5.3: Теплоємність ідеального газу
- Page ID
- 76560
5.3.1 Теорема про рівноділення
Теорема рівноділення. (Для класичних систем.) Припустимо, гамільтоніан H (γ) розділяється на один шматок, що включає однофазну космічну змінну - назвіть її H1, плюс інший шматок, який включає всі інші змінні фазового простору - назвіть його H 2 (γ 2). Припустимо далі, що енергія квадратично залежить від цієї однофазної змінної простору, і що ця змінна може приймати значення від −∞ до +∞. Тоді в класичній статистичній механіці середній внесок в енергію, обумовлену цією єдиною змінною, становить
\[ \left\langle H_{1}\right\rangle=\frac{1}{2} k_{B} T.\]
Зверніть увагу, наскільки загальна ця теорема. Решта шматок гамільтоніана, H 2 (γ 2), може відокремитися далі, або це може не бути. Змінна фазового простору, що входить в H 1, може бути імпульсом,
\[ H_{1}(p)=\frac{p^{2}}{2 m},\]
або кутовий імпульс,
\[ H_{1}(\ell)=\frac{\ell^{2}}{2 I},\]
або навіть координата положення, як у простому гармонійному генераторі енергії
\[ H_{1}(x)=\frac{1}{2} k x^{2}.\]
Крім того, за всіх цих обставин середня енергія не залежить від конкретних параметрів m або I або k. Це залежить тільки від температури. Цим пояснюється походження назви «рівноподіл»: середня поступальна енергія, обумовлена рухом в напрямку х, дорівнює середній енергії обертання внаслідок зміни θ, і це справедливо, навіть якщо газ являє собою суміш молекул з різною масою і різними моментами. інерції. Енергія однаково розподілена між усіма цими різними способами утримання енергії.
Доказ. Ми напишемо
\[ H_{1}(p)=a p^{2},\]
хоча змінна не може бути лінійним імпульсом. Тоді середнє значення Н 1 дорівнює
\[ \left\langle H_{1}\right\rangle=\frac{\int d \Gamma H_{1} e^{-\beta H(\Gamma)}}{\int d \Gamma e^{-\beta H(\Gamma)}}=\frac{\int_{-\infty}^{+\infty} d p H_{1} e^{-\beta H_{1}} \int d \Gamma_{2} e^{-\beta H_{2}\left(\Gamma_{2}\right)}}{\int_{-\infty}^{+\infty} d p e^{-\beta H_{1}} \int d \Gamma_{2} e^{-\beta H_{2}\left(\Gamma_{2}\right)}}.\]
Зрозуміло, що інтеграли над γ 2 скасовуються в цьому останньому виразі. (Це пояснює, чому форма Н 2 не має відношення до теореми.) Нам залишилося
\[ \left\langle H_{1}\right\rangle=\frac{\int_{-\infty}^{+\infty} d p a p^{2} e^{-\beta a p^{2}}}{\int_{-\infty}^{+\infty} d p e^{-\beta a p^{2}}}.\]
Ці два інтеграли можуть бути оцінені через гамма-функції (див. Додаток C), але їх ще не потрібно оцінювати. Подумайте на мить про наш «гладкий трюк» параметричної диференціації.. використовуючи його, ми можемо написати
\[ \left\langle H_{1}\right\rangle=-\frac{d}{d \beta} \ln \left[\int_{-\infty}^{+\infty} d p e^{-\beta a p^{2}}\right].\]
Інтеграл, який залишається, має характер Гаусса, і ми могли б оцінити його, використовуючи результати Додатка Б. Але перш ніж поспішати інтегрувати, давайте використаємо заміну,\( u=\sqrt{\beta a} p\) щоб знайти
\[ \left\langle H_{1}\right\rangle=-\frac{d}{d \beta} \ln \left[\frac{1}{\sqrt{\beta a}} \int_{-\infty}^{+\infty} d u e^{-u^{2}}\right]=-\frac{d}{d \beta}\left\{\ln \left[\frac{1}{\sqrt{\beta}}\right]+\ln \left[\frac{1}{\sqrt{a}} \int_{-\infty}^{+\infty} d u e^{-u^{2}}\right]\right\}.\]
Цей останній вираз показує, що немає необхідності оцінювати інтеграл. Незалежно від його значення, це якесь число, а не функція β, тому, коли ми беремо похідну щодо β, термін, що включає це число, буде диференціюватися до нуля. Аналогічно для константи a, що пояснює, чому результат рівноподілу не залежить від цього префактора. Нам залишилося
\[ \left\langle H_{1}\right\rangle=-\frac{d}{d \beta} \ln \frac{1}{\sqrt{\beta}}=\frac{1}{2} \frac{d}{d \beta} \ln \beta=\frac{1}{2} \frac{1}{\beta}\]
або, нарешті, бажаний результат equipartition
\[ \left\langle H_{1}\right\rangle=\frac{1}{2} k_{B} T.\]
5.3.2 Застосування рівнорозділу; Порівняння з експериментом
5.3.3 Кросовер між класичною та квантовою поведінкою; Заморозити
При високих температурах типові теплові енергії набагато більше, ніж міжрівневі відстані. Переходи з одного рівня на інший дуже легко зробити, і гранульований характер квантованих енергій можна ігнорувати. Це класична межа, і рівноподіл тримає!
При низьких температурах типові теплові енергії менше, ніж міжрівневий інтервал між грунтовим станом і першим збудженим станом. Навколо так мало теплової енергії, що молекулу навіть не можна збуджувати з основного стану. Практично всі молекули знаходяться в своїх основних станах, і збуджених станів може також просто не існувати.
У класичній механіці двоатомна молекула, запропонована невелика кількість енергії обертання, прийме цю енергію і повільно обертається. Але в квантовій механіці двоатомна молекула, запропонована невелика кількість енергії обертання, відкине цю енергію і залишиться в основному стані, оскільки запропонованої енергії недостатньо, щоб підняти її в перший збуджений стан. 2 Квантова двоатомна молекула взагалі не обертається при низьких температурах, тому поводиться точно так само, як моноатомна молекула з лише центровими ступенями свободи.
Коротше кажучи, ми пояснюємо високотемпературну питому теплоту обертання (c rot V = k B) через рівноділення. Ми пояснюємо низькотемпературну обертальну питому теплоту (c rot V зникає) через труднощі просування до першого квантового збудженого стану. Це падіння питомої теплоти при зниженні температури називається «заморозити».
Перехід між високотемпературним і низькотемпературним режимами відбувається в районі характерної температури θ, при якій типова теплова енергія дорівнює поділу енергії між наземним станом і першим збудженим станом. Якщо енергії цих двох станів є ε 0 і ε 1 відповідно, то визначаємо характерну температуру кросовера через
\[ k_{B} \theta \equiv \epsilon_{1}-\epsilon_{0}\]
5.2 Узагальнена теорема про рівноділення та ультрарелятивістський газ
а Припустимо, гамільтоніан H (γ) розділяє на дві частини
\[ H(\Gamma)=a|p|^{n}+H_{2}\left(\Gamma_{2}\right)\]
де p є деякою змінною фазового простору, яка може приймати значення від −∞ до +∞, а де γ 2 представляє всі змінні фазового простору, крім p. (Зверніть увагу, що абсолютне значення | p | потрібно для того, щоб уникнути, наприклад, взяття квадратного кореня від'ємного числа у випадку n = 1/2.) Показати, що в класичній статистичній механіці середній внесок у енергію, обумовлену цією єдиною змінною, становить
\[ \left\langle a|p|^{n}\right\rangle=\frac{1}{n} k_{B} T\]
б. в спеціальній теорії відносності енергія вільної (тобто невзаємодіючої) частинки задається
\[ \sqrt{\left(m c^{2}\right)^{2}+(p c)^{2}}\]
де c - швидкість світла. Як відомо, при\( v \ll c\) цьому дає нерелятивістську кінетичну енергію KE ≈ mc 2 + p 2 /2 m. У «ультрарелятивістської» межі, де v близька до c, енергія приблизно пк. Яка теплоємність газу невзаємодіючих ультрарелятивістських частинок?
c Оцініть температуру кросовера між нерелятивістським і ультрарелятивістським режимами.
5.3 Ще одне узагальнення рівноділення
Розглянемо ту ж ситуацію, що і теорема про рівноділення в тексті, але тепер припустимо, що змінна однофазного простору приймає значення від 0 до +∞. Для чого потрібен відповідний результат\(\left\langle H_{1}\right\rangle\)?
5.4 Рівнорозділення та віріальна теорема
Подивіться термін «віріальна теорема» у класичному підручнику з механіки. Чи існує зв'язок між віріальною теоремою класичної механіки та теоремою рівноділення класичної статистичної механіки?
2 Цей абзац написаний «скороченою» мовою, обговорюваною на сторінці 113, ніби енергетичні власні стани були єдиними дозволеними квантовими станами.
The\(\mathcal{O}\) Notation
Наближення є важливою частиною фізики, і важливою частиною наближення є забезпечення їх надійності та узгодженості. \( \mathcal{O}\)Позначення (вимовляється «позначення big-oh») є важливим і практичним інструментом для того, щоб зробити наближення надійними і послідовними. Методику найкраще проілюструвати на прикладі. Припустимо, ви бажаєте наближення для
\[ f(x)=\frac{e^{-x}}{1-x}\]
дійсні для малих значень x, тобто\(x \ll 1\). Ви знаєте, що
\[ e^{-x}=1-x+\frac{1}{2} x^{2}-\frac{1}{6} x^{3}+\cdots\]
і що
\[ \frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots\]
тому здається, що розумні наближення
\[ e^{-x} \approx 1-x\]
і
\[ \frac{1}{1-x} \approx 1+x\]
звідки
\[ \frac{e^{-x}}{1-x} \approx(1-x)(1+x)=1-x^{2}.\]
Давайте спробуємо це наближення при х 0 = 0,01. Калькулятор показує, що
\[ \frac{e^{-x_{0}}}{1-x_{0}}=1.0000503 \ldots\]
в той час як значення для наближення дорівнює
\[ 1-x_{0}^{2}=0.9999000.\]
Це дуже погане наближення дійсно.. відхилення від f (0) = 1 навіть неправильного знака!
Давайте зробимо проблему знову, але на цей раз відстежуючи точно, скільки ми викинули, роблячи кожне наближення. пишемо
\[ e^{-x}=1-x+\frac{1}{2} x^{2}-\frac{1}{6} x^{3}+\cdots\]
як
\[ e^{-x}=1-x+\frac{1}{2} x^{2}+\mathcal{O}\left(x^{3}\right),\]
де позначення\(\mathcal{O}\) (x 3) позначає малі терміни, які ми не потрудилися виписати явно. Символ\(\mathcal{O}\) (х 3) означає «члени, які приблизно мають величину х 3, або менше» і вимовляється «умови порядку х 3». \(\mathcal{O}\)Позначення дозволить нам зробити керовані наближення, в яких ми відстежуємо, наскільки добре наближення.
Аналогічно пишемо
\[ \frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+\mathcal{O}\left(x^{3}\right),\]
і знайдіть товар
\[ f(x)=\left[1-x+\frac{1}{2} x^{2}+\mathcal{O}\left(x^{3}\right)\right] \times\left[1+x+x^{2}+\mathcal{O}\left(x^{3}\right)\right]\]
\[ =\quad\left[1-x+\frac{1}{2} x^{2}+\mathcal{O}\left(x^{3}\right)\right]\]
\[ +\left[1-x+\frac{1}{2} x^{2}+\mathcal{O}\left(x^{3}\right)\right] x\]
\[ +\left[1-x+\frac{1}{2} x^{2}+\mathcal{O}\left(x^{3}\right)\right] x^{2}\]
\[ +\left[1-x+\frac{1}{2} x^{2}+\mathcal{O}\left(x^{3}\right)\right] \mathcal{O}\left(x^{3}\right)\]
Зверніть увагу, однак, що\( x \times \frac{1}{2} x^{2}=\mathcal{O}\left(x^{3}\right)\), і те\( x^{2} \times \mathcal{O}\left(x^{3}\right)=\mathcal{O}\left(x^{3}\right)\), і так далі, звідки
\[ f(x)=\left[1-x+\frac{1}{2} x^{2}+\mathcal{O}\left(x^{3}\right)\right]\]
\[ +\left[x-x^{2}+\mathcal{O}\left(x^{3}\right)\right]\]
\[ +\left[x^{2}+\mathcal{O}\left(x^{3}\right)\right]\]
\[ +\mathcal{O}\left(x^{3}\right)\]
\[ =1+\frac{1}{2} x^{2}+\mathcal{O}\left(x^{3}\right)\]
Таким чином, ми маємо наближення
\[ f(x) \approx 1+\frac{1}{2} x^{2}\]
Крім того, ми знаємо, що це наближення є точним до умов порядку\(\mathcal{O}\) (x 2) (тобто, що перші знехтувані терміни мають порядок\(\mathcal{O}\) (x 3)). Оцінка цього наближення при x 0 = 0,01 дає
\[ 1+\frac{1}{2} x_{0}^{2}=1.0000500,\]
набагато перевершує наше старе наближення (5.35).
Що пішло не так з нашої першої спроби? Значення − x 2 у наближенні (5.35) збігається з символом − x 2 на лінії (5.47). Однак рядки (5.46) і (5.48) демонструють, що існували інші терміни приблизно такого ж розміру (тобто інші «умови порядку x 2»), якими ми нехтували в першій спробі.
\(\mathcal{O}\)Позначення перевершує «точкове позначення» (наприклад, · · ·) в тому, що точки означають «купу малих термінів», але крапки не говорять вам, наскільки вони малі. Символ\(\mathcal{O}\) (х 3) також розшифровується як «купа малих термінів», але крім того, він точно говорить вам, наскільки малі ці терміни. \(\mathcal{O}\)Позначення дозволяє нам наближатися послідовно, на відміну від неконтрольованих наближень, де ми ігноруємо «невеликий термін», не знаючи, чи ми вже зберегли терміни, які ще менші.