Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

20.4.1: Закон Пуазейля

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    76254

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Закон Пуазейля розповідає, як швидкість нетурбулентного потоку рідини через циліндричну трубу залежить від в'язкості рідини, радіуса труби і градієнта тиску. Якщо все інше не вдається, можна хоча б спробувати розмірний аналіз. Припустимо, що швидкість потоку рідини (в кубічних метрах в секунду) пропорційна\( \eta^\alpha a^\beta \left( \frac{dP}{dx}\right)^ \gamma, \) і показати за допомогою розмірного аналізу той\(\alpha = −1, \beta = −4 \) і\(\gamma = 1\), який показує, що швидкість потоку дуже чутлива до радіусу труби. Це\( \beta = −4 \) говорить вам, що якщо ваші артерії взагалі звужені, навіть трохи, вам краще остерігатися. Потік газу складніший, оскільки гази стисливі (так само є рідини, але не сильно), але\( \beta = −4 \) говорить вам, що швидкість, з якою ви можете відкачувати газ із системи, багато в чому залежить від розміру найменшої трубки, яку ви маєте між об'ємом, який ви намагаєтеся евакуювати, і насосом. Тепер давайте спробуємо проаналізувати його далі.

    альт

    Малюнок XX.10 являє собою трубу радіусу\(a\) з рідиною, що протікає вправо. На відстані\(r\) від осі труби швидкість руху рідини дорівнює\(v\). Довжина труби є\(l\), і є градієнт тиску по довжині труби, тиск на лівому кінці вище, ніж тиск на правому\(P\). У трубі є градієнт швидкості. Швидкість руху рідини по осі труби дорівнює v0, а швидкість по колу труби дорівнює нулю. Тобто швидкість зменшується від осі до окружності, так що градієнт швидкості\( (dv/dr) \) негативний.

    Тепер розглянемо рівновагу рідини всередині радіуса\(r\). (Він знаходиться в рівновазі, оскільки рухається з постійною швидкістю.) Він висувається вперед градієнтом тиску. Це праворуч сила\( \pi r^2 P \). Його тягне назад в'язкою силою, що діє на область\( 2 \pi rl\). Ця ліва сила є\( -2 \pi \eta lr(dv/dr) \), цей вираз для лівої сили є позитивним.

    Тому

    \[ -2 \eta l \frac{dv}{dr} = Pr . \tag{20.4.1}\label{eq:20.4.1} \]

    Інтеграція від осі\((r = 0, v = v_0) \) до\(r\):

    \[ v = v_0 - \frac{Pr^2}{4 \eta l }. \tag{20.4.2}\label{eq:20.4.2} \]

    Таким чином, швидкість зменшується квадратично (параболічно), коли ви віддаляєтеся від осі. Швидкість дорівнює нулю по колу, а значить і швидкість на осі дорівнює

    \[ v_0 =\frac{Pr^2}{4 \eta l }. \tag{20.4.3}\label{eq:20.4.3} \]

    Перевірте розміри.

    Тепер об'ємний потік через циліндричну оболонку радіусів\(r\) і\(r + dr\) це швидкість, що помножує площу\( 2 \pi r dr, \)\( \frac{\pi r^3 dr}{2 \eta l} \), яка є, і якщо ви інтегруєте це через всю трубу\(a\), від 0 до, ви виявите, що швидкість потоку рідини через трубу (кубічні метри в секунду)

    \[ \frac{ \pi a ^4 P }{ 8 \eta l }. \tag{20.4.4}\label{eq:20.4.4} \]

    Це закон Пуазейля.