Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

8.1: Вступ

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    75554

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Три основні формулювання класичної механіки

    1. Ньютонівська механіка, яка є найбільш інтуїтивною векторною формулюванням, що використовується в класичній механіці.
    2. Механіка Лагранжа - це потужна алгебраїчна формулювання класичної механіки, отриманої з використанням принципу д'Аламберта, або Принцип Гамільтона. Останній стверджує: «Динамічна система йде шляхом, який мінімізує часовий інтеграл різниці між кінетичною та потенційною енергіями».
    3. Гамільтонівська механіка має прекрасну надбудову, яка, як і механіка Лагранжа, побудована на варіаційному численні, принципі Гамільтона та механіці Лагранжа.

    Гамільтонова механіка введена на цьому етапі, оскільки вона тісно переплітається з механікою Лагранжа. Гамільтонова механіка відіграє фундаментальну роль у сучасній фізиці, але обговорення важливої ролі, яку вона відіграє в сучасній фізиці, буде відкладено до розділів\(15\) та\(18\) де розглядаються додатки до сучасної фізики.

    У розділі були введені наступні важливі поняття\(7\):

    Узагальнений імпульс було визначено, щоб дати

    \[p_{i}\equiv \frac{\partial L(\mathbf{q,\dot{q},}t\mathbf{)}}{\partial \dot{q} _{i}}\]

    Зверніть увагу, що, як обговорюється в розділі\(7.2\), якщо потенціал залежить від швидкості, наприклад, сила Лоренца, то узагальнений імпульс включає терміни на додаток до звичайного механічного імпульсу.

    Узагальнена енергетична функція Якобі\(h(\mathbf{q,\dot{q}},t)\) була введена де\[h(\mathbf{q,\dot{q}},t)=\sum_{i}^{n}\left( \dot{q}_{i}\frac{\partial L}{ \partial \dot{q}_{i}}\right) -L(\mathbf{q,\dot{q}},t) \label{8.2}\]

    Гамільтонова функція була визначена як вираження узагальненої енергетичної функції, Equation\ ref {8.2}, через узагальнений імпульс. Тобто гамільтоніан\(H(\mathbf{q,p},t)\) виражається як

    \[H\left( \mathbf{q},\mathbf{p},t\right) =\sum_{i}^{n}p_{i}\dot{q}_{i}-L( \mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t) \label{8.3}\]

    Символи\(\mathbf{q}\)\(\mathbf{p}\), позначають вектори\(n\) узагальнених координат,\(\mathbf{q}\equiv (q_{1},q_{2},..q_{n}),\)\(\mathbf{p}\equiv (p_{1},p_{2},..p_{n})\). Рівняння\ ref {8.3} можна записати компактно в симетричному вигляді за допомогою скалярного добутку\(\mathbf{p\cdot \dot{q}=} \sum_{i}p_{i}\dot{q}_{i}\). \[H\left( \mathbf{q},\mathbf{p},t\right) +L(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)= \mathbf{p\cdot \dot{q}}\]

    Важливою особливістю гамільтонової механіки є те, що гамільтоніан виражається так, як\(H\left( \mathbf{q},\mathbf{p},t\right) ,\) це, це функція\(n\) узагальнених координат і їх сполучених моментів, які приймаються незалежними, плюс незалежна змінна, час. Це контрастує з Лагранжа,\(L(\mathbf{q},\mathbf{ \dot{q}},t)\) який є функцією\(n\) узагальнених координат\(q_{j}\), і відповідних швидкостей\(\dot{q}_{j}\), тобто похідних від часу координат\(q_{i}\), плюс незалежна змінна, час.