8.3: Сили обмеження

Знання всіх зовнішніх і внутрішніх сил, що діють на кожен з об'єктів в системі і застосовуючи Другий закон Ньютона до кожного з об'єктів, визначають сукупність рівнянь руху. Ці рівняння руху не обов'язково є незалежними через те, що рух об'єктів може бути обмежений рівняннями обмеженості. Крім того, існують сили обмеження, які визначаються їх впливом на рух об'єктів і не відомі заздалегідь або описуються якимось силовим законом. Наприклад: об'єкт, що ковзає вниз по похилій площині, обмежений рухатися уздовж поверхні похилої площини (рис. 8.6а), а поверхня чинить контактну силу на об'єкт; об'єкт, який ковзає по поверхні сфери, поки вона не відпаде, відчуває контактну силу, поки не втратить контакт з поверхня (рис. 8.6b); частинки газу в герметичній посудині обмежені залишатися всередині посудини, і тому стінка повинна чинити силу на молекули газу, щоб утримувати їх всередині посудини (8.6c); і кулька, обмежена ковзати назовні вздовж обертового стрижня, діє на залежні від часу сили стрижня на намистина (рис. 8.6д). Розробимо методи визначення цих стримуючих сил, хоча є багато прикладів, в яких сили стримування не можуть бути визначені.

Малюнок 8.6 Обмежені рухи: (а) частинка, що ковзає вниз похилою площиною, (b) частинки ковзають вниз по поверхні сфери, (c) молекули газу в герметичній посудині, і (d) кулька ковзає на обертовому стрижні

Контактні сили

Штовхання, підйом і потягування - це контактні сили, які ми відчуваємо в повсякденному світі. Упріться рукою на стіл; атоми, що утворюють молекули, що складають стіл, і ваша рука контактують один з одним. Якщо натиснути сильніше, атоми також притискаються ближче один до одного. Електрони в атомах починають відштовхуватися один від одного і ваша рука штовхається в протилежному напрямку столом.

Відповідно до Третього Закону Ньютона, сила вашої руки на столі дорівнює за величиною і протилежна в напрямку до сили столу на вашій руці. Зрозуміло, що якщо натиснути сильніше, сила збільшується. Спробуйте! Якщо натиснути рукою прямо вниз на стіл, стіл відштовхується назад в напрямку, перпендикулярному (нормальному) поверхні. Рукою акуратно посуньте вперед по поверхні столу. Ви ледве відчуваєте, як стіл штовхається вгору, але ви відчуваєте тертя, що діє як резистивна сила до руху вашої руки. Ця сила діє дотично до поверхні і протилежно руху вашої руки. Натискаємо вниз і вперед. Спробуйте оцінити величину сили, що діє на вашу руку.

Сила столу, що діє на вашу руку,\(\overrightarrow{\mathbf{F}}^{C} \equiv \overrightarrow{\mathbf{C}}\) називається контактною силою. Ця сила має як нормальну складову до поверхні\(\overrightarrow{\mathbf{C}}_{\perp} \equiv \overrightarrow{\mathbf{N}}\), звану нормальною силою, так і тангенціальну складову до поверхні,\(\overrightarrow{\mathbf{C}}_{\|} \equiv \overrightarrow{\mathbf{f}}\) звану силою тертя (рис. 8.6).

Малюнок 8.6 Нормальна і тангенціальна складові сили контакту

Контактна сила, написана з точки зору його складових сил, тому

\[\overrightarrow{\mathbf{C}}=\overrightarrow{\mathbf{C}}_{\perp}+\overrightarrow{\mathbf{C}}_{\|} \equiv \overrightarrow{\mathbf{N}}+\overrightarrow{\mathbf{f}} \nonumber \]

Будь-яка сила може бути розкладена на складові вектори, тому нормальна складова\(\overrightarrow{\mathbf{N}}\), і тангенціальна складова, не\(\overrightarrow{\mathbf{f}}\) є незалежними силами, а векторними компонентами контактної сили, перпендикулярної та паралельної поверхні контакту. Контактна сила - це розподілена сила, що діє на всі точки дотику між рукою і поверхнею.

Для більшості застосувань ми будемо розглядати контактну силу як діючу в одній точці, але слід дотримуватися обережності, коли розподілений характер контактної сили відіграє ключову роль у стримуванні руху твердого тіла.

На малюнку 8.7 показані сили, що діють на вашу руку. Ці сили включають контактну силу столу,\(\overrightarrow{\mathbf{C}}\) що діє на вашу руку, силу передпліччя, що\(\overrightarrow{\mathbf{F}}_{\text {forearm }}\) діє на вашу руку (яка намальована під кутом, що вказує на те, що ви штовхаєте вниз як на руку, так і вперед), і гравітаційна взаємодія\(\overrightarrow{\mathbf{F}}^{g}\) між землею і твоя рука.

Малюнок 8.7 Сили на русі при русі вліво

Один момент, який слід пам'ятати, полягає в тому, що величини двох компонентів контактної сили залежать від того, наскільки сильно ви натискаєте або тягнете руку і в якому напрямку, характеристика сил обмеження, в якій компоненти не визначені законом сили, але залежать від конкретного руху руки.

Приклад 8.2 Нормальна складова контактної сили та ваги

Тримайте в руці блок таким чином, щоб ваша рука перебувала в стані спокою (рис. 8.8). Ви можете відчути «вагу» блоку на долоні. Але що саме ми маємо на увазі під «вагою»?

Малюнок 8.9 Сили на блок

На блок діють дві сили, як показано на малюнку 8.9. Одна сила є гравітаційною силою між землею і блоком, і позначається\(\overrightarrow{\mathbf{F}}^{g}=m \overrightarrow{\mathbf{g}}\). Інша сила, що діє на блок, - це сила контакту між вашою рукою і блоком. Оскільки наша рука знаходиться в стані спокою, ця сила контакту на блоці точок перпендикулярно поверхні, а значить має тільки нормальну складову,\(\overrightarrow{\mathbf{N}}\) Нехай N позначає величину нормальної сили. Оскільки об'єкт знаходиться в стані спокою у вашій руці, вертикальне прискорення дорівнює нулю. Тому Другий закон Ньютона стверджує, що

\[\overrightarrow{\mathbf{N}}+\overrightarrow{\mathbf{F}}^{g}=\overrightarrow{\mathbf{0}} \nonumber \]

Виберіть позитивний напрямок, щоб бути вгору, а потім з точки зору вертикальних компонентів, ми маємо це

\[N-m g=0 \nonumber \]

які можуть бути вирішені для величини нормальної сили

\[N=m g \nonumber \]

Коли ми говоримо про «вагу» блоку, ми часто маємо на увазі ефект, який блок має на шкалі або на відчуття, яке ми маємо, коли тримаємо блок. Ці ефекти насправді є наслідками нормальної сили. Ми говоримо, що блок «відчуває себе легше», якщо є додаткове зусилля, що утримує блок вгору. Наприклад, ви можете уперти блок в руку, але використовуйте іншу руку, щоб застосувати силу вгору на блок, щоб він відчував себе легше в опорній руці.

Слово «вага» часто використовується для опису гравітаційної сили, яку Земля чинить на об'єкт. Ми завжди будемо називати цю силу як гравітаційну силу замість «ваги». Коли ви стрибаєте в повітрі, ви відчуваєте себе «невагомим», тому що немає нормальної сили, що діє на вас, хоча Земля все ще чинить на вас гравітаційну силу; очевидно, коли ви стрибаєте, ви не вимикаєте гравітацію!

Цей приклад також може призвести до помилкового уявлення про те, що нормальна сила завжди дорівнює масі об'єкта, що разів перевищує величину гравітаційного прискорення на поверхні землі. Нормальна сила і сила тяжіння - дві абсолютно різні сили. У цьому конкретному прикладі нормальна сила дорівнює за величиною гравітаційної сили і спрямована в зворотному напрямку, оскільки об'єкт знаходиться в стані спокою. Нормальна сила і сила тяжіння не утворюють пари сил третього закону взаємодії. У цьому прикладі наша система - це всього лише блок, а нормальна сила і сила тяжіння - це зовнішні сили, що діють на блок.

Давайте переосмислимо нашу систему як блок, вашу руку та Землю. Тоді нормальна сила і сила тяжіння тепер є внутрішніми силами в системі, і тепер ми можемо ідентифікувати різні пари взаємодії сил. Ми явно вводимо наші позначення пари взаємодії, щоб ми могли ідентифікувати ці пари взаємодії: наприклад, давайте\(\overrightarrow{\mathbf{F}}_{E, B}^{g}\) позначимо гравітаційну силу на блоці через взаємодію з Землею. Гравітаційна сила на Землі внаслідок взаємодії з блоком позначається\(\overrightarrow{\mathbf{F}}_{B, E}^{g}\) і ці дві сили утворюють пару взаємодії. Третім законом Ньютона,\(\overrightarrow{\mathbf{F}}_{E, B}^{g}=-\overrightarrow{\mathbf{F}}_{B, E}^{g}\). Відзначимо, що ці дві сили діють на різні об'єкти, блок і Землю. Зусилля контакту на блоці внаслідок взаємодії руки і блоку потім позначається знаком\(\overrightarrow{\mathbf{N}}_{H, B}\). Сила блоку на руці, яку ми позначимо\(\overrightarrow{\mathbf{N}}_{B, H}\), задовольняє\(\overrightarrow{\mathbf{N}}_{B, H}=-\overrightarrow{\mathbf{N}}_{H, B}\). Оскільки ми включаємо вашу руку як частину системи, на руку діють дві додаткові сили. Є гравітаційна сила на вашій руці\(\overrightarrow{\mathbf{F}}_{E, H}^{g}\),\(\overrightarrow{\mathbf{F}}_{H, E}^{g}\) задовольняє\(\overrightarrow{\mathbf{F}}_{E, H}^{g}=-\overrightarrow{\mathbf{F}}_{H, E}^{g}\), де гравітаційна сила на Землі завдяки вашій руці. Нарешті, є сила вашого передпліччя, що тримає руку вгору, яку ми позначаємо\(\overrightarrow{\mathbf{F}}_{F, H}\). Оскільки ми не включаємо передпліччя в нашу систему, ця сила є зовнішньою силою для системи. Сили, що діють на вашій руці, показані на схемі на вашій руці, показана на малюнку 8.10, а саме взаємодія спарювання сил, що діють на Землі, показано на малюнку 8.11 (ми не представляємо всі інші зовнішні сили, що діють на Землі).

Малюнок 8.11 Гравітаційні сили на землі за рахунок предмета та руки

Кінетичне і статичне тертя

При витягуванні блоку по горизонтальній поверхні або ковзанні вниз по похилій площині виникає бічна сила, що чинить опір руху. Якщо блок знаходиться в стані спокою на похилій площині, все одно залишається бічна сила, що чинить опір руху. Ця резистивна сила відома як сухе тертя, і існує два відмінних типи, коли поверхні контактують один з одним. Перший тип - це коли два об'єкти рухаються відносно один одного; тертя в цьому випадку називається кінетичним тертям або тертям ковзання. Коли дві поверхні не рухаються, але все ще існує бічна сила, як у прикладі блоку в спокої на похилій площині, сила називається статичним тертям.

Леонардо да Вінчі першим зафіксував результати вимірювань кінетичного тертя протягом двадцятирічного періоду між 1493—4 і приблизно 1515 роками. Виходячи з його вимірювань, сили кінетичного тертя,\(\overrightarrow{\mathbf{f}}^{k}\) між двома поверхнями, він виділив дві ключові властивості кінетичного тертя. Величина кінетичного тертя пропорційна нормальній силі між двома поверхнями,

\[f_{\mathrm{k}}=\mu_{\mathrm{k}} N \nonumber \]

де\(\mu_{\mathrm{k}}\) називається коефіцієнт кінетичного тертя. Другий результат досить дивний тим, що величина сили не залежить від контактної поверхні. Розглянемо два блоки однакової маси, але різної площі поверхні. Сила, необхідна для переміщення блоків з постійною швидкістю, однакова. Блок на малюнку 8.12а має вдвічі більшу площу контакту, як блок, показаний на малюнку 8.12b, але коли до будь-якого блоку прикладається однакова зовнішня сила, блоки рухаються з постійною швидкістю. Ці результати да Вінчі були знову відкриті Гійом Амонтоном і опубліковані в 1699 році. Третя властивість того, що кінетичне тертя не залежить від швидкості рухомих об'єктів (для звичайних швидкостей ковзання), відкрив Шарль Огюстен Кулон.

Малюнок 8.12 (a) і (b): кінетичне тертя не залежить від площі контакту

Кінетичне тертя об поверхню 2, що рухається щодо поверхні 1,\(\overrightarrow{\mathbf{f}}_{1,2}^{k}\) позначається тим, що напрямок сили завжди протилежне відносному напрямку руху поверхні 2 щодо поверхні 1. Коли одна поверхня знаходиться в стані спокою щодо нашого вибору опорної рамки, ми позначимо силу тертя на рухомому об'єкті шляхом\(\overrightarrow{\mathbf{f}}^{k}\).

Другий тип сухого тертя, статичне тертя виникає, коли дві поверхні статичні відносно один одного. Оскільки статична сила тертя між двома поверхнями утворює пару взаємодії третього закону, буде використовувати позначення\(\overrightarrow{\mathbf{f}}_{1,2}^{s}\) для позначення статичної сили тертя на поверхні 2 через взаємодію між поверхнями 1 і 2. Просуньте руку вперед вздовж поверхні; коли ви збільшуєте силу натискання, сила тертя відчуває себе сильнішою і сильнішою. Спробуйте це! Ваша рука спочатку буде липнути, поки ви не натиснете досить сильно, потім ваша рука ковзає вперед. Величина статичної сили тертя, залежить від того\(f_{\mathrm{s}}\), наскільки сильно ви натискаєте.

Якщо ви спираєтеся рукою на стіл, не натискаючи горизонтально, статичне тертя дорівнює нулю. Коли ви збільшуєте поштовх, статичне тертя збільшується, поки ви не натиснете досить сильно, щоб ваша рука ковзала і почала ковзати по поверхні. При цьому величина статичного тертя може варіюватися від нуля до деякого максимального значення,\(\left(f_{\mathrm{s}}\right)_{\max }\) коли штовхається об'єкт починає ковзати,

\[0 \leq f_{\mathrm{s}} \leq\left(f_{\mathrm{s}}\right)_{\max } \nonumber \]

Чи існує математична модель величини максимального значення статичного тертя між двома поверхнями? Експериментуючи, ми виявляємо, що ця величина, як кінетичне тертя, пропорційна величині нормальної сили

\[\left(f_{\mathrm{s}}\right)_{\max }=\mu_{\mathrm{s}} N \nonumber \]

Тут константа пропорційності дорівнює\(\mu_{\mathrm{s}}\), коефіцієнт статичного тертя. Ця константа трохи більше постійної,\(\mu_{\mathrm{k}}\) пов'язаної з кінетичним тертям,\(\mu_{\mathrm{s}}>\mu_{\mathrm{k}}\). Ця невелика різниця припадає на ковзання і ловлю крейди на дошці, нігті на склі або скрипковий смичок на струні.

Напрямок статичного тертя на об'єкт завжди протилежний напрямку прикладеної сили (до тих пір, поки дві поверхні не прискорюються). На малюнку 8.13а зовнішня сила,\(\overrightarrow{\mathbf{F}}\) прикладена вліво і статичне тертя,\(\overrightarrow{\mathbf{f}}^{s}\) показана спрямована вправо проти зовнішньої сили. На малюнку 8.13b зовнішня сила,\(\overrightarrow{\mathbf{F}}\) спрямована вправо, а статичне тертя\(\overrightarrow{\mathbf{f}}^{s}\), тепер вказує вліво.

Малюнок 8.13 (а) і (b): Зовнішні сили і напрямок статичного тертя.

Хоча закон сили для максимальної величини статичного тертя нагадує закон сили для тертя ковзання, є важливі відмінності:

1. Напрямок і величина статичного тертя про об'єкт завжди залежить від напрямку і величини прикладених сил, що діють на об'єкт, де фіксується величина кінетичного тертя для ковзного предмета.

2. Величина статичного тертя має максимально можливе значення. Якщо величина прикладеної сили по напрямку контактної поверхні перевищує величину максимального значення статичного тертя, то об'єкт почне ковзати (і піддаватися кінетичному тертю.) Ми називаємо це просто умова ковзання.