15.5: Перетворення Лоренца

Для решти цієї глави я приймаю, як фундаментальний постулат, що

Неможливо визначити швидкість руху рівномірно рухомого опорного кадру будь-якими способами, будь то механічним або електричним, або взагалі будь-яким експериментом, виконаним повністю або частково в межах цього кадру, або навіть за допомогою посилання на інший кадр.

і, отже, я вважаю, що мій спідометр не буде працювати. Якщо будь-яким електричним експериментом неможливо визначити нашу швидкість, ми повинні припустити, що всі відомі нам електромагнітні рівняння, не тільки ті, які ми цитували, але й справді рівняння Максвелла, які охоплюють всі електромагнітні явища, однакові у всіх рівномірно рухомих опорних кадрах.

Одне з багатьох прогнозів рівнянь Максвелла полягає в тому, що електромагнітне випромінювання (яке включає світло) рухається зі швидкістю

$$c=\frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\epsilon_{0}}} \label{15.5.1}$$

Імовірно, ні проникність, ні діелектрична проникність простору не змінюються лише тому, що ми віримо, що ми подорожуємо через космос - справді, це буде кинути виклик здоровому глузду припустити, що вони будуть. Отже, наше прийняття фундаментального принципу особливої відносності еквівалентно прийняттю як фундаментального постулату, що швидкість світла у вакуумі однакова для всіх спостерігачів у рівномірному відносному русі. Все інше, крім цього, ми будемо вважати обуренням проти здорового глузду, хоча прийняття принципу вимагатиме ретельного вивчення наших ідей щодо відносин між часом і простором.

Уявімо собі дві системи відліку,$\sum$ і$\sum'$. $\sum'$рухається вправо (позитивне$x$ -напрямок) зі швидкістю$\nu$ відносно$\sum$. (Для стислості я час від часу буду називати S як «нерухомий» кадр, в надії, що ця свобода не призведе до непорозуміння.) У$t=t'=0$ той час два кадри збігаються, і в цей момент хтось б'є сірник на загальне походження двох кадрів. Пізніше, який я називатиму,$t$ якщо посилається на кадр$\sum$, і$t'$ якщо згадується$\sum'$, світло від сірника утворює сферичний хвильовий фронт, що рухається радіально назовні зі швидкістю$c$ від початку$\sum$, і рівняння цьому$O$ хвильовий фронт, якщо згадувати про кадр$\sum$, є

$$x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}=0. \label{15.5.2}$$

Згаданий$\sum'$, він також рухається назовні зі швидкістю$c$ від початку$S'$, і рівняння до цього$O'$ хвильового фронту, коли згадується кадр$\sum'$, є

$$x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}-c^{2}t'^{2}=0. \label{15.5.3}$$

Більшість читачів приймуть, думаю, що$y=y'$ і$z=z'$. Деяка формальна алгебра може знадобитися для суворого доказу, але це відволікає від нашої головної мети знаходження перетворення між заґрунтованими та негрунтованими координатами таким чином, що

$$x'^{2}-c^{2}t'^{2}=x^{2}-c^{2}t^{2}. \label{15.5.4}$$

Легко показати, що «Галілейське» перетворення$x'=x-ct$,$t'=t$ не задовольняє цій рівності, тому нам доведеться постаратися сильніше.

Шукатимемо лінійні перетворення форми

$$x'=Ax+Bt, \label{15.5.5}$$

$$t'=Cx+Dt, \label{15.5.6}$$

які задовольняють рівняння$\ref{15.5.4}$.

У нас є

$$\frac{x'}{t'}=\frac{Ax+Bt}{Cx+Dt}, \label{15.5.7}$$

і, шляхом інверсії,

$$\frac{x}{t}=\frac{Dx'-Ct'}{Ax'-Ct'}. \label{15.5.8}$$

Розглянемо рух$O'$ відносно$\sum$ і до$\sum'$. У нас є$\frac{x}{t}=\nu$ і$x'=0$.

$$\nu=-\frac{B}{A}. \label{15.5.9}$$

Розглянемо рух$O$ відносно$\sum'$ і до$\sum$. У нас є$\frac{x'}{t'}=-\nu$ і$x=0$.

$$-\nu=\frac{B}{D} \label{15.5.10}$$

З них ми знаходимо, що$D=A$ і$B=-A\nu$, таким чином, ми приходимо до

$$x'=A(x-\nu t) \label{15.5.11}$$

і

$$t'=Cx+At. \label{15.5.12}$$

Про заміщення рівнянь$\ref{15.5.11}$ і$\ref{15.5.12}$ в$\ref{15.5.4}$ рівняння отримано

$$A^{2}(x-\nu t)^{2}-c^{2}(Cx+At)^{2}=x^{2}-c^{2}t^{2}. \label{15.5.13}$$

Прирівняти повноваження$t^{2}$ до отримання

$$A=\frac{1}{\sqrt{\frac{1-\nu^{2}}{c^{2}}}}=\gamma. \label{15.5.14}$$

Прирівняти повноваження$xt$ до отримання

$$C=-\frac{\nu\gamma}{c}. \label{15.5.15}$$

Прирівнювання повноважень не$x^{2}$ дає ніякої нової інформації.

Тепер ми визначили$A,B,C$ і$D$, і ми можемо замінити їх у рівняння$\ref{15.5.5}$ і$\ref{15.5.6}$, отже, ми приходимо до

$$x'=\gamma(x-\nu t) \label{15.5.16}$$

і

$$t'=\gamma\left(\frac{t-\nu x}{c^{2}}\right). \label{15.5.17}$$

Вони разом з$y=y'$ і$z=z'$ складають перетворення Лоренца, які шляхом відповідного вибору осей гарантують незмінність швидкості світла у всіх еталонних кадрах, що рухаються з постійними швидкостями відносно один одного.

Щоб висловити$x$ і з$t$ точки зору$x'$ і$t'$, ви можете, якщо ви добре володієте алгеброю, вирішуєте рівняння$\ref{15.5.16}$ і$\ref{15.5.17}$ одночасно для$x'$ і$t'$, або, якщо замість цього, у вас є гарне фізичне розуміння, ви просто скасуєте знак$\nu$ і міняйте загрунтоване і незагрунтоване кількості. У будь-якому випадку, ви повинні отримати

$$x=\gamma(x'+\nu t') \label{15.5.18}$$

і

$$t=\gamma\left(\frac{t'+\nu x'}{c^{2}}\right) \label{15.5.19}$$