6.6: Некруговий центральний рух

Давайте тепер розглянемо центральний рух в площині, яка є некругової. На малюнку 6.10 ми показуємо спіральний рух рухомої частинки. У полярних координатах ключовим моментом є те, що похідна за часом dr/dt функції положення r більше не дорівнює нулю. Друга похідна\(d^{2} r / d t^{2}\) також може дорівнювати нулю, а може і не бути. У наступному розрахунку ми відкинемо всі явні посилання на часову залежність різних величин. Вектор положення все ще задається рівнянням (6.2.1), яке ми повторимо нижче

\[\overrightarrow{\mathbf{r}}=r \hat{\mathbf{r}} \nonumber \]

Тому що,\(d r / d t \neq 0\) коли ми диференціюємо рівняння (6.5.9), нам потрібно використовувати правило продукту

\[\overrightarrow{\mathbf{v}}=\frac{d \overrightarrow{\mathbf{r}}}{d t}=\frac{d r}{d t} \hat{\mathbf{r}}+r \frac{d \hat{\mathbf{r}}}{d t} \nonumber \]

Заміна рівняння (6.2.4) на рівняння (6.5.10)

\[\overrightarrow{\mathbf{v}}=\frac{d \overrightarrow{\mathbf{r}}}{d t}=\frac{d r}{d t} \hat{\mathbf{r}}+r \frac{d \theta}{d t} \hat{\boldsymbol{\theta}}=v_{r} \hat{\mathbf{r}}+v_{\theta} \hat{\boldsymbol{\theta}} \nonumber \]

Швидкість більше не тангенціальна, але тепер має радіальну складову.

\[v_{r}=\frac{d r}{d t} \nonumber \]

Для того, щоб визначити прискорення, ми тепер диференціюємо Equation (6.5.11), знову використовуючи правило продукту, яке зараз трохи більше задіяно:

\[\overrightarrow{\mathbf{a}}=\frac{d \overrightarrow{\mathbf{v}}}{d t}=\frac{d^{2} r}{d t^{2}} \hat{\mathbf{r}}+\frac{d r}{d t} \frac{d \hat{\mathbf{r}}}{d t}+\frac{d r}{d t} \frac{d \theta}{d t} \hat{\boldsymbol{\theta}}+r \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}} \hat{\boldsymbol{\theta}}+r \frac{d \theta}{d t} \frac{d \hat{\boldsymbol{\theta}}}{d t} \nonumber \]

Тепер підставляємо рівняння (6.2.4) і (6.2.7) для похідних часу одиничних векторів в Рівняння (6.5.13), а після збору доходів дає

\ [\ почати {масив} {l}
\ overrightarrow {\ mathbf {a}} =\ лівий (\ frac {d^ {2} r} {d t^ {2}} -r\ лівий (\ frac {d\ тета} {d t}\ праворуч) ^ {2}\ праворуч)\ капелюх {\ mathbf {r}} +\ лівий (2\ frac) c {d r} {d t}\ frac {d\ тета} {d t} +r\ frac {d^ {2}\ тета} {d t^ {2}}\ право)\ hat {\ напівжирний символ {\ тета}}\\
= a_ {r}\ hat {\ mathbf {r}} +a_ {\ тета}\ hat {\ напівжирний символ {\ тета}}
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Радіальна і тангенціальна складові прискорення тепер складніше, ніж тоді у випадку кругового руху через ненульових похідних\(d r / d t\) і\(d^{2} r / d t^{2}\). Радіальна складова - це

\[a_{r}=\frac{d^{2} r}{d t^{2}}-r\left(\frac{d \theta}{d t}\right)^{2} \nonumber \]

і тангенціальна складова

\[a_{\theta}=2 \frac{d r}{d t} \frac{d \theta}{d t}+r \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}} \nonumber \]

Перший член в дотичній складовій прискорення,\(2(d r / d t)(d \theta / d t)\) має особливу назву, прискорення Коріоліса,

\[a_{c o r}=2 \frac{d r}{d t} \frac{d \theta}{d t} \nonumber \]

Приклад 6.4 Спіральний рух

Частинка рухається назовні по спіралі, починаючи від початку при t = 0. Його траєкторія задається\(r=b \theta\) тим, де b - позитивна константа з одиницями\(\left[\mathrm{m} \cdot \mathrm{rad}^{-1}\right] \cdot \theta\) збільшується в часі відповідно до\(\theta=c t^{2}\), де\(c>0\) позитивна константа (з одиницями\(\left[\mathrm{rad} \cdot \mathrm{s}^{-2}\right]\))

а) Визначити прискорення як функцію часу.

б) Визначити час, в яке радіальне прискорення дорівнює нулю.

в) Який кут, коли радіальне прискорення дорівнює нулю?

г) Визначити час, в який радіальні і тангенціальні прискорення мають однакову величину.

Рішення:

а) Координата положення як функція часу задається\(r=b \theta=b c t^{2}\). Прискорення задається рівнянням (6.5.14). Для того щоб розрахувати прискорення, нам потрібно обчислити чотири похідні\(d r / d t=2 b c t, d^{2} r / d t^{2}=2 b c, d \theta / d t=2 c t\), і\(d^{2} \theta / d t^{2}=2 c\). Прискорення тоді

\[\overrightarrow{\mathbf{a}}=\left(2 b c-4 b c^{3} t^{4}\right) \hat{\mathbf{r}}+\left(8 b c^{2} t^{2}+2 b c^{2} t^{2}\right) \hat{\boldsymbol{\theta}}=\left(2 b c-4 b c^{3} t^{4}\right) \hat{\mathbf{r}}+10 b c^{2} t^{2} \hat{\boldsymbol{\theta}} \nonumber \]

б) Радіальне прискорення дорівнює нулю, коли

\[t_{1}=\left(\frac{1}{2 c^{2}}\right)^{1 / 4} \nonumber \]

в) Кут, коли радіальне прискорення дорівнює нулю, дорівнює

\[\theta_{1}=c t_{1}^{2}=\sqrt{2} / 2 \nonumber \]

г) Радіальні і тангенціальні прискорення мають однакову величину, коли після деякої алгебри

\[\left(2 b c-4 b c^{3} t^{4}\right)=10 b c^{2} t^{2} \Rightarrow 0=t^{4}+(5 / 2 c) t^{2}-\left(1 / 2 c^{2}\right) \nonumber \]

Це рівняння має лише позитивне рішення для\(t^{2}\)

\[t_{2}^{2}=\frac{-(5 / 2 c) \pm\left((5 / 2 c)^{2}+2 c^{2}\right)^{1 / 2}}{2}=\frac{\sqrt{33}-5}{4 c} \nonumber \]

Тому величини двох складових рівні при

\[t_{2}=\sqrt{\frac{\sqrt{33}-5}{4 c}} \nonumber \]