25.7: Опрацьовані приклади

Приклад 25.1 Еліптична орбіта

Супутник маси$m_{s}$ знаходиться на еліптичній орбіті навколо планети маси$m_{p}>>m_{s}$. Планета розташована в одному фокусі еліпса. Супутник знаходиться на відстані,$r_{a}$ коли він знаходиться найдалі від планети. Відстань найближчого підходу -$r_{p}$ (рис. 25.11). Що таке (i) швидкість$v_{p}$ супутника, коли він знаходиться найближче до планети і (ii) швидкість$v_{a}$ супутника, коли він знаходиться найдалі від планети?

Малюнок 25.11 Приклад 25.1

Рішення: Кутовий імпульс щодо походження постійний і тому$\overrightarrow{\mathbf{r}}_{O, a} \perp \overrightarrow{\mathbf{v}}_{p}$, що$\overrightarrow{\mathbf{r}}_{O, a} \perp \overrightarrow{\mathbf{v}}_{a}$ і, величина кутових моментів задовольняє

$$L \equiv L_{O, p}=L_{O_{a}} \nonumber$$

Тому$m_{s}<<m_{p}$ що зменшена маса$\mu \cong m_{s}$ і тому умова моменту моменту стає

$$L=m_{s} r_{p} v_{p}=m r_{s} r v_{a} \nonumber$$

Ми можемо вирішити for з$v_{p}$ точки зору констант$G, m_{p}, r_{a} \text { and } r_{p}$ наступним чином. Виберіть нуль для гравітаційної потенційної енергії,$U(r=\infty)=0$. Коли супутник знаходиться на максимальній відстані від планети, механічна енергія

$$E_{a}=K_{a}+U_{a}=\frac{1}{2} m_{s} v_{a}^{2}-\frac{G m_{s} m_{p}}{r_{a}} \nonumber$$

Коли супутник знаходиться на найближчому наближенні, енергія

$$E_{p}=\frac{1}{2} m_{s} v_{p}^{2}-\frac{G m_{s} m_{p}}{r_{p}} \nonumber$$

Коли супутник знаходиться на найближчому наближенні, енергія

$$E_{p}=\frac{1}{2} m_{s} v_{p}^{2}-\frac{G m_{s} m_{p}}{r_{p}} \nonumber$$

Механічна енергія постійна,

$$E \equiv E_{a}=E_{p} \nonumber$$

тому

$$E=\frac{1}{2} m_{s} v_{p}^{2}-\frac{G m_{s} m_{p}}{r_{p}}=\frac{1}{2} m_{s} v_{a}^{2}-\frac{G m_{s} m_{p}}{r_{a}} \nonumber$$

З рівняння (25.6.2) ми знаємо, що

$$v_{a}=\left(r_{p} / r_{a}\right) v_{p} \nonumber$$

Замініть рівняння (25.6.7) на рівняння (25.6.6) і розділіть через$m_{s} / 2$ доходи

$$v_{p}^{2}-\frac{2 G m_{p}}{r_{p}}=\frac{r_{p}^{2}}{r_{a}^{2}} v_{p}^{2}-\frac{2 G m_{p}}{r_{a}} \nonumber$$

Ми можемо вирішити це рівняння (25.6.8) для$v_{p}$

\ [\ почати {масив} {l}
v_ {p} ^ {2}\ ліворуч (1-\ frac {r_ {p} ^ {p}}} {r_ {a} ^ {2}}\ праворуч) =2 G m_ {p}\ ліворуч (\ frac {1} {r_ {p}}} -\ frac {1} {r_ {p}} {r_ {p}} Стрілка вправо\\
v_ {p} ^ {2}\ ліворуч (\ frac {r_ {a} ^ {2} -r_ {p} ^ {2}}} {r_ {a}}}\ праворуч) =2 Г м_ {p}\ ліворуч (\ frac {r_ {a} -r_ {p}}} {r_ {p}}\ праворуч)\ Стрілка вправо\\
v_ {p} ^ {2}\ ліворуч (\ frac {\ ліворуч (r_ {a} -r_ {p}\ праворуч)\ ліворуч (r_ {a} +r_ {p}\ праворуч)} {r_ {a} ^ {2}}\ праворуч) =2 G m_ {p}\ ліворуч (\ frac {r_ {a} -r_ {p} {p} {r_} {p} _ {p} r_ {a}}\ праворуч)\ Стрілка вправо\\
v_ {p} =\ sqrt {\ frac {2 G m_ {p} r_ {a}} {\ ліворуч (r_ {a} +r_ {p}\ праворуч) r_ {p}}}
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Тепер ми використовуємо рівняння (25.6.7), щоб визначити, що

$$v_{a}=\left(r_{p} / r_{a}\right) v_{p}=\sqrt{\frac{2 G m_{p} r_{p}}{\left(r_{a}+r_{p}\right) r_{a}}} \nonumber$$

Приклад 25.2 Рух зірки SO-2 навколо Чорної діри в Галактичному Центрі

Група галактичного центру UCLA, очолювана доктором Андреа Гез, виміряла орбіти багатьох зірок в межах 0.8′′ × 0.8′′ галактичного центру. Орбіти шести з цих зірок показані на малюнку 25.12.

Малюнок 25.12 Обіти шести зірок біля чорної діри в центрі галактики Чумацький Шлях.

Орієнтуємося на орбіту зірки S0-2 з наступними властивостями орбіти, наведеними в таблиці 25.13. Відстані наведені в астрономічних одиницях$1 \mathrm{au}=1.50 \times 10^{11} \mathrm{m}$, що представляє собою середню відстань між землею і сонцем.

Таблиця 25.1 Орбітальні властивості S0-2

\ [\ почати {масив} {|l|l|l|l|l|l|}
\ hline\ текст {зірка} &\ почати {масив} {l}
\ текст {Період}\
\ текст {(yrs)}
\ кінець {масив} &\ текст {ексцентриситет} &\ почати {масив} {l}
\ текст {напів-основний}\
\ текст {вісь}\
\ ліворуч (10^ {-3}\ текст {arcsec}
\ праворуч)\ кінець {масив} &\ почати {масив} {l}
\ текст {periapse}
\\ текст {(au)}
\ end {масив} &\ begin {масив}
{l}\ text {
\\ текст {(au)}
\ кінець { масив}\
\ hline\ текст {S0-2} &\ почати {масив} {l}
15.2\\
(0.68/0.76)
\ кінець {масив} &\ почати {масив} {l}
0.8763\\
(0.0063)
\ кінець {масив} & 120,7 (4.5) & 119.5 (3.9) & 1812 (73)\\
\ hline
\ end {масив}\ nonnumber\]

Період S0-2 задовольняє Третьому закону Кеплера, наданому

$$T^{2}=\frac{4 \pi^{2} a^{3}}{G\left(m_{1}+m_{2}\right)} \nonumber$$

де$m_{1}$ - маса S0-2,$m_{2}$ - маса чорної діри, а - напіввелика вісь еліптичної орбіти S0-2. (а) Визначте масу чорної діри, яку орбітає зірка S0- 2. Яке відношення маси чорної діри до сонячної маси? (б) Яка швидкість S0-2 на периапсе (відстань найближчого наближення до центру галактики) і апоапсида (відстань найдальшого наближення до центру галактики)?

Рішення: (а) Напіввелика вісь задається

$$a=\frac{r_{p}+r_{a}}{2}=\frac{119.5 \mathrm{au}+1812 \mathrm{au}}{2}=965.8 \mathrm{au} \nonumber$$

В одиницях СІ (метрах) це

$$a=965.8 \mathrm{au} \frac{1.50 \times 10^{11} \mathrm{m}}{1 \mathrm{au}}=1.45 \times 10^{14} \mathrm{m} \nonumber$$

$m_{1}$Маса зірки S0-2 набагато менше маси чорної діри, а$m_{2}$ Рівняння (25.6.11) можна спростити до

$$T^{2}=\frac{4 \pi^{2} a^{3}}{G m_{2}} \nonumber$$

Рішення для маси$m_{2}$ і вставлення числових значень, виходів

\ [\ почати {вирівняний}
m_ {2} &=\ frac {4\ pi^ {2} a^ {3}} {G T^ {2}}\\
&=\ frac {\ ліворуч (4\ pi^ {2}\ праворуч)\ ліворуч (1,45\ раз 10^ {14}\ mathrm {m}\ праворуч) ^ {3}} {ліворуч (1.45\ раз 10^ {14}\ mathrm {m}\ праворуч) ^ {3}} раз 10^ {-11}\ математика {N}\ cdot\ mathrm {m} ^ {2}\ cdot\ mathrm {кг} ^ {-2}\ праворуч)\ лівий (15.2\ mathrm {yr})\ лівий (3,16\ раз 10^ {7} \ mathrm {s}\ cdot\ mathrm {yr} ^ {-1}\ праворуч)\ праворуч) ^ {2}}\
&= 7.79\ раз 10^ {34}\ mathrm {кг}
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]

Ставлення маси чорної діри до сонячної маси дорівнює

$$\frac{m_{2}}{m_{\operatorname{sun}}}=\frac{7.79 \times 10^{34} \mathrm{kg}}{1.99 \times 10^{30} \mathrm{kg}}=3.91 \times 10^{6} \nonumber$$

Маса чорної діри відповідає майже чотирьом мільйонам сонячних мас.

(b) Ми можемо використовувати наші результати з Прикладу 25.1, що

$$v_{p}=\sqrt{\frac{2 G m_{2} r_{a}}{\left(r_{a}+r_{p}\right) r_{p}}}=\sqrt{\frac{G m_{2} r_{a}}{a r_{p}}} \nonumber$$

$$v_{a}=\frac{r_{p}}{r_{a}} v_{p}=\sqrt{\frac{2 G m_{2} r_{p}}{\left(r_{a}+r_{p}\right) r_{a}}}=\sqrt{\frac{G m_{2} r_{p}}{a r_{a}}} \nonumber$$

де$a=\left(r_{a}+r_{b}\right) / 2$ - напіввелика вісь. Вставка числових значень,

\ [\ почати {вирівняний}
v_ {p} &=\ sqrt {\ frac {G m_ {2}} {a}\ frac {r_ {a}} {r_ {p}}}\\
&=\ sqrt {\ frac {\ ліворуч (6.67\ раз 10^ {-11}\ mathrm {N}\ cdot\ mathrm {m} ^ 2}\ cdot\ mathrm {кг} ^ {-2}\ праворуч)\ ліворуч (7.79\ раз 10^ {34}\ mathrm {кг}\ праворуч)} {\ ліворуч (1.45\ раз 10^ {14}\ mathrm {m}\ праворуч)}\ ліворуч (\ frac {1812} {119.5}\ праворуч)}\\
&=7.38\ раз 10^ {6}\ mathrm {m}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-1}
\ кінець {вирівняний}\ номер\]

Швидкість$v_{\mathrm{a}}$ при апоапсиді тоді

$$v_{a}=\frac{r_{p}}{r_{\mathrm{a}}} v_{p}=\left(\frac{1812}{119.5}\right)\left(7.38 \times 10^{6} \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}\right)=4.87 \times 10^{5} \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1} \nonumber$$

Приклад 25.3 Центральна сила, пропорційна відстані в кубі

Частка маси m рухається в площині навколо центральної точки під привабливою центральною силою величини$F=b r^{3}$. Величина моменту моменту навколо центральної точки дорівнює L. (а) Знайдіть ефективну потенційну енергію та зробіть ескіз ефективної потенційної енергії як функції r. (б) Вкажіть на ескізі ефективного потенціалу загальну енергію для кругового руху. (c) Радіус орбіти частинки коливається між$r_{0}$ і$2r_{0}$. Знайти$r_{0}$.

Рішення: а) Потенційна енергія, приймаючи нуль потенційної енергії, щоб бути при r = 0, дорівнює

$$U(r)=-\int_{0}^{r}\left(-b r^{\prime 3}\right) d r^{\prime}=\frac{b}{4} r^{4} \nonumber$$

Ефективна потенційна енергія

$$U_{\mathrm{eff}}(r)=\frac{L^{2}}{2 m r^{2}}+U(r)=\frac{L^{2}}{2 m r^{2}}+\frac{b}{4} r^{4} \nonumber$$

Графік показаний на малюнку 25.13а, включаючи потенціал (жовта, крайня права крива), термін$L^{2} / 2 m$ (зелена, крайня ліва крива) та ефективний потенціал (синій, центральна крива). Горизонтальна шкала знаходиться в одиницях$r_{0}$ (що відповідає радіусу найнижчої енергії кругової орбіти), а вертикальна шкала - в одиницях мінімального ефективного потенціалу.

б) Мінімальна ефективна потенційна енергія - горизонтальна лінія (червона) на малюнку 25.13а.

Малюнок 25.13 (а) Ефективна потенційна енергія з найнижчим енергетичним станом (червона лінія), (б) вищий енергетичний стан (пурпурова лінія)

в) Намагаємося визначити значення$r_{0}$ такого, що$U_{\mathrm{eff}}\left(r_{0}\right)=U_{\mathrm{eff}}\left(2 r_{0}\right)$. Таким чином

$$\frac{L^{2}}{m r_{0}^{2}}+\frac{b}{4} r_{0}^{4}=\frac{L^{2}}{m\left(2 r_{0}\right)^{2}}+\frac{b}{4}\left(2 r_{0}\right)^{4} \nonumber$$

Переставляючи і комбінуючи терміни, ми можемо потім вирішити для$r_{0}$,

\ [\ почати {масив} {c}
\ гідророзриву {3} {8}\ розрив {L^ {2}} {м}\ гідророзриву {1} {r_ {0} ^ {2}} =\ гідророзриву {15} {4} b r_ {0} ^ {4}\
r_ {0} ^ {6} =\ frac {1} {10}\ frac L^ {2}} {m b}
\ кінець {масив}\ nonumber\]

На графіку на малюнку 25.13b, якби ми могли перемістити червону лінію вгору, поки вона не перетинає синю криву в двох точках, значення радіуса яких відрізняються на коефіцієнт 2, це були б відповідні значення для$r_{0}$ і$2r_{0}$. Графік, що показує відповідну енергію у вигляді горизонтальної пурпурової лінії, показаний на малюнку 25.13b.

Приклад 25.4 Передача орбіти

Космічний апарат знаходиться на круговій орбіті навколо Землі. Маса транспортного засобу є$m_{\mathrm{s}}=3.00 \times 10^{3} \mathrm{kg}$ і радіус орбіти дорівнює$2 R_{\mathrm{e}}=1.28 \times 10^{4} \mathrm{km}$. Бажано перевести транспортний засіб на кругову орбіту радіуса$4 R_{\mathrm{e}}$ (рис. 24.14). Маса землі є$M_{\mathrm{e}}=5.97 \times 10^{24} \mathrm{kg}$. (a) Які мінімальні витрати енергії необхідні для передачі? (b) Ефективним способом здійснення передачі є використання еліптичної орбіти від точки А на внутрішній круговій орбіті до точки B на зовнішній круговій орбіті (відома як орбіта передачі Гомана). Які зміни швидкості потрібні в точках перетину, А і В?

Малюнок 24.12 Приклад 25.5

Рішення: (а) Механічна енергія - це сума кінетичної та потенційної енергій,

\ [\ почати {вирівняний}
E &=K+U\\
&=\ розрив {1} {2} m_ {s} v^ {2} -G\ frac {m_ {s} M_ {e}} {R_ {e}}
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]

Для кругової орбіти орбітальна швидкість і радіус орбіти повинні бути пов'язані Другим законом Ньютона,

\ [\ почати {масив} {л}
F_ {r} =м a_ {r}\\
-G\ -гідророзриву {m_ {s} M_ {e}} {R_ {e} ^ {2}} =-м_ {s} {v^ {2}} {R_ {e}}\\ Frac {1} {2}} {R_ {e}}
\ Frac {1} {2} s} v^ {2} =\ гідророзриву {1} {2} G\ frac {m_ {s} M_ {e}} {R_ {e}}
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Підстановка останнього результату в (25.6.22) на Рівняння (25.6.21) дає

$$E=\frac{1}{2} G \frac{m_{s} M_{e}}{R_{e}}-G \frac{m_{s} M_{e}}{R_{e}}=-\frac{1}{2} G \frac{m_{s} M_{e}}{R_{e}}=\frac{1}{2} U\left(R_{e}\right) \nonumber$$

Рівняння (25.6.23) є одним із прикладів того, що відомо як Віріальна теорема, в якій енергія дорівнює (1/2) потенційній енергії для кругової орбіти. При русі від кругової орбіти радіуса$2 R_{\mathrm{e}}$ до кругової орбіти радіуса$4 R_{\mathrm{e}}$ загальна енергія збільшується, (так як енергія стає менш негативною). Зміна енергії - це

\ [\ почати {вирівняний}
\ Дельта Е = Е\ ліворуч (r=4 R_ {e}\ праворуч) -E\ ліворуч (r=2 R_ {e}\ праворуч)\\
&=-\ розриву {1} {2} G\ frac {m_ {s} M_ {e}} {4 R_ {e}} -\ лівий (-\ frac {1} {2}} G\ frac {m_ {s} M_ {e}} {2 R_ {e}}\ праворуч)\\
&=\ гідророзриву {G m_ {s} M_ {e}} {8 R_ {e}}
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]

Вставка числових значень,

\ [\ почати {вирівняний}
\ Дельта Е =\ гідророзриву {1} {8} Г\ гідророзриву {m_ {s} M_ {e}} {R_ {e}} =\ гідророзриву {1} {4} G\ frac {m_ {s} M_ {e}} {2 R_ {e}}}\
&=\ frac {1} {4}\ ліворуч (6.67\ раз 10^ {-11}\ mathrm {m} ^ {3}\ cdot\ mathrm {кг} ^ {-1}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-2}\ праворуч)\ frac {\ ліворуч (3,00\ раз 10^ {3}\ mathrm {кг}\ праворуч)\ лівий ( 5.97\ раз 10^ {24}\ mathrm {кг}\ праворуч)} {\ ліворуч (1,28\ раз 10^ {4}\ mathrm {км}\ праворуч)}\\
&= 2.3\ раз 10^ {10}\ mathrm {J}
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]

б) Супутник повинен збільшити свою швидкість в точці А, щоб перейти на більший радіус орбіти і знову збільшити свою швидкість в точці B, щоб залишитися на новій круговій орбіті. Позначте швидкість супутника в точці А в той час як на круговій орбіті, як$v_{A, i}$ і після збільшення швидкості («спалювання ракети») як$v_{A, f}$ Аналогічно, позначають швидкість супутника, коли він вперше досягає точки B як$v_{B, i}$ Після того, як супутник досягає точки B, йому потрібно збільшити його швидкість, щоб продовжують по круговій орбіті. Позначимо швидкість супутника на круговій орбіті в точці В по$\mathcal{v}_{B, f}$. Швидкості$v_{A, i}$ і$v_{B, f}$ задаються рівнянням (25.6.22). У той час як супутник рухається з точки А в точку В по еліптичній орбіті (тобто під час перенесення, після першого горіння і перед другим) зберігається як механічна енергія, так і кутовий імпульс. Збереження енергії пов'язує швидкості і радіуси по

$$\frac{1}{2} m_{s}\left(v_{A, f}\right)^{2}-G \frac{m_{s} m_{e}}{2 R_{e}}=\frac{1}{2} m_{s}\left(v_{B, t}\right)^{2}-G \frac{m_{s} m_{e}}{4 R_{e}} \nonumber$$

Збереження кутового моменту пов'язує швидкості і радіуси по

$$m_{s} v_{A, f}\left(2 R_{e}\right)=m_{s} v_{B, i}\left(4 R_{e}\right) \Rightarrow v_{A, f}=2 v_{B, i} \nonumber$$

Заміна рівняння (25.6.27) на рівняння (25.6.26) дає, після другорядної алгебри,

$$v_{A, f}=\sqrt{\frac{2 G M_{e}}{3}}, \quad v_{B, i}=\sqrt{\frac{1}{6} \frac{G M_{e}}{R_{e}}} \nonumber$$

Тепер ми можемо використовувати рівняння (25.6.22), щоб визначити, що

$$v_{A, i}=\sqrt{\frac{1}{2} \frac{G M_{e}}{R_{e}}}, \quad v_{B, f}=\sqrt{\frac{1}{4} \frac{G M_{e}}{R_{e}}} \nonumber$$

Таким чином, зміна швидкостей у відповідних точках задається

\ [\ почати {масив} {l}
\ Дельта v_ {A} =v_ {A, f} -v_ {A, i} =(\ sqrt {\ frac {2} {3}} -\ sqrt {\ frac {1} {2}})\ sqrt {\ frac {G M_ {e}}} {R_ {e}}}\
\ Дельта v_ {B} =v_ {B, f} -v_ {B, i} =(\ sqrt {\ frac {1} {4}} -\ sqrt {\ frac {1} {6}})\ sqrt {\ frac {G M_ {e}} {R_ {e}}}
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Підстановка числових значень дає

$$\Delta v_{A}=8.6 \times 10^{2} \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2}, \quad \Delta v_{B}=7.2 \times 10^{2} \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2} \nonumber$$