8.6: Турбулентність

Як показано на малюнку 15, результат Стокса\((71)-(72)\) дійсний лише при\(\operatorname{Re}<<1\), тоді як для більших значень числа Рейнольдса, тобто при більш високих\(v_{0}\) швидкостях, сила опору більша. Цей факт не зовсім дивний, адже при виведенні результату Стокса нелінійний член\((\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v}\) у рівнянні Нав'є-Стокса (53), який масштабується як\(v^{2}\), був знехтований у порівнянні з лінійними, масштабування як\(v\). Що більш дивно, це те, що функція\(C_{\mathrm{d}}(R e)\) проявляє таку складну поведінку на багато порядків швидкості, даючи натяк на те, що потік рідини при великих числах Рейнольдса також повинен бути дуже складним. Дійсно, причиною такої складності є поступовий розвиток дуже хитромудрих, залежних від часу рідинних закономірностей, званих турбулентністю, багатими вихорами - наприклад, див. Рис. 16. Ці вихори особливо виражені в області позаду рухомого тіла (так зване пробудження), в той час як область перед тілом залишається майже незворушною. Як показує малюнок 15, турбулентність проявляє досить різну поведінку при різних швидкостях (тобто значення\(\operatorname{Re}\)), а іноді змінюється досить різко - див., наприклад, значне падіння перетягування на\(\operatorname{Re} \approx 5 \times 10^{5}\).

Щоб зрозуміти умови цього явища, оцінимо масштаб різних членів рівняння Нав'є-Стокса (53) для узагальненого випадку тіла з характерним розміром\(l\), що рухається в інакше статичній, нестисливій рідині, зі швидкістю\(v\). У цьому випадку характерна шкала часу можливих нестаціонарних явищ задається співвідношенням\(l / v,{ }^{41}\) таким чином, щоб ми прийшли до наступних оцінок:\[\begin{array}{lcccc} \text { Equation term: } & \rho \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} & \rho(\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} & \mathbf{f} & \eta \nabla^{2} \mathbf{v} \\ \text { Order of magnitude: } & \rho \frac{v^{2}}{l} & \rho \frac{v^{2}}{l} & \rho g & \eta \frac{v}{l^{2}} \end{array}\] (Я пропустив термін,\(\nabla \mathcal{P}\) тому що, як ми бачили в попередньому розділі, у типових задачах потоку рідини він врівноважує термін в'язкості , А значить, має такий же порядок.) Eq. (75) показує, що відносна важливість термінів може характеризуватися двома безрозмірними співвідношеннями. \({ }^{42}\)

Малюнок 8.15. Коефіцієнт опору\(C_{\mathrm{d}}\) для сфери в нестисливій рідині, як функція числа Рейнольдса (Зверніть увагу на\(\log -\log\) графік). Експериментальні дані взяті з\(\mathrm{F}\). Айснер, Дас Уайдсендс проблема, в: Proc. \(3^{\text {rd }}\)Int. Конгрес по Appl. Мех., Стокгольм,\(1931 .\)

Перший з них - так зване число Фруда,\({ }^{43}\)\[F \equiv \frac{\rho v^{2} / l}{\rho g} \equiv \frac{v^{2}}{l g},\] яке характеризує відносну важливість гравітації - або, при відповідній модифікації, інших об'ємних сил. У більшості практичних завдань (за важливим винятком поверхневих хвиль, див. Розділ. 4 вище)\(F \gg>1\), так що гравітаційними ефектами можна знехтувати.

Рис.8.16. Знімок турбулентного хвоста (пробудження) за сферою, що рухається в рідині з високим числом Рейнольдса, показує так звану вихрову вулицю фон Кармана. Адаптовано з оригіналу (насправді, дуже приємна анімація, http://www.mcef.ep.usp.br/staff/jmen...areo/vort2.gif) Cesareo de La Rosa Siqueira, як авторський матеріал, доступний на https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=87351.

Набагато важливішим є інше співвідношення, число Рейнольдса (74), яке може бути переписано як\[R e \equiv \frac{\rho v l}{\eta} \equiv \frac{\rho v^{2} / l}{\eta v / l^{2}},\] і, отже, є мірою відносної важливості інерції частинки рідини в порівнянні з ефектами в'язкості. \({ }^{44}\)Отже, знову ж таки, природно, що для сфери роль вихрового терміна\((\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v}\) стає помітною вже на\(\operatorname{Re} \sim 1-\) рис. 15. Що дуже неінтуїтивно, так це виникнення турбулентності в системах, де ламінарний (без турбулентності) потік формально є точним рішенням рівняння Нав'є-Стокса для будь-якого\(\operatorname{Re}\). Наприклад, при\(\operatorname{Re}>\operatorname{Re}_{\mathrm{t}} \approx 2,100\) (з\(l \equiv 2 R\) і\(v \equiv v_{\max }\)) ламінарний потік в круглої трубі, описаний Eq. (60), стає нестабільним, а результуюча турбулентність зменшує розряд рідини\(Q\) в порівнянні з законом Пуазейля (62). Ще більш вражаюче, критична величина\(R e\) досить нечутлива до шорсткості стінки труби і не розходиться навіть в межі ідеально гладких стінок.

Оскільки\(\operatorname{Re} \gg 1\) в багатьох реальних життєвих ситуаціях\({ }^{45}\) турбулентність дуже важлива для практики. Однак, незважаючи на майже століття інтенсивних досліджень, загальної кількісної аналітичної теорії цього явища не існує,\({ }^{46}\) і більшість результатів все ще отримують або досить приблизними аналітичними методами, або числовим розв'язанням рівнянь Нав'є-Стокса з використанням підходів обговорювалося в попередньому розділі, або в експериментах (наприклад, на масштабованих моделям\({ }^{47}\) в аеродинамічних трубах). Тільки певні загальні, напівкількісні ознаки можуть бути легко зрозумілі з простих аргументів.

Наприклад, на малюнку 15 показано, що в дуже широкому діапазоні чисел Рейнольдса від\(\sim 10^{2}\) до\(\sim 3 \times 10^{5}, C_{\mathrm{d}}\) сфери має порядок 1. Причому для плоского, тонкого круглого диска, перпендикулярно падаючому потоку,\(C_{\mathrm{d}}\) дуже близький\(1.1\) до будь-якого\(\operatorname{Re}>10^{3}\). Приблизна рівність\(C_{\mathrm{d}} \approx 1\), що означає силу перетягування\(F \approx \rho v_{0}^{2} A / 2\), може бути зрозуміла (на зображенні, де об'єкт переміщується зовнішньою силою\(F\) зі швидкістю\(v_{0}\) через рідину, яка спочатку перебувала в стані спокою) як рівність сили, що доставляється,\(F v_{0}\) і рідини кінетична енергія,\(\left(\rho v_{0}^{2} / 2\right) V\) створена в обсязі\(V=v_{0} A\) в одиницю часу. Це співвідношення було б точним, якби об'єкт дав свою швидкість\(v_{0}\) кожній частинці рідини, на яку потрапляє її перетин, наприклад, перетягуючи всі такі частинки за собою. Насправді значна частина цієї кінетичної енергії йде в вихори, де швидкість частинок може відрізнятися від\(v_{0}\), так що рівність\(C_{\mathrm{d}} \approx 1\) є лише приблизною.

На жаль, через обмеження часу/простору, для більш детального обговорення цих результатів я повинен направити читача до більш спеціалізованої літератури,\({ }^{48}\) і завершу цю главу коротким обговоренням лише одного питання: чи можна турбулентність «пояснити єдиним механізмом»? (Іншими словами, чи можна його звести, хоча б на напівкількісному рівні, до набору більш простих явищ, які прийнято вважати «добре зрозумілими»?) Мабуть, відповідь - ні, 49 хоча нелінійна динаміка простих систем може дати деякі корисні ідеї.

В середині минулого століття найбільш популярним якісним поясненням турбулентності було формування «енергетичного каскаду», який би передавав енергію від регулярного потоку рідини до ієрархії вихорів різного розміру. \({ }^{50}\)На нашому тлі легше переказати цю історію мовою часової області (зі швидкістю, яка\(v\) служить коефіцієнтом перетворення), використовуючи той факт, що у обертовому вихорі кожна декартова складова радіус-вектора частинки коливається в часі, так що певною мірою вихровий грає роль коливального режиму руху.

Розглянемо проходження твердого тіла між двома, спочатку близькими, дрібними частинами рідини. Тіло розсовує їх в сторони, але після його проходження ці часткові обсяги вільно повертаються в початкові положення. Однак домінування інерційних ефектів при русі\(\operatorname{Re}>>1\) означає, що обсяги продовжують деякий час «коливатися» щодо тих положень рівноваги. (Оскільки елементарні обсяги нестисливої рідини зливатися не можуть, ці коливання набувають вигляду обертових вихорів - знову див. Рис. 16.)

Тепер, з п. \(5.8\)відомо, що інтенсивні коливання в системі з квадратичною нелінійністю, в даному випадку забезпечені конвективним терміном\((\mathbf{v} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{v}\), еквівалентні для малих збурень коливанню параметрів системи на відповідній частоті. З іншого боку, як коротко обговорювалося в п. 6.7, в системі з двома коливальними ступенями свободи періодична зміна параметрів з частотою\(\omega_{\mathrm{p}}\) може призвести до невиродженого параметричного збудження («понижа-перетворення») коливань з частотами, що\(\omega_{1,2}\) задовольняють відношення \(\omega_{1}+\omega_{2}=\omega_{\mathrm{p}}\). Більш того, спектр коливань в такій системі також має більш високі комбінаційні частоти, такі як\(\left(\omega_{\mathrm{p}}+\omega_{1}\right)\), таким чином штовхаючи енергію коливань вгору по частотній шкалі («вгору-перетворення»). При наявності інших коливальних режимів ці коливання можуть, в свою чергу, через ту ж нелінійність, навіть більш високі частоти тощо У рідині спектр цих «коливальних режимів» (власне, вихрових структур) є по суті безперервним, так що наведені вище аргументи роблять дуже правдоподібним послідовний передача енергії від рухомого тіла в широкий діапазон коливальних режимів - частотний спектр яких обмежений зверху розсіюванням енергії за рахунок в'язкості рідини. При збудженні ці режими взаємодіють (зокрема, взаємне блокування фаз) через нелінійність системи, створюючи складний рух, який ми називаємо турбулентністю.

Хоча не мають великої кількісної прогностичної сили, такі розмахувальні пояснення, які, по суті, засновані на збудженні великої кількості ефективних ступенів свободи, домінували в оглядах турбулентності до середини 1960-х років. У цей момент відкриття (а точніше повторне відкриття) квазівипадкових рухів у класичних динамічних системах з лише\(a\) кількома ступенями свободи суттєво змінило обговорення. Так як це явище, зване детермінованим хаосом, виходить далеко за межі флюїдної динаміки, і я присвячу йому окрему (нехай і коротку) наступну главу, а в її кінці коротко повернуся до обговорення турбулентності.

---

\({ }^{41}\)Часова шкала явищ в неавтономних системах може відрізнятися від\(l / v\); наприклад, для вимушених коливань потоку рідини з частотою\(\omega\) вона задається періодом коливань\(\tau \equiv 2 \pi / \omega\). Для таких задач відношення\(S \equiv(l / v) / T\) служить ще одна, незалежна безрозмірна константа, яка зазвичай називається або числом Струхаля, або зменшеною частотою.

\({ }^{42}\)Для істотно стисливих рідин (наприклад, газів) найважливішим додатковим безрозмірним параметром є число Маха\(M \equiv v / v_{1}\), де\(v_{1}=(K / \rho)^{1 / 2}\) швидкість поздовжнього звуку - який, як ми вже знаємо з глави 7, єдиний хвильовий режим, можливий в нескінченній рідини. Особливо значущими для практики є надзвукові ефекти (в тому числі ударна хвиля у вигляді знаменитого конуса Маха з напівкутом\(\theta_{\mathrm{M}}=\sin ^{-1} M^{1}\)), що виникають при\(M>1\). Для більш ретельного обговорення цих питань я повинен направити читача на більш спеціалізовані тексти - або глава IX томи Ландау-Ліфшица, цитований вище, або Глава 15 в I. Cohen and P. Kundu, Fluid Mechanics,\(4^{\text {th }}\) ред., Academic Press, 2007 - що, як правило, хороша книга з цього питання. Ще один популярний, досить базовий підручник - Р.Грейнджер, Fluid Mechanics, Dover, 1995.

\({ }^{43}\)Названий на честь Вільяма Фруда (1810-1879), який зробив кілька важливих внесків у прикладну гідродинаміку.

\({ }^{44}\)Відзначимо, що «динамічна» в'язкість\(\eta\) бере участь в цьому числі (і багатьох інших проблемах динаміки рідини) тільки в комбінації\(\eta / \rho\), яка тим самим заслужила особливу назву кінематичної в'язкості.

\({ }^{45}\)Дійсно, значення\(\eta\) і\(\rho\) для води, перераховані в таблиці 1, мають на увазі, що навіть для об'єкта розміром в кілька метрів (наприклад, людського тіла або невеликого човна),\(R e>1,000\) на будь-якій швидкості вище просто\(\sim 1 \mathrm{~mm} / \mathrm{s}\).

\({ }^{46}\)Рідкісним винятком є відносно недавній теоретичний результат С.Орсага (1971) для порогу турбулентності в потоці нестисливої рідини через зазор товщини\(t\) між двома паралельними площинними стінками (див. Рис. 10):\(R e_{\mathrm{t}} \approx\) 5,772 (для\(l=t / 2, v=v_{\max }\)). Однак цей результат не прогнозує закономірності турбулентності при\(\operatorname{Re}>\operatorname{Re}_{\mathrm{t}}\).

\({ }^{47}\)Вирішальною умовою правильного моделювання є рівність чисел Рейнольдса (74) (і, якщо це актуально, також чисел Фруда та/або чисел Маха) об'єкта інтересу та його моделі.

\({ }^{48}\)Див., наприклад, П.Девідсон, Турбулентність, Оксфорд У. прес,\(2004 .\)

\({ }^{49}\)Наступна відома цитата приписується Вернеру Гейзенбергу на смертному одрі: «Коли я зустрінуся з Богом, я поставлю йому два питання: Чому відносність? І чому турбулентність? Думаю, він матиме відповідь на перше питання». Хоча, мабуть, неточна, ця історія досить добре відображає зрозуміле розчарування спільноти фундаментальної фізики, відомої своїм редукціоністським менталітетом, з величезною складністю явищ, які підкоряються простим (наприклад, рівнянням Нав'є-Стокса), тобто з їхньої точки зору, не описують будь-яка нова фізика.

\({ }^{50}\)Цю картину запропонував в 1922 році Льюїс Ф. Річардсон.