7.6: Сферичні гармоніки
- Page ID
- 77096
Одночасні власні стани\(Y_{l,m}(\theta,\phi)\),\(L^2\) і\(L_z\) відомі як сферичні гармоніки. Розберемо їх функціональну форму.
Ми знаємо це\[L_+\,Y_{l,l}(\theta,\phi) = 0,\] тому, що немає держави, для якої\(m\) має більше значення, ніж\(+l\). Написання\[Y_{l,l}(\theta,\phi) = {\mit\Theta}_{l,l}(\theta)\,{\rm e}^{\,{\rm i}\,l\,\phi}\] [див. Рівняння ([e8.34]) і ([e8.38])], і використовуючи рівняння ([e8.28]), отримаємо
\[\hbar\,{\rm e}^{\,{\rm i}\,\phi}\left(\frac{\partial}{\partial\theta} + {\rm i}\,\cot\theta\,\frac{\partial}{\partial\phi}\right){\mit\Theta}_{l,l}(\theta)\,{\rm e}^{\,i\,l\,\phi}=0.\]
Це рівняння дає\[\frac{d{\mit\Theta}_{l,l}}{d\theta} - l\,\cot\theta\,{\mit\Theta}_{l,l} = 0.\], які можна легко вирішити, щоб дати\[{\mit\Theta}_{l,l}\sim (\sin\theta)^{\,l}.\] Отже, ми робимо висновок, що
\[\label{e8.59} Y_{l,l}(\theta,\phi) \sim (\sin\theta)^{\,l}\,{\rm e}^{\,{\rm i}\,l\,\phi}.\]
Так само легко продемонструвати, що
\[\label{e8.60} Y_{l,-l}(\theta,\phi) \sim (\sin\theta)^{\,l}\,{\rm e}^{-{\rm i}\,l\,\phi}.\]
Як тільки ми дізнаємось\(Y_{l,l}\), ми можемо отримати,\(Y_{l,l-1}\) працюючи\(Y_{l,l}\) з оператором зниження\(L_-\). Таким чином,
\[Y_{l,l-1} \sim L_-\,Y_{l,l} \sim {\rm e}^{-{\rm i}\,\phi}\left(-\frac{\partial}{\partial\theta} + {\rm i}\,\cot\theta\,\frac{\partial}{\partial\phi}\right) (\sin\theta)^{\,l}\,{\rm e}^{\,{\rm i}\,l\,\phi},\]
де було використано Рівняння ([e8.28]). Попереднє рівняння дає\[Y_{l,l-1}\sim {\rm e}^{\,{\rm i}\,(l-1)\,\phi}\left(\frac{d}{d\theta} +l\,\cot\theta\right)(\sin\theta)^{\,l}.\]
Тепер,\[\label{e8.64} \left(\frac{d}{d\theta}+l\,\cot\theta\right)f(\theta)\equiv \frac{1}{(\sin\theta)^{\,l}}\frac{d}{d\theta}\left[ (\sin\theta)^{\,l}\,f(\theta)\right],\] де\(f(\theta)\) знаходиться загальна функція. Отже, ми можемо написати
Так само, ми можемо показати, що
Тепер ми можемо отримати\(Y_{l,l-2}\), працюючи\(Y_{l,l-1}\) з оператором опускання. Ми отримуємо
\[Y_{l,l-2}\sim L_-\,Y_{l,l-1}\sim {\rm e}^{-{\rm i}\,\phi}\left(-\frac{\partial}{\partial\theta} + {\rm i}\,\cot\theta\,\frac{\partial}{\partial\phi}\right) \frac{ {\rm e}^{\,{\rm i}\,(l-1)\,\phi}}{(\sin\theta)^{\,l-1}}\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\right) (\sin\theta)^{2\,l},\]
що зводиться до\[Y_{l,l-2}\sim {\rm e}^{-{\rm i}\,(l-2)\,\phi}\left[\frac{d}{d\theta} +(l-1)\,\cot\theta\right] \frac{1}{(\sin\theta)^{\,l-1}}\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\right) (\sin\theta)^{2\,l}.\] Нарешті, використовуючи Рівняння ([e8.64]), ми отримуємо
\[\label{e8.68} Y_{l,l-2}(\theta,\phi) \sim \frac{ {\rm e}^{\,{\rm i}\,(l-2)\,\phi}}{(\sin\theta)^{\,l-2}}\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\right)^2 (\sin\theta)^{2\,l}.\]Так само ми можемо показати, що
Порівняння рівнянь ([e8.59]), ([e8.64a]) і ([e8.68]) виявляє загальну функціональну форму сферичних гармонік:
\[Y_{l,m}(\theta,\phi)\sim \frac{ {\rm e}^{\,{\rm i}\,m\,\phi}}{(\sin\theta)^{\,m}}\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\right)^{l-m} (\sin\theta)^{2\,l}.\]
Тут\(m\) передбачається невід'ємний. Здійснюючи заміну\(u=\cos\theta\), ми також можемо написати
\[Y_{l,m}(u,\phi)\sim {\rm e}^{\,{\rm i}\,m\,\phi}\,(1-u^{\,2})^{-m/2}\left(\frac{d}{d u}\right)^{l-m} (1-u^{\,2})^{\,l}.\]
Нарешті, з Рівняння ([e8.60]), ([e8.65]), і ([e8.69]) зрозуміло, що
\[Y_{l,-m} \sim Y^{\,\ast}_{l,m}.\]
Малюнок 18:\(\begin{equation}\left|Y_{l, m}(\theta, \phi)\right|^{2}\end{equation}\) Побудований як функції\(\theta\). Суцільні, коротко-пунктирні і довгопунктирні криві відповідають відповідно.\(\begin{equation}l, m=0,0, \text { and } 1,0, \text { and } 1,\pm 1\end{equation}\)
Тепер нам потрібно нормалізувати наші сферичні гармонічні функції таким чином, щоб переконатися, що\[\oint |Y_{l,m}(\theta,\phi)|^{\,2}\,d{\mit\Omega} = 1.\] Після великого стомлюючого аналізу нормалізовані сферичні гармонічні функції знайдуть форму\[Y_{l,m}(\theta,\phi) =(-1)^m\, \left[\frac{2\,l+1}{4\pi}\,\frac{(l-m)!}{(l+m)!}\right]^{1/2} P_{l,m}(\cos\theta)\,{\rm e}^{\,{\rm i}\,m\,\phi}\] для\(m\geq 0\), де\(P_{l,m}\) вони відомі як асоційовані Legendre многочлени, і записуються\[P_{l,m}(u) = (-1)^{l+m}\,\frac{(l+m)!}{(l-m)!}\,\frac{(1-u^{\,2})^{-m/2}}{2^l\,l!}\left(\frac{d}{du}\right)^{l-m} (1-u^{\,2})^{\,l}\] для\(m\geq 0\). Як варіант,\[P_{l,m}(u) = (-1)^{l}\,\frac{(1-u^{\,2})^{m/2}}{2^l\,l!}\left(\frac{d}{du}\right)^{l+m} (1-u^{\,2})^{\,l},\] для\(m\geq 0\). Сферичні гармоніки, що характеризуються,\(m<0\) можна обчислити з тих, що характеризуються\(m>0\) за допомогою ідентичності\[Y_{l,-m} = (-1)^m\,Y^{\,\ast}_{l,m}.\] Сферичні гармоніки є ортонормальними: тобто, \[\label{spho} \oint Y_{l',m'}^{\,\ast}\,Y_{l,m}\,d{\mit\Omega} = \delta_{ll'}\,\delta_{mm'},\]а також утворюють повний набір. Іншими словами, будь-яка добре поведена функція\(\theta\) і\(\phi\) може бути представлена як суперпозиція сферичних гармонік. Нарешті, і найголовніше, сферичні гармоніки - це одночасні власні\(L_z\) стани і\(L^2\) відповідні власним значенням\(m\,\hbar\) і\(l\,(l+1)\,\hbar^{\,2}\), відповідно.
Малюнок 19:\(\begin{equation}\left|Y_{l, m}(\theta, \phi)\right|^{2}\end{equation}\) Побудовано як функції\(\theta\). Суцільні, коротко-пунктирні та довгопунктирні криві відповідають\(\begin{equation}l, m=2,0, \text { and } 2,\pm 1, \text { and } 2,\pm 2\end{equation}\) відповідно.
Всі\(l=0\)\(l=1\), і\(l=2\) сферичні гармоніки перераховані нижче:\[\begin{aligned} Y_{0,0} &=\frac{1}{\sqrt{4\pi}},\\[0.5ex] Y_{1,0} &= \sqrt{\frac{3}{4\pi}}\,\cos\theta,\\[0.5ex] Y_{1,\pm1} &= \mp \sqrt{\frac{3}{8\pi}}\,\sin\theta\,{\rm e}^{\pm{\rm i}\,\phi},\\[0.5ex] Y_{2,0} &= \sqrt{\frac{5}{16\pi}}\,(3\,\cos^2\theta - 1),\\[0.5ex] Y_{2,\pm 1}&=\mp\sqrt{\frac{15}{8\pi}}\,\sin\theta\,\cos\theta\,{\rm e}^{\pm{\rm i}\,\phi},\\[0.5ex] Y_{2,\pm 2}&= \sqrt{\frac{15}{32\pi}}\,\sin^2\theta\,{\rm e}^{\pm 2\,{\rm i}\,\phi}.\end{aligned}\]\(\theta\) Варіація цих функцій проілюстрована на малюнках [ylm1] і [ylm2].