8.7: Проблеми з вправами
- Page ID
- 75101
8.1. Знайдіть поправку першого порядку до рівняння Паскаля (6) для рідини, обумовлену її низькою, але ненульовою стисливістю, і оцініть цю поправку для води на дні океанів Землі.
8.2. Знайти нерухому форму відкритої поверхні нестисливої, важкої рідини в ємності, обертається навколо своєї вертикальної осі з постійною кутовою швидкістю\(\omega\) - див. Малюнок праворуч.
8.3.* Використовуйте два різних підходи для розрахунку нерухомої форми поверхні нестисливої рідини щільності\(\rho\) поблизу вертикальної площини стінки, в рівномірному гравітаційному полі - див. Рисунок праворуч. Зокрема, знайти висоту\(h\) підйому рідини на поверхні стіни як функцію кута контакту\(\theta_{c}\).
8.4. \(^{*}\)Мильна плівка з поверхневим натягом\(\gamma\) натягується між двома подібними, коаксіальними, тонкими круглими кільцями радіусом\(R\), розділеними відстанню\(d\) - див. Малюнок праворуч. Нехтуючи гравітацією, розрахуйте рівноважну форму плівки, і силу, необхідну для утримання кілець на фіксованій відстані.
8.5. Тверда сфера радіуса\(R\) утримується в стійкому, вихровому потоці ідеальної нестисливої рідини, зі швидкістю\(v_{0}\). Знайдіть просторовий розподіл швидкості і тиску, і зокрема їх крайні значення. Порівняйте результати з отриманими в п. 4 для круглого циліндра.
8.6. Невелике джерело, розташоване на відстані\(d\) від плоської стінки ємності, заповненої ідеальною, нестисливою рідиною щільності\(\rho\), впорскує додаткову рідину ізотропно, при постійному струмі маси («розряд»)\(Q \equiv d M / d t-\) див. Малюнок праворуч. Обчисліть розподіл швидкості рідини та її тиск на
Підказка: Згадайте спосіб зображення заряду в електростатиці\({ }^{51}\) та споглядайте його можливий аналог.
8.7. Обчисліть середню кінетичну, потенційну та повну енергії (на одиницю площі) біжить синусоїдальної хвилі невеликої амплітуди\(q_{A}\) на горизонтальній поверхні на ідеальній, нестисливій, глибокій рідині щільності\(\rho\), в рівномірному гравітаційному полі\(\mathbf{g}\).
8.8. Обчисліть середню потужність (на одиницю ширини фронту хвилі), яку переносить поверхнева хвиля, розглянута в попередній задачі, і співвіднести результат з енергією хвилі.
8.9. Виведіть Eq. (48) для поверхневих хвиль на шарі важкої рідини скінченної товщини.
8.10. Вивести екв. (50) для капілярних хвиль («брижі»).
8.11 .* Вивести\(2 \mathrm{D}\) диференціальне рівняння, що описує поширення відносно довгих\((\lambda>>h)\) хвиль на поверхні широкого плоского шару товщини ідеальної\(h\), нестисливої рідини, і використовувати його для обчислення найдовших стоячих хвиль мод і частот в шарі, що покриває a сферична планета радіусом\(R \gg>\) h.
Підказка: Друге завдання вимагає деякого ознайомлення з основними властивостями сферичних гармонік. \({ }^{52}\)
8.12. Обчисліть розподіл швидкостей і співвідношення дисперсії хвиль, що поширюються по горизонтальній межі розділу двох ідеальних, нестисливих рідин різної щільності.
8.13. Використовуйте скінченно-різницеве наближення оператора Лапласа з кроком сітки\(h=\)\(a / 4\), щоб знайти максимальну швидкість і сумарний масовий потік\(Q\) в'язкої, нестисливої рідини через довгу трубу з квадратною формою перетину сторони\(a\). Порівняйте результати з тими, які описані в п. 5 для тієї ж задачі з кроком сітки\(h=a / 2\), і для труби з круглим перетином тієї ж площі.
8.14. Шар, товщиною\(h\), важкої, в'язкої, нестисливої рідини стікає по довгій і широкій похилій площині, під власною вагою - див. Малюнок праворуч. Знайти стаціонарний профіль розподілу швидкості і загальний скид рідини (на одиницю ширини.)
8.15. Обчисліть крутний момент опору, що діє на одиницю довжини твердого круглого циліндра радіусом,\(R\) який обертається навколо своєї осі\(\omega\), з кутовою швидкістю, всередині нестисливої рідини з в'язкістю\(\eta\), що зберігається статично далеко від циліндра.
8.16. Обчисліть тангенціальну силу (на одиницю площі), що чиниться нестисливою рідиною, з щільністю\(\rho\) та в'язкістю\(\eta\), на широку тверду площину, розміщену над її поверхнею і змушену коливатися вздовж поверхні з амплітудою\(a\) та частотою\(\omega\).
8.17. Масивна баржа, з рівним дном площі\(A\), пливе на мілководді, з просвітом\(h \ll A^{1 / 2}-\) дивіться малюнок праворуч. Проаналізуйте часову залежність швидкості\(V(t)\) баржі та профіль швидкості води після вимкнення двигуна баржі. Обговоріть межі великих і малих значень безрозмірного параметра\(M / \rho A h\).
8.18. * Виведіть загальний вираз для швидкості механічних втрат енергії у в'язкій нестисливій рідині, яка підпорядковується рівнянню Нав'є-Стокса, і використовуйте цей вираз для обчислення коефіцієнта загасання поверхневих хвиль, припускаючи, що в'язкість мала. (Кількісно оцінити цю умову).
8.19. Використовуйте рівняння Нав'є-Стокса для обчислення коефіцієнта загасання площини, синусоїдальної акустичної хвилі.
\({ }^{51}\)Див., наприклад, EM Secs. 2.9, 3.3 і 4.3.
\({ }^{52}\)Див., наприклад, EM Sec. \(2.8\)та/або QM Розділ 3.6.