Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.1: Канонічний ансамбль

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    76461

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Приклади «систем» і «ванн»:

    • Пляшка вина/басейн.
    • Зразок апарату контролю температури газ/лабораторії.
    • Одна ідеальна молекула газу/зразок газу.
    • Але не одна взаємодіюча молекула газу/зразок газу. (Розподіл Больцмана призначений для систем всередині ансамблів, а не для молекул всередині систем.)

    Позначимо мікростан x Точно те, що мається на увазі під мікростаном, буде залежати від обставин. Для системи точкових частинок це означає визначення всіх позицій і моментів. Для системи віджиму це означає визначення стану «вгору» або «вниз» кожного спина. Інші приклади ми побачимо пізніше.

    Спробую використовувати різні літери для мікроскопічних і макроскопічних (термодинамічних) величин. Наприклад H (x) проти E (термодинамічна енергія є\(E=\langle H(\mathrm{x})\rangle\);\( \mathcal{M}(x)\) проти\( M=\langle\mathcal{M}(\mathrm{x})\rangle\).

    Резюме

    Канонічний ансамбль в цілому:

    Імовірність того, що система знаходиться в мікростані x пропорційна «фактору Больцмана»

    \[e^{−H(x)/k_BT}.\]

    Коефіцієнт нормалізації називається «функцією розділення» або «сумою над усіма станами» (німецький «Zusstandsumme»):

    \[ Z(T, V, N)=\sum_{\text { microstates } x} e^{-H(\mathrm{x}) / k_{B} T}.\]

    (Зауважте, що Z не залежить від x.) Таким чином, ймовірність того, що система знаходиться в мікростані x, дорівнює

    \[ \frac{e^{-H(\mathrm{x}) / k_{B} T}}{Z(T, V, N)}.\]

    Зв'язок з термодинамікою полягає в тому, що вільна енергія Гельмгольца

    \[F(T, V, N) = −k_BT \ln Z(T, V, N).\]

    Зауважте, що знаходячи Z, ми підсумовуємо всі мікростани: низькоенергетичні, високоенергетичні, «впорядковані» (наприклад, всі атоми, що прямують на захід, або всі атоми, що прямують на схід), «безладні» (наприклад, атоми, що прямують у розсіяних напрямках).

    Канонічний ансамбль для чистої класичної одноатомної рідини:

    Імовірність того, що система знаходиться в мікростані γ пропорційна «фактору Больцмана»

    \[e^{-H(\Gamma) / k_{B} T}.\]

    Виписування всіх нормалізацій правильно дає: ймовірність того, що система знаходиться в якомусь мікростані в межах об'ємного елемента фазового простору d γ про γ дорівнює

    \[ \frac{e^{-H(\Gamma) / k_{B} T}}{N ! h_{0}^{3 N} Z(T, V, N)} d \Gamma,\]

    де функція розділення

    \[ Z(T, V, N)=\frac{1}{N ! h_{0}^{3 N}} \int e^{-H(\Gamma) / k_{B} T} d \Gamma.\]

    (Інтеграл проходить по всьому фазовому простору.) Це приклад «функції розділення», а саме функції розділення для чистої класичної одноатомної рідини. Він не відноситься до сумішей, до кристалів, до ідеального парамагніту. На відміну від цього, визначення «функції розділення» - рівняння (4.2), «сума над усіма станами» множника Больцмана.