4.3: Астигматизм

Last updated
Save as PDF

Page ID: 79053

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У перекладі з грецького клеймо означає знак - зокрема знак, зроблений уколом загостреного інструменту. Ідеальний оптичний прилад виробляє зображення точкового джерела, який також є точкою. Якщо зображення не точка, то воно астигматичне. Однак використання слова астигматичний для опису зображення точкового джерела, яке також не є точкою, обмежується видом оптичної аберації, описаної в цьому розділі.

Найпростіший спосіб зрозуміти явище астигматизму - уявити лінзу (або дзеркало), поверхні якої не зовсім сферичні, а для якої радіус кривизни (а значить, фокусна відстань) в одній площині відрізняється від радіуса кривизни в площині під прямим кутом до першої.

Це розтягне мої погані художні здібності до межі. Еліпс призначений для представлення лінзи, яку видно дещо ззаду, під кутом. Чорна лінія - це її оптична вісь. Лінза передбачається висвітлювати зліва пучком світла паралельно оптичній осі. Я намалював два пропущених променя у вертикальній площині за допомогою двох синіх стрілок, що сходяться на оптичній осі на деякій відстані від лінзи. Я намалював два пропущених променя в горизонтальній площині за допомогою двох червоних стрілок, що сходяться на оптичній осі на трохи більшій відстані від лінзи. (Кольори стрілок не означають різні кольори світла. Припустимо, що світло все однотонне.) Очевидно, що промені з різних точок по окружності лінзи приходять до плутаного безладу на оптичній осі; зображення рішуче астигматичне. Фактично в одній точці на оптичній осі формується лінійне зображення; трохи далі по осі формується інше лінійне зображення, під прямим кутом до першої. На малюнку IV.7 я повторюю малюнок IV.6, але я додаю ці два рядкових зображення.

Під час переміщення по оптичній осі зображення змінюється з горизонтальної лінії на вертикальну в послідовності, яка виглядає приблизно так:

Десь приблизно на півдорозі між двома лінійними зображеннями знаходиться «коло найменшої плутанини».

Я пояснив аберацію астигматизму, припустивши, що лінза має різну фокусну відстань в одній площині, ніж в іншій. Це може бути найпростішим способом вступного пояснення аберації. Однак на практиці навряд чи лінза має різну фокусну відстань у двох ортогональних площині; дійсно зробити таку лінзу було б досить складно.

У більшості випадків астигматизм викликається, як ми побачимо, використанням ідеально хорошої лінзи або дзеркала поза осі.

Якщо ви подивитеся на зірку через телескоп, і якщо ви переміщуєте окуляр всередині і назовні, ви можете побачити зображення зірки, що проходить через серію астигматичних зображень, таких як показано вище. Зазвичай це не спричинено поганою лінзою, але спричинено, якщо предметне скло (у заломлювальному телескопі) або об'єктив (у відбиваючому телескопі) криво в його комірці, так що ви використовуєте його поза віссю. Дійсно, проведення цього невеликого тесту - це хороший спосіб сказати, чи скло предмета чи дзеркало криво в своїй клітці.

Хоча різні радіуси кривизни в різних площинях не є звичайною причиною астигматизму, є виняток - а саме людське око. Якщо радіуси кривизни рогівки, або кришталика, різні в різних площинях, то зображення на сітківці буде астигматичним навіть по осі.

У главі 1 ми побачили, що заломлення на плоскій поверхні створює сферичну аберацію. Не завжди розуміється, що заломлення на плоскій поверхні виробляє астигматизм, коли поверхня розглядається під кутом. Якщо ви відвідаєте акваріум і заглянете в скляну сторону резервуара під кутом, ви побачите, що риби виглядають трохи розмитими через цей астигматизм.

На малюнку IV.8 я намалював два промені з точки O внизу скляного блоку, зробивши кути 20° і 30° з нормаллю до верхньої поверхні. При показнику заломлення 1,6 кути, які виникають промені роблять з нормаллю, становлять 33° і 53°. Я називаю площину паперу (або екран вашого комп'ютера) як дотичну площину. Вертикальна площина, перпендикулярна площині паперу - сагітальна площина. Ви побачите, що два промені в тангенціальній площині розходяться після заломлення від точки Т в дотичній площині. Якщо взяти висоту скляного блоку рівною 1, то можна обчислити, що\((x, y)\) координати точки Т в дотичній площині рівні (0,145, 0,666).

Щоб передбачити, зображення на Т - це не точка; скоріше, це коротка горизонтальна лінія в сагітальній площині, перпендикулярна площині паперу.

Тепер подивимося на склоблок зверху:

Я намалював (точно, сподіваюся, після деякого розрахунку) еліпс, де конус світла, що йде від O, перетинає верхню поверхню блоку. Точки Р і Q знаходяться в дотичній площині, а світло, що виходить з P і Q, здається, розходиться від Т. Точки R і U знаходяться в сагітальній площині. Простежити промені АБО і ОУ після появи з блоку виглядає не дуже легко, але, ймовірно, буде домовлено, що вони не розходяться від Т, як це робили промені в дотичній площині. Дійсно, після подальших роздумів, ви, ймовірно, побачите, що промені АБО і ОУ після появи будуть розходитися від точки S на\(y\) осі; тобто безпосередньо над O.

Для довідки координати декількох точок на кресленні, якщо мої розрахунки вірні, такі:

O: (0.000 000 000, 0.000 000 000, 0.000 000 000)

Р: (0.363 970 234, 1.000 000 000, 0.000 000 000)

Q: (0.577 350 269, 1.000 000 000, 0.000 000 000)

Р: (0.470 60 252, 1.000 000 000, 0.069 344 256)

U: (0,470 660 252, 1.000 000 000, −0.069 344 256)

Т: (0,145 831 216, 0,666 360 298, 0.000 000 000)

S: (0.000 000 000, 0.497 301 940, 0.000 000 000)

Кут падіння променя при R дорівнює 25,442 358 40 градусів до норми, а кут заломлення - 43,421 850 83 градуси.

Чистий результат цього полягає в тому, що на T перпендикулярно дотичній площині є коротке лінійне «зображення», і коротке лінійне «зображення» на S перпендикулярно сагітальній площині, і, десь між ними, є коло найменшої плутанини. Один із способів погляду на ситуацію - визнати, що хвильовий фронт виникає конуса несферичний - його радіуси кривизни різні в тангенціальній і сагітальній площині.

Таким чином, заломлення на плоскій поверхні призводить як до сферичної аберації, так і до астигматизму. Заломлення через скляну призму, як і в призматичному спектрографі, також виробляє астигматизм, і можна показати, що астигматизм найменше, коли світло проходить крізь призму симетрично в положенні мінімального відхилення. Це одна з причин, чому призматичні спектрографи зазвичай використовуються в положенні мінімального відхилення.

Ми бачили, що лінза не створює точкового зображення точкового об'єкта на осі лінзи, але зображення піддається сферичній аберації. Сферична аберація невелика, якщо діафрагма лінзи мала порівняно з її фокусною відстанню та відстанями об'єкта та зображення, так що кути, які роблять різні промені з оптичною віссю, досить малі\(\sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta\), щоб можна було зробити наближення, і невеликий також, якщо форма лінзи відповідним чином розроблений, як у прикладі в розділі 4.2. Для точкового об'єкта на осі зображення вільне від астигматизму (припускаючи, що радіуси кривизни лінзи в тангенціальній і сагітальній площині рівні). Однак для точкового об'єкта off -axis, в якому світло проходить крізь лінзу під косим кутом, заломлений конус дає початок астигматичному зображенню точно так само, як і при косому заломленні на плоскій поверхні. Це буде лінія «зображення», нормаль до дотичної площини, і, на іншій відстані, буде інша лінія, нормальна до сагітальної площини, і коло найменшої плутанини між ними. Чим далі від осі об'єкт, тим більше буде відстань між тангенціальної і сагітальної лініями. (Відстань буде дорівнює нулю для точкового об'єкта на осі.) На відміну від випадку для сферичної аберації, кількість астигматизму (відстань між T і S) не сильно покращується за рахунок зміни форми лінзи, а третій компонент лінзи часто використовується для корекції астигматизму.

Однак ми згадували, що астигматизм в оці, як правило, викликаний різними тангенціальними та сагітальними викривленнями рогівки, і це видно як на осі, так і поза осі. Це може бути виправлено однією лінзою, яка призначена для різних тангенціальних і сагітальних викривлень. Такі лінзи зробити непросто, та й коштують вони взагалі досить дорого.