20.4.1: Закон Пуазейля

Закон Пуазейля розповідає, як швидкість нетурбулентного потоку рідини через циліндричну трубу залежить від в'язкості рідини, радіуса труби і градієнта тиску. Якщо все інше не вдається, можна хоча б спробувати розмірний аналіз. Припустимо, що швидкість потоку рідини (в кубічних метрах в секунду) пропорційна$\eta^\alpha a^\beta \left( \frac{dP}{dx}\right)^ \gamma,$ і показати за допомогою розмірного аналізу той$\alpha = −1, \beta = −4$ і$\gamma = 1$, який показує, що швидкість потоку дуже чутлива до радіусу труби. Це$\beta = −4$ говорить вам, що якщо ваші артерії взагалі звужені, навіть трохи, вам краще остерігатися. Потік газу складніший, оскільки гази стисливі (так само є рідини, але не сильно), але$\beta = −4$ говорить вам, що швидкість, з якою ви можете відкачувати газ із системи, багато в чому залежить від розміру найменшої трубки, яку ви маєте між об'ємом, який ви намагаєтеся евакуювати, і насосом. Тепер давайте спробуємо проаналізувати його далі.

Малюнок XX.10 являє собою трубу радіусу$a$ з рідиною, що протікає вправо. На відстані$r$ від осі труби швидкість руху рідини дорівнює$v$. Довжина труби є$l$, і є градієнт тиску по довжині труби, тиск на лівому кінці вище, ніж тиск на правому$P$. У трубі є градієнт швидкості. Швидкість руху рідини по осі труби дорівнює v0, а швидкість по колу труби дорівнює нулю. Тобто швидкість зменшується від осі до окружності, так що градієнт швидкості$(dv/dr)$ негативний.

Тепер розглянемо рівновагу рідини всередині радіуса$r$. (Він знаходиться в рівновазі, оскільки рухається з постійною швидкістю.) Він висувається вперед градієнтом тиску. Це праворуч сила$\pi r^2 P$. Його тягне назад в'язкою силою, що діє на область$2 \pi rl$. Ця ліва сила є$-2 \pi \eta lr(dv/dr)$, цей вираз для лівої сили є позитивним.

Тому

$$-2 \eta l \frac{dv}{dr} = Pr . \tag{20.4.1}\label{eq:20.4.1}$$

Інтеграція від осі$(r = 0, v = v_0)$ до$r$:

$$v = v_0 - \frac{Pr^2}{4 \eta l }. \tag{20.4.2}\label{eq:20.4.2}$$

Таким чином, швидкість зменшується квадратично (параболічно), коли ви віддаляєтеся від осі. Швидкість дорівнює нулю по колу, а значить і швидкість на осі дорівнює

$$v_0 =\frac{Pr^2}{4 \eta l }. \tag{20.4.3}\label{eq:20.4.3}$$

Перевірте розміри.

Тепер об'ємний потік через циліндричну оболонку радіусів$r$ і$r + dr$ це швидкість, що помножує площу$2 \pi r dr,$$\frac{\pi r^3 dr}{2 \eta l}$, яка є, і якщо ви інтегруєте це через всю трубу$a$, від 0 до, ви виявите, що швидкість потоку рідини через трубу (кубічні метри в секунду)

$$\frac{ \pi a ^4 P }{ 8 \eta l }. \tag{20.4.4}\label{eq:20.4.4}$$

Це закон Пуазейля.