Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

5.2: Узагальнення матриці

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    79625

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Ми можемо узагальнити алгоритм гаусової елімінації, описаний у попередньому розділі, для вирішення матричних задач виду.

    \[\mathbf{A}\, \mathbf{x} = \mathbf{b},\]

    де\(\mathbf{x}\) і\(\mathbf{b}\) є\(N\times M\) матрицями, а не просто векторами. Прикладом, для\(M=2\), є

    \[\begin{bmatrix}1 &2 &3 \\ 3 &2 &2 \\ 2 &6 &2\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{00} & x_{01} \\ x_{10} & x_{11} \\ x_{20} & x_{21} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3 & 6 \\ 4 & 8 \\ 4 & 2\end{bmatrix}.\]

    Це може стати трохи нудним, щоб продовжувати записувати\(x\) елементи в системі рівнянь, особливо коли\(\mathbf{x}\) стає матрицею. З цієї причини ми переходимо на позначення, відоме як розширена матриця:

    \[\left[\begin{array}{ccc|cc} 1 & 2 & 3 & 3 & 6 \\ 3 & 2 & 2 & 4 & 8 \\ 2 & 6 & 2 & 4 & 2 \end{array}\right].\]

    Тут записи зліва від вертикального роздільника позначають ліву частину системи рівнянь, а записи праворуч від роздільника позначають праву частину системи рівнянь.

    Алгоритм гауссова елімінації тепер можна виконувати безпосередньо на розширеній матриці. Ми пройдемося по кроках для наведеного вище прикладу. По-перше, скорочення рядів:

    • Усунути елемент можна при\((1,0)\):
      \[\left[\begin{array}{ccc|cc} 1 & 2 & 3 & 3 & 6 \\ 0 & -4 & -7 & -5 & -10 \\ 2 & 6 & 2 & 4 & 2 \end{array}\right]\]
    • Усунути елемент можна при\((2,0)\):
      \[\left[\begin{array}{ccc|cc} 1 & 2 & 3 & 3 & 6 \\ 0 & -4 & -7 & -5 & -10 \\ 0 & 2 & -4 & -2 & -10 \end{array}\right]\]
    • Усунути елемент можна при\((2,1)\):
      \[\left[\begin{array}{ccc|cc} 1 & 2 & 3 & 3 & 6 \\ 0 & -4 & -7 & -5 & -10 \\ 0 & 0 & -7.5 & -4.5 & -15 \end{array}\right]\]

    Крок зворотної підстановки перетворює ліву частину розширеної матриці в матрицю ідентичності:

    • Вирішити для рядка\(2\):
      \[\left[\begin{array}{ccc|cc} 1 & 2 & 3 & 3 & 3 \\ 0 & -4 & -7 & -5 & -10 \\ 0 & 0 & 1 & 0.6 & 2 \end{array}\right]\]
    • Вирішити для рядка\(1\):
      \[\left[\begin{array}{ccc|cc} 1 &\; 2 & \;\;\;3 \;\;& 3 & \;3 \\ 0 & \;1 & \;\;\;0\;\; & 0.2 & \;-1 \\ 0 & \;0 & \;\;\;1\;\; & 0.6 & \;2 \end{array}\right]\]
    • Вирішити для рядка\(0\):
      \[\left[\begin{array}{ccc|cc} 1 & \;0 & \;\;\;0\;\; & 0.8 & \;2 \\ 0 & \;1 & \;\;\;0\;\; & 0.2 & \;-1 \\ 0 & \;0 & \;\;\;1\;\; & 0.6 & \;2 \end{array}\right]\]

    Після завершення роботи алгоритму права частина доповненої матриці містить результат для\(\mathbf{x}\). Аналізуючи час виконання, використовуючи ті самі міркування, що і раніше, ми виявляємо, що крок зменшення рядків масштабується як\(O\Big(N^2(N+M)\Big)\), а крок зворотної заміни масштабується як\(O\Big(N(N+M)\Big)\).

    Ця матрична форма алгоритму гаусової елімінації є стандартним методом обчислення матричних обертань. Якщо\(\mathbf{b}\) є матрицею\(N\times N\) ідентичності, то розв'язок\(\mathbf{x}\) буде зворотним\(\mathbf{A}\). Таким чином, час виконання для обчислення матриці обернено масштабується як\(O(N^{3})\).