Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.5: Ідеальне зображення за допомогою конічних перерізів

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    78787

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    У цьому розділі важливі конічні перерізи еліпса, гіперболи та параболи. На малюнку\(\PageIndex{1}\) їх визначення показані як швидке нагадування.

    Почнемо з пояснення того, що в геометричній оптиці мається на увазі під ідеальним зображенням. Дозвольте S бути точковим джерелом. Промені, перпендикулярні сферичним хвильовим фронтам, що випромінюються S радіально віялом з S. Завдяки таким предметам, як лінзи тощо, сферичні хвильові фронти деформуються, і напрямок променів починає відхилятися від радіального напрямку поширення. Коли є конус променів, що йдуть з точки S і всі промені в цьому конусі перетинаються в одній точці P, то за принципом Ферма всі ці промені мають пройдені шляхи мінімального часу подорожі. Зокрема, їх час подорожі рівні, і тому всі вони складаються по фазі, коли вони прибувають в П. Отже, при P спостерігається висока інтенсивність світла. Якщо є конус променів з точки S, які всі перетинаються в точці P, точка P називається ідеальним зображенням S. Шляхом зворотного напрямку променів, S є аналогічно ідеальним зображенням P. Оптична система, в якій це відбувається, називається стигматичною для двох точок S і P.

    2.4.1.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{1}\): Огляд конічних перерізів. На нижньому малюнку показано визначення, яке уніфікує три визначення на малюнку вище шляхом введення параметра, званого ексцентриситетом e Точка F - фокус, а лінія e = ∞ - директриса конічних перерізів.
    2.4.2.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{2}\): Ідеальна візуалізація: конус променів, які розходяться від S і всі перетинаються в точці П.

    Зауваження. Поняття ідеальної точки зображення існує тільки в геометричній оптиці. Насправді кінцеві діафрагми лінз та інших систем візуалізації викликають дифракцію, через яку точки зображення ніколи не бувають ідеальними, але розмитими.

    Підсумовуємо основні приклади стигматичних систем.

    1. Ідеальне фокусування та візуалізація шляхом заломлення. Паралельний пучок променів, що поширюються в середовищі з показником заломлення n 2, може бути сфокусований в точці F в середовищі n 1. Якщо n 2 > n 1, інтерфейс між носіями повинен бути гіперболою з фокусом F, тоді як якщо n 2 < n 1 інтерфейс повинен бути еліпсом з фокусом F (див. Рис. \(\PageIndex{3}\)) і\(\PageIndex{4}\). Реверсуючи промені, ми отримуємо ідеальну колімацію. Тому точку S у повітрі можна ідеально зобразити на точку F у повітрі, вставивши між ними шматок скла з гіперболічними поверхнями, як показано на малюнку\(\PageIndex{4}\).
    2. Ідеальне фокусування паралельних променів дзеркалом. Пучок паралельних променів у повітрі може бути сфокусований в точці F дзеркалом параболічної форми з F як фокусом (див\(\PageIndex{5}\). Рис. Повернувши стрілки заднім ходом, отримуємо (в межах геометричної оптики) ідеально паралельний промінь. Параболічні дзеркала використовуються повсюдно, від автомобільних фар до радіотелескопів.

    Решту цього розділу можна пропустити, оскільки наступні демонстрації того, що еліпс, гіпербола та парабола є стигматичними для певних точок, не є важливими для продовження. Спочатку припустимо, що є два середовища з показниками заломлення n 1> n 2 і що точка S знаходиться на нескінченності в середовищі з показником заломлення n 2. Ми побудуємо поверхню (інтерфейс) між двома носіями таким чином, щоб усі промені з S були сфокусовані в одній точці F (див.\(\PageIndex{3}\) Рис. Оскільки S знаходиться на дуже великій відстані, промені, що надходять праворуч, паралельні. Оскільки всі паралельні промені пройшли однакову відстань, коли вони потрапляють на поверхню DD' перпендикулярно променям, всі паралельні промені мають однакову фазу в точках перетину з площиною DD'. Якщо точка A знаходиться на інтерфейсі шуканого, час у дорозі для променя від D до F через A повинен бути мінімальним і, отже, повинен бути однаковим для всіх точок А.

    \[\dfrac{n_{2}}{c}|DA| +\dfrac{n_{1}}{c}|AF|=constant, \nonumber \]

    де «константа» означає однакове значення для всіх променів, отже, для всіх точок А на інтерфейсі. Рухаючи площину DD' паралельно собі, ми можемо досягти того, що для цієї нової площини DD' ми отримуємо:

    \[e|DA|+|AF|=0, \nonumber \]

    де е = n 2 /n 1 < 1. Звідси множина точок А визначає еліпсоїд.

    На відміну від цього, коли n 2 < n 1, як показано праворуч від малюнка\(\PageIndex{3}\), то e < 1 і ми маємо еліпсоїд з F як однією з його фокусних точок.

    2.4.3.png
    Малюнок\(\PageIndex{3}\): (а) Еліпсоїд (n 2 < n 1) і (b) гіперболоїд для ідеального фокусування паралельного пучка, що падає з середовища з показником заломлення n 2, в точку в середовищі з показником заломлення n 1.
    2.4.4.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{4}\): Лінза з гіперболоїдними поверхнями для ідеальної візуалізації пари точок.

    Напрямок променів на малюнку, очевидно, також\(\PageIndex{3}\) може бути зворотним, і в цьому випадку промені з точки F ідеально колімовані (тобто паралельні). Якщо середовище 2 складається зі скла і середовища 1 повітря, ми робимо висновок, що, з'єднавши два гіперболоїди, як показано на малюнку\(\PageIndex{4}\), точка S в повітрі ідеально зображується до точки Р, також у повітрі.

    Далі розглянемо ідеальне фокусування паралельних променів дзеркалом. Нехай в повітрі буде паралельний пучок променів (n = 1) і припустимо, що ми хочемо сфокусувати всі промені в точці F. Ми проводимо площину σ 1 перпендикулярно променям, як показано на малюнку\(\PageIndex{5}\). Промені, що потрапили σ 1, пройшли однакову довжину оптичного шляху. Проводимо другу поверхню σ 2 паралельно σ 1. Розглянемо промені, що потрапляють на дзеркало в А 1 і А 2. OPL від W j через A j до F повинен бути однаковим для всіх днів:

    \[OPL=|W_{1}A_{1}|+| A_{1} F|= |W_{2}A_{2}|+| A_{2} F| . \nonumber \]

    Так як σ 2 паралельно σ 1:

    \[|W_{1}A_{1}|+| A_{1} D_{1}|= |W_{2}A_{2}|+| A_{2}D_{2}| \nonumber \]

    Звідси (\(\PageIndex{3}\)) буде задовольнятися для точок A, для яких |AF| = |AD|, тобто для яких відстань до F така ж, як і σ 2. Це параболоїд з F як фокус і σ 2 як директриса.

    2.4.5.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{5}\): Параболоїдне дзеркало.

    Зауваження.

    Хоча ми виявили, що конічні поверхні дають ідеальне зображення для певної пари точок, інші точки не мають ідеальних зображень у тому сенсі, що для певного конуса променів всі промені заломлюються (або відбиваються) до однієї точки.

    Зовнішні джерела в рекомендованому порядку