4.1: Канонічний ансамбль
- Page ID
- 76461
Приклади «систем» і «ванн»:
- Пляшка вина/басейн.
- Зразок апарату контролю температури газ/лабораторії.
- Одна ідеальна молекула газу/зразок газу.
- Але не одна взаємодіюча молекула газу/зразок газу. (Розподіл Больцмана призначений для систем всередині ансамблів, а не для молекул всередині систем.)
Позначимо мікростан x Точно те, що мається на увазі під мікростаном, буде залежати від обставин. Для системи точкових частинок це означає визначення всіх позицій і моментів. Для системи віджиму це означає визначення стану «вгору» або «вниз» кожного спина. Інші приклади ми побачимо пізніше.
Спробую використовувати різні літери для мікроскопічних і макроскопічних (термодинамічних) величин. Наприклад H (x) проти E (термодинамічна енергія є\(E=\langle H(\mathrm{x})\rangle\);\( \mathcal{M}(x)\) проти\( M=\langle\mathcal{M}(\mathrm{x})\rangle\).
Резюме
Канонічний ансамбль в цілому:
Імовірність того, що система знаходиться в мікростані x пропорційна «фактору Больцмана»
\[e^{−H(x)/k_BT}.\]
Коефіцієнт нормалізації називається «функцією розділення» або «сумою над усіма станами» (німецький «Zusstandsumme»):
\[ Z(T, V, N)=\sum_{\text { microstates } x} e^{-H(\mathrm{x}) / k_{B} T}.\]
(Зауважте, що Z не залежить від x.) Таким чином, ймовірність того, що система знаходиться в мікростані x, дорівнює
\[ \frac{e^{-H(\mathrm{x}) / k_{B} T}}{Z(T, V, N)}.\]
Зв'язок з термодинамікою полягає в тому, що вільна енергія Гельмгольца
\[F(T, V, N) = −k_BT \ln Z(T, V, N).\]
Зауважте, що знаходячи Z, ми підсумовуємо всі мікростани: низькоенергетичні, високоенергетичні, «впорядковані» (наприклад, всі атоми, що прямують на захід, або всі атоми, що прямують на схід), «безладні» (наприклад, атоми, що прямують у розсіяних напрямках).
Канонічний ансамбль для чистої класичної одноатомної рідини:
Імовірність того, що система знаходиться в мікростані γ пропорційна «фактору Больцмана»
\[e^{-H(\Gamma) / k_{B} T}.\]
Виписування всіх нормалізацій правильно дає: ймовірність того, що система знаходиться в якомусь мікростані в межах об'ємного елемента фазового простору d γ про γ дорівнює
\[ \frac{e^{-H(\Gamma) / k_{B} T}}{N ! h_{0}^{3 N} Z(T, V, N)} d \Gamma,\]
де функція розділення
\[ Z(T, V, N)=\frac{1}{N ! h_{0}^{3 N}} \int e^{-H(\Gamma) / k_{B} T} d \Gamma.\]
(Інтеграл проходить по всьому фазовому простору.) Це приклад «функції розділення», а саме функції розділення для чистої класичної одноатомної рідини. Він не відноситься до сумішей, до кристалів, до ідеального парамагніту. На відміну від цього, визначення «функції розділення» - рівняння (4.2), «сума над усіма станами» множника Больцмана.