15.5: Перетворення Лоренца

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75841

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Для решти цієї глави я приймаю, як фундаментальний постулат, що

Неможливо визначити швидкість руху рівномірно рухомого опорного кадру будь-якими способами, будь то механічним або електричним, або взагалі будь-яким експериментом, виконаним повністю або частково в межах цього кадру, або навіть за допомогою посилання на інший кадр.

і, отже, я вважаю, що мій спідометр не буде працювати. Якщо будь-яким електричним експериментом неможливо визначити нашу швидкість, ми повинні припустити, що всі відомі нам електромагнітні рівняння, не тільки ті, які ми цитували, але й справді рівняння Максвелла, які охоплюють всі електромагнітні явища, однакові у всіх рівномірно рухомих опорних кадрах.

Одне з багатьох прогнозів рівнянь Максвелла полягає в тому, що електромагнітне випромінювання (яке включає світло) рухається зі швидкістю

\[ c=\frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\epsilon_{0}}} \label{15.5.1} \]

Імовірно, ні проникність, ні діелектрична проникність простору не змінюються лише тому, що ми віримо, що ми подорожуємо через космос - справді, це буде кинути виклик здоровому глузду припустити, що вони будуть. Отже, наше прийняття фундаментального принципу особливої відносності еквівалентно прийняттю як фундаментального постулату, що швидкість світла у вакуумі однакова для всіх спостерігачів у рівномірному відносному русі. Все інше, крім цього, ми будемо вважати обуренням проти здорового глузду, хоча прийняття принципу вимагатиме ретельного вивчення наших ідей щодо відносин між часом і простором.

Уявімо собі дві системи відліку,\( \sum\) і\( \sum'\). \( \sum'\)рухається вправо (позитивне\( x\) -напрямок) зі швидкістю\( \nu\) відносно\( \sum\). (Для стислості я час від часу буду називати S як «нерухомий» кадр, в надії, що ця свобода не призведе до непорозуміння.) У\( t=t'=0\) той час два кадри збігаються, і в цей момент хтось б'є сірник на загальне походження двох кадрів. Пізніше, який я називатиму,\( t\) якщо посилається на кадр\( \sum\), і\( t'\) якщо згадується\( \sum'\), світло від сірника утворює сферичний хвильовий фронт, що рухається радіально назовні зі швидкістю\( c\) від початку\( \sum\), і рівняння цьому\( O\) хвильовий фронт, якщо згадувати про кадр\( \sum\), є

\[ x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}=0. \label{15.5.2} \]

Згаданий\( \sum'\), він також рухається назовні зі швидкістю\( c\) від початку\( S'\), і рівняння до цього\( O'\) хвильового фронту, коли згадується кадр\( \sum'\), є

\[ x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}-c^{2}t'^{2}=0. \label{15.5.3} \]

Більшість читачів приймуть, думаю, що\( y=y'\) і\( z=z'\). Деяка формальна алгебра може знадобитися для суворого доказу, але це відволікає від нашої головної мети знаходження перетворення між заґрунтованими та негрунтованими координатами таким чином, що

\[ x'^{2}-c^{2}t'^{2}=x^{2}-c^{2}t^{2}. \label{15.5.4} \]

Легко показати, що «Галілейське» перетворення\( x'=x-ct\),\( t'=t\) не задовольняє цій рівності, тому нам доведеться постаратися сильніше.

Шукатимемо лінійні перетворення форми

\[ x'=Ax+Bt, \label{15.5.5} \]

\[ t'=Cx+Dt, \label{15.5.6} \]

які задовольняють рівняння\( \ref{15.5.4}\).

У нас є

\[ \frac{x'}{t'}=\frac{Ax+Bt}{Cx+Dt}, \label{15.5.7} \]

і, шляхом інверсії,

\[ \frac{x}{t}=\frac{Dx'-Ct'}{Ax'-Ct'}. \label{15.5.8} \]

Розглянемо рух\( O'\) відносно\( \sum\) і до\( \sum'\). У нас є\( \frac{x}{t}=\nu\) і\( x'=0\).

\[ \nu=-\frac{B}{A}. \label{15.5.9} \]

Розглянемо рух\( O\) відносно\( \sum'\) і до\( \sum\). У нас є\( \frac{x'}{t'}=-\nu\) і\( x=0\).

\[ -\nu=\frac{B}{D} \label{15.5.10} \]

З них ми знаходимо, що\( D=A\) і\( B=-A\nu\), таким чином, ми приходимо до

\[ x'=A(x-\nu t) \label{15.5.11} \]

\[ t'=Cx+At. \label{15.5.12} \]

Про заміщення рівнянь\( \ref{15.5.11}\) і\( \ref{15.5.12}\) в\( \ref{15.5.4}\) рівняння отримано

\[ A^{2}(x-\nu t)^{2}-c^{2}(Cx+At)^{2}=x^{2}-c^{2}t^{2}. \label{15.5.13} \]

Прирівняти повноваження\( t^{2}\) до отримання

\[ A=\frac{1}{\sqrt{\frac{1-\nu^{2}}{c^{2}}}}=\gamma. \label{15.5.14} \]

Прирівняти повноваження\( xt\) до отримання

\[C=-\frac{\nu\gamma}{c}. \label{15.5.15} \]

Прирівнювання повноважень не\( x^{2}\) дає ніякої нової інформації.

Тепер ми визначили\( A,B,C\) і\( D\), і ми можемо замінити їх у рівняння\( \ref{15.5.5}\) і\( \ref{15.5.6}\), отже, ми приходимо до

\[ x'=\gamma(x-\nu t) \label{15.5.16} \]

\[ t'=\gamma\left(\frac{t-\nu x}{c^{2}}\right). \label{15.5.17} \]

Вони разом з\( y=y'\) і\( z=z'\) складають перетворення Лоренца, які шляхом відповідного вибору осей гарантують незмінність швидкості світла у всіх еталонних кадрах, що рухаються з постійними швидкостями відносно один одного.

Щоб висловити\( x\) і з\( t\) точки зору\( x'\) і\( t'\), ви можете, якщо ви добре володієте алгеброю, вирішуєте рівняння\( \ref{15.5.16}\) і\( \ref{15.5.17}\) одночасно для\( x'\) і\( t'\), або, якщо замість цього, у вас є гарне фізичне розуміння, ви просто скасуєте знак\( \nu\) і міняйте загрунтоване і незагрунтоване кількості. У будь-якому випадку, ви повинні отримати

\[ x=\gamma(x'+\nu t') \label{15.5.18} \]

\[ t=\gamma\left(\frac{t'+\nu x'}{c^{2}}\right) \label{15.5.19} \]