8.1: Вступ

Три основні формулювання класичної механіки

1. Ньютонівська механіка, яка є найбільш інтуїтивною векторною формулюванням, що використовується в класичній механіці.
2. Механіка Лагранжа - це потужна алгебраїчна формулювання класичної механіки, отриманої з використанням принципу д'Аламберта, або Принцип Гамільтона. Останній стверджує: «Динамічна система йде шляхом, який мінімізує часовий інтеграл різниці між кінетичною та потенційною енергіями».
3. Гамільтонівська механіка має прекрасну надбудову, яка, як і механіка Лагранжа, побудована на варіаційному численні, принципі Гамільтона та механіці Лагранжа.

Гамільтонова механіка введена на цьому етапі, оскільки вона тісно переплітається з механікою Лагранжа. Гамільтонова механіка відіграє фундаментальну роль у сучасній фізиці, але обговорення важливої ролі, яку вона відіграє в сучасній фізиці, буде відкладено до розділів$15$ та$18$ де розглядаються додатки до сучасної фізики.

У розділі були введені наступні важливі поняття$7$:

Узагальнений імпульс було визначено, щоб дати

$$p_{i}\equiv \frac{\partial L(\mathbf{q,\dot{q},}t\mathbf{)}}{\partial \dot{q} _{i}}$$

Зверніть увагу, що, як обговорюється в розділі$7.2$, якщо потенціал залежить від швидкості, наприклад, сила Лоренца, то узагальнений імпульс включає терміни на додаток до звичайного механічного імпульсу.

Узагальнена енергетична функція Якобі$h(\mathbf{q,\dot{q}},t)$ була введена де

$$h(\mathbf{q,\dot{q}},t)=\sum_{i}^{n}\left( \dot{q}_{i}\frac{\partial L}{ \partial \dot{q}_{i}}\right) -L(\mathbf{q,\dot{q}},t) \label{8.2}$$

Гамільтонова функція була визначена як вираження узагальненої енергетичної функції, Equation\ ref {8.2}, через узагальнений імпульс. Тобто гамільтоніан$H(\mathbf{q,p},t)$ виражається як

$$H\left( \mathbf{q},\mathbf{p},t\right) =\sum_{i}^{n}p_{i}\dot{q}_{i}-L( \mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t) \label{8.3}$$

Символи$\mathbf{q}$$\mathbf{p}$, позначають вектори$n$ узагальнених координат,$\mathbf{q}\equiv (q_{1},q_{2},..q_{n}),$$\mathbf{p}\equiv (p_{1},p_{2},..p_{n})$. Рівняння\ ref {8.3} можна записати компактно в симетричному вигляді за допомогою скалярного добутку$\mathbf{p\cdot \dot{q}=} \sum_{i}p_{i}\dot{q}_{i}$.

$$H\left( \mathbf{q},\mathbf{p},t\right) +L(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)= \mathbf{p\cdot \dot{q}}$$

Важливою особливістю гамільтонової механіки є те, що гамільтоніан виражається так, як$H\left( \mathbf{q},\mathbf{p},t\right) ,$ це, це функція$n$ узагальнених координат і їх сполучених моментів, які приймаються незалежними, плюс незалежна змінна, час. Це контрастує з Лагранжа,$L(\mathbf{q},\mathbf{ \dot{q}},t)$ який є функцією$n$ узагальнених координат$q_{j}$, і відповідних швидкостей$\dot{q}_{j}$, тобто похідних від часу координат$q_{i}$, плюс незалежна змінна, час.