7.1: Матриця щільності

Чисті держави і змішані держави

Давайте будемо з двома уявними експериментами Штерна-Герлаха. У цьому експерименті потік (неіонізованих) атомів срібла з печі направляється через неоднорідне вертикальне магнітне поле, і потік розщеплюється на дві частини. Атоми срібла мають ненульові магнітні моменти, а магнітний момент в неоднорідному магнітному полі відчуває ненульову силу, змушуючи атом відійти від прямолінійного шляху, величина відхилення пропорційна складовій магнітного моменту атома у вертикалі (поле) напрямок. Спостереження за розщепленням променя на два, і не більше, означає, що вертикальна складова магнітного моменту, а значить і пов'язаний з ним момент моменту, може мати тільки два різних значення. З базового аналізу операторів обертання та властивостей кутового моменту, що слідують, це спостереження змушує нас до висновку, що загальний кутовий імпульс атома срібла є$\frac{1}{2}\hbar$. Звичайні орбітальні кутові моменти не можуть мати напівцілих значень; цей експеримент був одним з перших ознак того, що електрон має спіновий ступінь свободи, момент моменту, який не можна інтерпретувати як орбітальний кутовий імпульс складових частин. Атом срібла має 47 електронів, 46 з них мають сумарні спінові і орбітальні моменти, які окремо скасовують, ^47-й не має орбітального кутового моменту, а його спін - весь кутовий імпульс атома.

Тут ми будемо використовувати потік Штерна-Герлаха як приклад великої колекції квантових систем (атомів), щоб прояснити, як описати таку колекцію, яку часто називають ансамблем. Щоб уникнути зайвих ускладнень, ми враховуємо лише ступені свободи обертання. Почнемо з вивчення двох різних потоків:

Припустимо,$A$ експериментатор готує потік атомів срібла таким чином, що кожен атом знаходиться в спиновому стані$\psi_A$:

$$|\psi_A\rangle=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow\rangle+|\downarrow\rangle). \label{7.1.1}$$

Тим часом експериментатор$B$ готує потік атомів срібла, який є сумішшю: половина атомів знаходиться в стані,$|\uparrow\rangle$ а половина - в стані$|\downarrow\rangle$: називайте цю суміш$B$.

Приклад$\PageIndex{1}$

Чи можемо ми відрізнити$A$ потік від$B$ потоку?

Рішення

Очевидно, що не шляхом вимірювання спина в z-напрямку! Обидва будуть віддавати 50% часу, вниз 50%.

Але: ми можемо їх розрізнити, вимірюючи спін у напрямку x:$\psi_A$ квантовий стан насправді є лише спіном у напрямку x, тому він буде відмовлятися «вгору» у напрямку x кожного разу - відтепер ми називаємо це$|\uparrow_x\rangle$, тоді як стан$|\uparrow\rangle$ («вгору» у напрямку z) буде прибутковість «вгору» в х-напрямку тільки 50% часу, як буде$|\downarrow\rangle$.

Держава$\psi_A=|\uparrow_x\rangle$ називається чистим станом, це такий квантовий стан, який ми вивчали весь цей курс.

Потік$B$, навпаки, знаходиться в змішаному стані: вид, який насправді зустрічається в більшій чи меншій мірі в реальному життєвому потоці атомів, різні чисті квантові стани, що відбуваються з різними ймовірностями, але без фазової когерентності між ними. Іншими словами, ці відносні$B$ ймовірності в різних квантових станах не походять від амплітуд ймовірностей, як це роблять при знаходженні ймовірності спіну в потоці$A$: ймовірності різних квантових станів у змішаному стані точно$B$ такі ж класичні ймовірності.

Однак, як кажуть, щоб знайти ймовірність вимірювання спіну в деякому такому змішаному стані, спочатку використовується ймовірність класичного типу для кожного компонентного стану, потім для кожного квантового стану в суміші, можна знайти ймовірність обертання в цьому стані стандартна квантова техніка.

Тому для змішаного стану, в якому система знаходиться в стані$|\psi_i\rangle$ з ймовірністю$w_i,\; \sum w_i=1$, очікуване значення оператора$\hat{A}$ дорівнює $$\langle \hat{A}\rangle=\sum w_i\langle \psi_i|\hat{A}|\psi_i\rangle \label{7.1.2}$$

і ми повинні підкреслити, що вони$|\psi_i\rangle$ не повинні бути ортогональними (але вони, звичайно, нормалізовані): наприклад, одне може бути$|\uparrow_x\rangle$, інше$|\uparrow_z\rangle$. (Ми ставимо зазвичай опущений z in для наголосу.) Причина, по якій ми надягаємо капелюх$\hat{A}$ тут, щоб підкреслити, що це оператор, але$w_i$ це просто цифри.

Матриця щільності

Рівняння для очікуваного значення$\langle \hat{A}\rangle$ можна записати:

$$\langle \hat{A}\rangle=Trace(\hat{\rho}\hat{A}) \label{7.1.3A}$$

де

$$\hat{\rho}=\sum w_i|\psi_i\rangle\langle \psi_i| . \label{7.1.3B}$$

Щоб точно побачити, як це відбувається, нагадаємо, що для оператора$\hat{B}$ в скінченновимірному векторному просторі з ортонормальним базисним множиною$|j\rangle$$Tr\hat{B}=\sum_{j=1}^{n}\langle j|\hat{B}|j\rangle=B_{jj}$, де повторюваний суфікс має на увазі підсумовування діагональних матричних елементів оператора.

Тому

$$\begin{align} Tr(\hat{\rho}\hat{A}) &= \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{n}w_i\langle j|\psi_i\rangle\langle \psi_i|\hat{A}|j\rangle \label{7.1.4A} \\[5pt] &=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}w_i\langle \psi_i|\hat{A}|j\rangle\langle j|\psi_i\rangle \label{7.1.4B} \\[5pt] &=\sum_{i=1}^{n}w_i\langle \psi_i|\hat{A}|\psi_i\rangle \label{7.1.4C} \end{align}$$

з тих пір$\sum|j\rangle\langle j|=I$, особистість.

Це$\hat{\rho}$ називається матрицею щільності: її матрична форма стає явною шляхом розгляду станів$|\psi_i\rangle$ у скінченному N-вимірному векторному просторі (наприклад, спини або кутові моменти)

$$|\psi_i\rangle=\sum_j(V_i)_j|j\rangle \label{7.1.5}$$

де$|j\rangle$ є ортонормальним базовим набором, і$(V_i)_j$ є$j^{th}$ складовою нормованого вектора$V_i$. Зручно виражати з$\hat{\rho}$ точки зору кеток і бюстгальтерів, що належать до цієї ортонормальної основі,

$$\hat{\rho}=\sum w_i|\psi_i\rangle\langle \psi_i|=\sum_{i,j,k}w_i(V_i)_j(V^{\dagger}i)_k|j\rangle\langle k|=\sum_{j,k}\rho_{jk}|j\rangle\langle k| \label{7.1.6}$$

і, очевидно,

$$\langle \hat{A}\rangle=Trace(\hat{\rho}\hat{A})=\sum_{n,j,k}\langle n|\rho_{jk}|j\rangle\langle k|\hat{A}|n\rangle=\sum_{j,k}\rho_{jk}\langle k|\hat{A}|j\rangle=\sum_{j,k}\rho_{jk}A_{kj}. \label{7.1.7}$$

(Так як$\rho_{jk}$ це просто число,$\langle n|\rho_{jk}|j\rangle=\rho_{jk}\langle n|j\rangle=\rho_{jk}\delta_{nj}$.)

$Trace(\hat{\rho}\hat{A})$є основонезалежним, слід матриці незмінний унітарним перетворенням, оскільки з цього випливає$Tr(ABC)=Tr(BCA)$ $$TrU^{\dagger}\, AU=TrAU\, U^{\dagger}=TrA\; for\; UU^{\dagger}=1. \label{7.1.8}$$

Зверніть увагу, що оскільки вектори$V_i$ нормалізовані$\sum_j(V_i)_j(V^{\dagger}_i)_j=1$, при цьому$i$ не підсумовуються, і$\sum w_i=1$, випливає, що $$Tr\hat{\rho}=1 \label{7.1.9}$$

(Також очевидно,$A=1$ поставивши рівняння для$\langle A\rangle$).

Для системи в чистому квантовому стані$|\psi\rangle$$\hat{\rho}=|\psi\rangle\langle \psi|$, просто оператор проекції в цей стан, і

$$\hat{\rho}^2=\hat{\rho}, \label{7.1.10}$$

як і для всіх проекційних операторів.

Варто розписати, чим це відрізняється від змішаного стану, подивившись на форму матриці щільності.

Для чистого стану$|\psi\rangle$, якщо основа обрана так, що$|\psi\rangle$ є членом основи (це завжди можна зробити),$\hat{\rho}$ є матриця з кожним елементом нуль, крім одного діагонального елемента, відповідного$|\psi\rangle\langle \psi|$, який буде одиницею. Очевидно,$\hat{\rho}^2=\hat{\rho}$. Це менш очевидно в загальній основі, де не обов'язково$\hat{\rho}$ буде діагональ. Але твердження$\hat{\rho}^2=\hat{\rho}$ залишається вірним при перетворенні на нову основу.

Для змішаного стану, скажімо, наприклад, суміш ортогональних станів$|\psi_1\rangle,\; |\psi_2\rangle$, якщо ми виберемо основу, що включає обидва стани, матриця щільності буде діагональною лише з двома записами$w_1,\; w_2$. Обидва ці числа повинні бути менше одиниці, так$\hat{\rho}^2\neq \hat{\rho}$. Суміш неортогональних станів залишається як вправа для читача.

Приклад$\PageIndex{1}$: Pure State (case $A$)

По-перше, наш випадок A вище (чистий стан): все крутиться в стані$|\uparrow_x\rangle=(1/\sqrt{2})(|\uparrow\rangle+|\downarrow\rangle)$.

У стандарті$|\uparrow\rangle$,$|\downarrow\rangle$ основі,

$$\hat{\rho}=|\uparrow_x\rangle\langle \uparrow_x|=\dbinom{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1/2&1/2\\ 1/2&1/2 \end{pmatrix} \label{7.1.11}$$

і

$$\begin{matrix} \langle s_x\rangle=Tr(\hat{\rho}s_x)=\dfrac{\hbar}{2}Tr\begin{pmatrix} 1/2&1/2\\ 1/2&1/2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}=\dfrac{\hbar}{2} \\ \langle s_z\rangle=Tr(\hat{\rho}s_z)=\dfrac{\hbar}{2}Tr\begin{pmatrix} 1/2&1/2\\ 1/2&1/2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}=0. \end{matrix} \label{7.1.12}$$

Зауважте, що$\hat{\rho}^2=\hat{\rho}$.

Приклад$\PageIndex{1}$: 50-50 mixed up and down (case $B$)

50% в штаті$|\uparrow\rangle$, 50%$|\downarrow\rangle$.

Матриця щільності

$$\begin{matrix} \hat{\rho}=\dfrac{1}{2}|\uparrow\rangle\langle \uparrow|+\dfrac{1}{2}|\downarrow\rangle\langle \downarrow| \\ =\dfrac{1}{2}\dbinom{1}{0}\begin{pmatrix}1& 0 \end{pmatrix}+\dfrac{1}{2}\dbinom{0}{1}\begin{pmatrix}0& 1 \end{pmatrix}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}. \end{matrix} \label{7.1.13}$$

Це пропорційно одиничній матриці, тому

$$Tr\hat{\rho}s_x=\dfrac{1}{2}\dfrac{\hbar}{2}Tr\sigma_x=0, \label{7.1.14}$$

і аналогічно для$s_y$ і$s_z$, так як Pauli$\sigma$ -матриці все безслідно. Зверніть увагу також на те$\hat{\rho}^2=\dfrac{1}{2}\hat{\rho}\neq \hat{\rho}$, що, як це справедливо для всіх змішаних станів.

Приклад$\PageIndex{3}$: Finally, a 50-50 mixed state relative to the x-axis (case $C$)

Тобто 50% спинив в стані$|\uparrow_x\rangle=(1/\sqrt{2})(|\uparrow\rangle+|\downarrow\rangle)$, «вгору» по осі х, і 50% в$|\downarrow_x\rangle=(1/\sqrt{2})(|\uparrow\rangle-|\downarrow\rangle)$, «вниз» в напрямку х.

Це легко перевірити, що

$$\hat{\rho}=\dfrac{1}{2}|\uparrow_x\rangle\langle \uparrow_x|+\dfrac{1}{2}|\downarrow_x\rangle\langle \downarrow_x|=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1/2&1/2\\ 1/2&1/2 \end{pmatrix}+\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1/2&-1/2\\ -1/2&1/2 \end{pmatrix}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}. \label{7.1.15}$$

Це точно така ж матриця щільності, яку ми знайшли для 50% в стані$|\uparrow\rangle$, 50%$|\downarrow\rangle$!

Причина полягає в тому, що обидві формулювання описують стан, про який ми нічого не знаємо - ми перебуваємо в стані повного невігластва, спини абсолютно випадкові, всі напрямки однаково вірогідні. Матриця щільності, що описує такий стан, не може залежати від напрямку, який ми обираємо для наших осей.

Ще одна квантова система з двома станами, яку можна проаналізувати таким же чином, - це стан поляризації пучка світла, основою якого є поляризація в напрямку x і поляризація в напрямку y, для пучка, що рухається паралельно осі z. Звичайне неполяризоване світло відповідає випадковому змішаному стану, з тією ж матрицею щільності, що і в останньому прикладі вище.

Еволюція часу матриці щільності

У змішаному стані квантові стани еволюціонують незалежно відповідно до рівняння Шредінгера, тому

$$i\hbar \dfrac{d\hat{\rho}}{dt}=\sum w_i H|\psi_i\rangle\langle \psi_i| - \sum w_i|\psi_i\rangle\langle \psi_i|H=[H,\hat{\rho}]. \label{7.1.16}$$

Зауважте, що це має протилежний знак від еволюції оператора Гейзенберга, що не дивно, оскільки оператор щільності складається з бюстгальтерів та кетів Шредінгера.

Рівняння є квантовим аналогом теореми Ліувіля в статистичній механіці. Теорема Ліувіля описує еволюцію в часі ансамблю однакових класичних систем, таких як багато коробок, кожна з яких заповнена однаковою кількістю одного і того ж газу при однаковій температурі, але положення та моменти окремих атомів випадково різні в кожному. Кожна коробка може бути класично описана однією точкою у величезному розмірному просторі, простором, що має шість вимірів для кожного атома (положення та імпульс, ми ігноруємо можливі внутрішні ступені свободи). Тоді весь ансамбль є газом цих точок у цьому величезному просторі, і швидкість зміни місцевої щільності цього газу, з рівнянь Гамільтона$\partial \rho/\partial t=-\{\rho,H\}$, є дужкою тепер Пуассона (див. Мої нотатки Класичної Механіки). Так чи інакше, це класичний попередник і причина назви матриці щільності.

Теплова рівновага

Система в тепловій рівновазі представлена в статистичній механіці канонічним ансамблем. Якщо власний стан$|i\rangle$ гамільтоніана має енергію$E_i$, відносна ймовірність знаходження системи в такому стані знаходиться$e^{-E_i/kT}=e^{-\beta E_i}$ в стандартних позначеннях. Тому матриця щільності дорівнює: $$\hat{\rho}=\dfrac{1}{Z}\sum_i e^{-\beta E_i}|i\rangle\langle i|=\dfrac{e^{-\beta H}}{Z}, \label{7.1.17}$$

де

$$Z=\sum_i e^{-\beta E_i}=Tre^{-\beta H}. \label{7.1.18}$$

Зверніть увагу, що в цьому формулюванні, крім константи нормалізації$Z$, оператор щільності є аналогом пропагатора$U(t)=e^{-iHt/\hbar}$ протягом уявного часу$t=-i\hbar \beta$. До речі, для взаємодіючих квантових полів пропагатор може бути побудований у вигляді набору діаграм Фейнмана, відповідних усім можливим послідовностям розсіяння частинок шляхом взаємодії. Щоб знайти термодинамічні властивості теорії поля при скінченній температурі, по суті, використовується один і той же набір діаграм для пошуку вільної енергії: діаграми тепер описують систему, що поширюється на скінченний уявний час, можуть бути використані ті ж математичні інструменти.

При нульовій температурі ($\beta =\infty$) коефіцієнти ймовірності всі$w_i=e^{-\beta E_i}/Z$ дорівнюють нулю, крім стану заземлення: система знаходиться в чистому стані, а матриця щільності має кожен елемент нуль, крім одного елемента на діагоналі. При нескінченній температурі$w_i$ всі рівні: матриця щільності якраз$1/N$ умножує одиничну матрицю, де$N$ знаходиться загальна кількість наявних в системі станів. Насправді ентропія системи може бути виражена через матрицю щільності:$S=-kTr(\hat{\rho}\ln \hat{\rho})$. Це не так погано, як виглядає: обидва оператори мають діагональ в енергетичному підпросторі.