно азоту і кисню) при одному тиску атмосфери і кімнатній температурі? При одній атмосфері тиск і температура 600 К? Використовуйте класичну механіку, і висловлюйте свою відповідь як в джоулі, так і в комерційній одиниці кіловат-годин. (Підказка: Якщо ви обчислите середню кінетичну енергію однієї молекули, ви працюєте занадто важко.) Чому ніхто не використовує всю цю цінну енергію, що лежить в кожному кубічному метрі повітря?

5.10 Концептуальне порівняння

а. якісно пояснити, чому результати двох попередніх проблем паралельні при низьких температурах.

б. (важче.) Поясніть якісно обидва результати високої температури. (Підказка: При високих температурах середня енергія на частинку у випадку Шотткі наближається\(\epsilon\) /2. Чому?)

5.11 Стисливість двоатомного газу

Знайдіть ізотермічну стисливість _T для ідеального двоатомного газу, де кожна молекула моделюється як гантель з моментом інерції I.

5.12 Системи з невеликою кількістю станів

(Ця проблема не вимагає розрахунку! Всі відповіді можна знайти в голові.) Сукупність невзаємодіючих частинок знаходиться в тепловій рівновазі. Кожна частинка має тільки три енергетичні власні значення, а саме 0\(\epsilon\), і\(4 \epsilon\).

а. який критерій «високої температури» в даній ситуації?

б. припустимо, існує три невироджених енергетичних власних станів. При високих температурах, яка середня енергія кожної частинки? (Підказка: Відповідь ні\(4\epsilon\).)

c. тепер припустимо, що нижчі два енергетичні власні стани є невиродженими, але що є два незалежних стани з енергією\(4 \epsilon\). Яка середня енергія на частку при високих температурах в даному випадку?

5.13 Ангармонічний генератор

Власні значення енергії простого гармонічного генератора однаково рознесені, і ми досліджували наслідки цього для теплоємності колекції гармонічних осциляторів. Припустимо, що ангармонічний осцилятор є приблизно гармонічним (з власною частотою ω ₀) для малих енергій, але що для великих енергій (більше, ніж, скажімо, E _x) власні значення стають більш тісно розташованими у міру збільшення енергії. При температурах, що _{перевищують E x/k} _B, чи буде теплоємність колекції таких ангармонічних осциляторів більшою або меншою, ніж у колекції гармонічних осциляторів з тією ж власною частотою ω ₀? Чому?

5.14 Описові особливості моделей

(Ця проблема вкрадена з тесту GRE Physics.)

Дві можливі моделі двоатомного ідеального газу - це жорстка гантель (модель R; дві точкові частинки, з'єднані жорстким стрижнем) та пружинна гантель (модель S; дві точкові частинки, з'єднані пружиною). У класичній статистичній механіці яке з наступних тверджень вірно?

а. модель R має питому теплоємність\(c_V = \frac{3}{2} k_B\).

б. модель S має меншу питому теплоємність, ніж модель R.

c Модель S завжди правильна.

d Модель R завжди правильна.

е Вибір між моделями R і S залежить від температури.

5.15 N-державна система, якісно

Молекула моделі має n рівновіддалених енергетичних рівнів, всі вони не вироджені, з інтервалом між енергіями\( \epsilon\). Таким чином, оскільки n варіюється від 2 до ∞, ця модель інтерполює між системою Шотткі задачі 5.6 та простим гармонічним осцилятором задачі 5.7.

a. знайти низькотемпературне наближення для питомої теплоти, яка не залежить від n.

б. при високих температурах питома теплоємність наближається до нуля. Який критерій «висока температура»?

c При високих температурах, яка очікувана енергія цієї моделі?

d Існує теорема про те, що при будь-якій фіксованій плюсовій температурі питома теплоємність повинна збільшуватися зі збільшенням n. Припустімо цю теорему і використаємо її, щоб довести, що при збільшенні n максимум в кривій питомої теплоти проти температури стає вище.

5.16 Система n-стану, кількісно

Покажіть, що система попередньої проблеми має внутрішню питому теплоємність

\[ c_{V}^{\mathrm{int}}(T)=k_{B}\left[\left(\frac{\epsilon}{k_{B} T}\right)^{2} \frac{e^{-\epsilon / k_{B} T}}{\left(1-e^{-\epsilon / k_{B} T}\right)^{2}}-\left(\frac{n \epsilon}{k_{B} T}\right)^{2} \frac{e^{-n \epsilon / k_{B} T}}{\left(1-e^{-n \epsilon / k_{B} T}\right)^{2}}\right].\]

Чи має цей вираз належні межі, коли n = 2 і коли n → ∞?