4.12: Задачі ансамблю II

Last updated
Save as PDF

Page ID: 76429

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Решта проблем у цьому розділі стосуються тих самих питань «принципів», що й інші, але вони припускають деяке знайомство з фізичними та математичними темами, які ми ще не розглядали. Я розміщую їх тут через їхній характер, але я не очікую, що ви робите їх у цей момент. Замість цього я перераховую їх передумови, і я сподіваюся, що ви повернетеся до них пізніше.

4.18 Grand-ω ансамбль для простого гармонічного осцилятора

(Передумова: Проблеми 4.15 і 5.7.) Задача 4.15 запровадила клас ансамблів, в яких механічні параметри в гамільтоні не фіксувалися, а дозволяли коливатися під контролем деяких параметрів γ. Застосовують це поняття до двоатомних молекул задачі 5.7, використовуючи в якості механічного параметра власну частоту вібрації. Розробіть сугестивні аргументи проблеми 4.15 в математично суворе доказ.

4.19 Частинки в мисці

(Обов'язкова умова: Глава 5.) Я не можу порахувати, скільки разів я махав руками і сказав вам, що точний характер меж повинен бути неактуальним для об'ємних властивостей, знайдених статистичною механікою. Тепер у вас є шанс довести це (для обмеженої ситуації, звичайно).

а Розглянемо N невзаємодіючих, класичних точкових частинок, що рухаються за умови потенційної енергетичної функції U (r) = Kr ^{2 /2}. Оцініть класичну функцію розділення Z _b (T, K, N) і порівняйте її з функцією розділення Z _h (T, V, N) для N частинок у жорсткостінному контейнері об'єму V.

б Для чого V (як функція K) будуть однаковими дві функції розділення в частині (a.)?

c Контейнер «чаша» не має жорстких стінок, тому можливо, щоб частка розташовувалася на будь-якій відстані від походження. Але чи не ймовірно, що частка потрапить занадто далеко. Обчисліть rms радіус\( \sqrt{\left\langle r^{2}\right\rangle}\). (Використовувати рівнорозділ?)

d Припустимо, що жорсткостінний контейнер сферичний з радіусом R. Помістіть початок у центрі сфери і знайдіть rms радіус\(\sqrt{\left\langle r^{2}\right\rangle}\).

е. для V, відповідного K у значенні частини (б.), порівняйте два середні радіуси.

Додатково: Виконайте цю задачу квантово механічно. (Підказка: Зверніть увагу на математичну схожість між цією задачею та моделлю вібрацій решітки Ейнштейна.)

4.20 Квантальний одноатомний ідеальний газ

(Передумова: Глава 6.) Ми багато разів розглядали задачу N невзаємодіючих класичних точкових частинок у коробці довжиною ребра L = V ^1/3. Тепер ми вирішимо задачу для квантових механічних частинок.

Функція розділення - це\( Z=\sum e^{-\beta E}\), де сума приймається за багаточастинкові енергетичні власні стани ψ (r ₁,., r _N). Ігнорувати вимоги симетрії до обміну таким чином, щоб такі стани задавалися простим переліком компонентів одночастинкових рівнів (або орбіталів) η _k (r). Таким чином, ψ можна вказати простим перерахуванням відповідних k значень його складових рівнів. Покажіть тоді, що

\[ Z=\frac{1}{N !}\left(\sum_{\mathbf{k}} e^{-\beta E_{k}}\right)^{N}\]

де\( E_{k}=\hbar^{2} k^{2} / 2 m\) і сума перевищує всі k, дозволені періодичними граничними умовами. Оцініть суму (в термодинамічній межі), перетворивши її в інтеграл. Порівняйте отриману функцію розділення з функцією класичного одноатомного ідеального газу.

4.21 Квантальний моноатомний ідеальний газ у мікроканонічному ансамблі

Розглянемо ситуацію вищезазначеної задачі, але обчислимо мікроканонічну функцію розділення Ω (E, V, N). Порівняйте з класичним результатом.