Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.1: Хвилі в розтягнутій струні

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    78860

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Перш ніж обговорювати відображення світла, корисно буде обговорити наступну проблему. Розглянемо дві мотузки, одну тонку і одну товсту, з'єднані між собою, і синусоїдальну хвилю, що рухається зліва направо по мотузках:

    \(c\)Швидкість хвиль у мотузці під напругою\(F\) - це\(c =\sqrt{F/\mu}\), де натяг, і\(\mu\) маса на одиницю довжини, тому швидкість і довжина хвилі менше в товщі мотузки. Ми будемо називати швидкість в лівій руці мотузкою\(c_1\) і швидкість в правій руці мотузки\(c_2\). На\((x = 0)\) кордоні частина хвилі передається, а частина відбивається. (Я не намалював відбиту частину на кресленні). Ми хочемо знайти, скільки передається і скільки відбивається. Я буду називати амплітуди падаючих, переданих і відбитих хвиль 1,\(T\) і\(R\) відповідно, і припустимо, що хвиля - це синусоїдальна хвиля кутової частоти\(\omega\). Рівняння падаючих, переданих і відбитих хвиль такі:

    \[y = \cos \omega \left(t - \dfrac{x}{c_1}\right)\]

    \[y = T \cos \omega \left(t - \dfrac{x}{c_2}\right)\]

    \[y =R \cos \omega \left(t + \dfrac{x}{c_1}\right)\]

    Праворуч від кордону зміщення як функція\(x\) і\(t\) є

    \[y = T \cos \omega \left(t - \dfrac{x}{c_2}\right)\]

    а зліва від кордону зміщення

    \[y = \cos \omega \left(t - \dfrac{x}{c_1}\right) +R \cos \omega \left(t + \dfrac{x}{c_1}\right)\]

    На кордоні\((x = 0)\), якщо мотузка не розривається, ці два зміщення повинні бути рівними, а значить

    \[ T = 1 + R. \label{eq:2.1} \]

    \(x\)-похідні (тобто схили) мотузок є:

    Праворуч від кордону

    \[\dfrac{\partial y}{\partial x}=\dfrac{T}{c_2}\sin\omega\left(t-\dfrac{x}{c_1}\right).\]

    і ліворуч від кордону

    \[\dfrac{\partial y}{\partial x}=\dfrac{A}{c_1}\sin\omega\left(t-\dfrac{x}{c_1}\right) - \dfrac{AR}{c_1}\sin \omega \left(t+\dfrac{x}{c_1}\right).\]

    Якщо немає зламу в мотузці на кордоні, вони рівні при\(x = 0\), і тому

    \[ \dfrac{T}{c_2} = \dfrac{1}{c_1} - \dfrac{R}{c_1}. \label{eq:2.2} \]

    Об'єднавши їх з рівнянням\ ref {eq:2.1}, отримаємо

    \[T = \dfrac{2c_2}{c_2+c_1} \, \text{and} \, R = \dfrac{c_2-c_1}{c_2+c_1}. \label{eq:2.3} \]

    Ми бачимо, що якщо\( c_2 < c_1 \),\(R\) є негативним; тобто відбувається зміна фази при відображенні. Якщо\(c_2 = c_1\) (тобто якщо є тільки один вид мотузки) немає відображення (тому що немає межі!).

    У наведеному вище аналізі ми розглянули просту синусоїду. Однак будь-яка функція, навіть неперіодична функція, може бути представлена сумою (можливо, нескінченною сумою) синусоїдальних хвиль, тому такий же результат буде отриманий для будь-якої функції.

    Сподіваємося, що енергія збережена, так що давайте подивимося. Енергія в хвилі пропорційна квадрату її амплітуди і, у випадку вібруючого каната, масі на одиницю довжини. А швидкість передачі енергії дорівнює в цей раз швидкості. При цьому швидкість передачі енергії пропорційна\(A^2 \mu lc \). Однак так\(c = \sqrt{F / \mu} \), щоб потужність була пропорційною\(A^2 / c\). Таким чином, інцидент, передані і відображені повноваження знаходяться в співвідношенні

    \[ 1: \dfrac{4c_1c_2}{(c_1+c_2)^2} : \dfrac{(c_1-c_2)^2}{(c_1+c_2)^2}. \label{eq:2.4} \]

    Ми бачимо, що сума переданих і відображених повноважень дорівнює потужності інциденту, і все добре зі світом.