14.1: Рівняння Шредінгера

Last updated
Save as PDF

Page ID: 77077

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Одновимірний кулонівський потенціал був представлений у розділі 13.6. Звичайно, справжній атом водню тривимірний. Рівняння Шредінгера, яке призводить, майже ідентичне:

\[\hat{K} \psi(\vec{r})+V(r) \psi(\vec{r})=E \psi(\vec{r})\tag{14.1}\]

По-перше, пам'ятайте\(\psi(\vec{r})\), що коли ми говоримо, це скорочення для\(\psi(x, y, z)\). Ліворуч ми розбили гамільтоніан на\(\hat{H}\) кінетичну енергетичну частину\((\hat{K})\) та потенціал. Зверніть увагу, що тут, у нас немає\(V(x, y, z)\), але тільки\(V(r)\). Коли ми говоримо\(r\) без маленької векторної стрілки, ми маємо на увазі відстань від початку, тобто\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\). Потенціал тут сферично симетричний. Тому що це залежить тільки від походження, якщо ви повернете всю систему на будь-який кут, потенціал нічим не відрізнявся б.

Якщо підставити в правильному виразі потенціал\(V(r)\), це рівняння стане:

\[\hat{K} \psi(\vec{r})-\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{e^{2}}{r} \psi(\vec{r})=E \psi(\vec{r})\tag{14.2}\]

Як зазначалося в попередньому розділі, потенціал завжди негативний. Як\(r\) стає дуже великим (тобто електрон знаходиться дуже далеко від протона), потенціал наближається до нуля. Знову ж таки, це просто умовність; ми могли б додати будь-яку константу, яку ми хотіли, до потенціалу, не змінюючи фізику того, що відбувається. Ми вибрали це, тому що зручно не турбуватися про ядра атомів, які знаходяться далеко. Рішенням цього рівняння будуть окремі функції\(\psi(\vec{r})\), кожна з яких відповідає різному дозволеному стану, кожна з відповідним енергетичним рівнем. Розчини, які представляють atom— де електрон пов'язаний з протоном— мають\(E<0\). Класично, якщо частка рухається в цьому потенціалі, це встановить максимальну відстань від походження, до якого може досягти частка.