7.6: Сферичні гармоніки

Одночасні власні стани$Y_{l,m}(\theta,\phi)$,$L^2$ і$L_z$ відомі як сферичні гармоніки. Розберемо їх функціональну форму.

Ми знаємо це $$L_+\,Y_{l,l}(\theta,\phi) = 0,$$ тому, що немає держави, для якої$m$ має більше значення, ніж$+l$. Написання $$Y_{l,l}(\theta,\phi) = {\mit\Theta}_{l,l}(\theta)\,{\rm e}^{\,{\rm i}\,l\,\phi}$$ [див. Рівняння ([e8.34]) і ([e8.38])], і використовуючи рівняння ([e8.28]), отримаємо

$$\hbar\,{\rm e}^{\,{\rm i}\,\phi}\left(\frac{\partial}{\partial\theta} + {\rm i}\,\cot\theta\,\frac{\partial}{\partial\phi}\right){\mit\Theta}_{l,l}(\theta)\,{\rm e}^{\,i\,l\,\phi}=0.$$

Це рівняння дає $$\frac{d{\mit\Theta}_{l,l}}{d\theta} - l\,\cot\theta\,{\mit\Theta}_{l,l} = 0.$$ , які можна легко вирішити, щоб дати $${\mit\Theta}_{l,l}\sim (\sin\theta)^{\,l}.$$ Отже, ми робимо висновок, що

$$\label{e8.59} Y_{l,l}(\theta,\phi) \sim (\sin\theta)^{\,l}\,{\rm e}^{\,{\rm i}\,l\,\phi}.$$

Так само легко продемонструвати, що

$$\label{e8.60} Y_{l,-l}(\theta,\phi) \sim (\sin\theta)^{\,l}\,{\rm e}^{-{\rm i}\,l\,\phi}.$$

Як тільки ми дізнаємось$Y_{l,l}$, ми можемо отримати,$Y_{l,l-1}$ працюючи$Y_{l,l}$ з оператором зниження$L_-$. Таким чином,

$$Y_{l,l-1} \sim L_-\,Y_{l,l} \sim {\rm e}^{-{\rm i}\,\phi}\left(-\frac{\partial}{\partial\theta} + {\rm i}\,\cot\theta\,\frac{\partial}{\partial\phi}\right) (\sin\theta)^{\,l}\,{\rm e}^{\,{\rm i}\,l\,\phi},$$

де було використано Рівняння ([e8.28]). Попереднє рівняння дає $$Y_{l,l-1}\sim {\rm e}^{\,{\rm i}\,(l-1)\,\phi}\left(\frac{d}{d\theta} +l\,\cot\theta\right)(\sin\theta)^{\,l}.$$

Тепер, $$\label{e8.64} \left(\frac{d}{d\theta}+l\,\cot\theta\right)f(\theta)\equiv \frac{1}{(\sin\theta)^{\,l}}\frac{d}{d\theta}\left[ (\sin\theta)^{\,l}\,f(\theta)\right],$$ де$f(\theta)$ знаходиться загальна функція. Отже, ми можемо написати

$$\label{e8.64a} Y_{l,l-1}(\theta,\phi)\sim \frac{ {\rm e}^{\,{\rm i}\,(l-1)\,\phi}}{(\sin\theta)^{\,l-1}}\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\right) (\sin\theta)^{2\,l}.$$

Так само, ми можемо показати, що

$$\label{e8.65} Y_{l,-l+1}(\theta,\phi)\sim L_+\,Y_{l,-l}\sim \frac{ {\rm e}^{-{\rm i}\,(l-1)\,\phi}}{(\sin\theta)^{\,l-1}}\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\right) (\sin\theta)^{2\,l}.$$

Тепер ми можемо отримати$Y_{l,l-2}$, працюючи$Y_{l,l-1}$ з оператором опускання. Ми отримуємо

$$Y_{l,l-2}\sim L_-\,Y_{l,l-1}\sim {\rm e}^{-{\rm i}\,\phi}\left(-\frac{\partial}{\partial\theta} + {\rm i}\,\cot\theta\,\frac{\partial}{\partial\phi}\right) \frac{ {\rm e}^{\,{\rm i}\,(l-1)\,\phi}}{(\sin\theta)^{\,l-1}}\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\right) (\sin\theta)^{2\,l},$$

що зводиться до $$Y_{l,l-2}\sim {\rm e}^{-{\rm i}\,(l-2)\,\phi}\left[\frac{d}{d\theta} +(l-1)\,\cot\theta\right] \frac{1}{(\sin\theta)^{\,l-1}}\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\right) (\sin\theta)^{2\,l}.$$ Нарешті, використовуючи Рівняння ([e8.64]), ми отримуємо

$$\label{e8.68} Y_{l,l-2}(\theta,\phi) \sim \frac{ {\rm e}^{\,{\rm i}\,(l-2)\,\phi}}{(\sin\theta)^{\,l-2}}\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\right)^2 (\sin\theta)^{2\,l}.$$ Так само ми можемо показати, що

$$\label{e8.69} Y_{l,-l+2}(\theta,\phi) \sim L_+\,Y_{l,-l+1}\sim \frac{ {\rm e}^{-{\rm i}\,(l-2)\,\phi}}{(\sin\theta)^{\,l-2}}\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\right)^2 (\sin\theta)^{2\,l}.$$

Порівняння рівнянь ([e8.59]), ([e8.64a]) і ([e8.68]) виявляє загальну функціональну форму сферичних гармонік:

$$Y_{l,m}(\theta,\phi)\sim \frac{ {\rm e}^{\,{\rm i}\,m\,\phi}}{(\sin\theta)^{\,m}}\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\right)^{l-m} (\sin\theta)^{2\,l}.$$

Тут$m$ передбачається невід'ємний. Здійснюючи заміну$u=\cos\theta$, ми також можемо написати

$$Y_{l,m}(u,\phi)\sim {\rm e}^{\,{\rm i}\,m\,\phi}\,(1-u^{\,2})^{-m/2}\left(\frac{d}{d u}\right)^{l-m} (1-u^{\,2})^{\,l}.$$

Нарешті, з Рівняння ([e8.60]), ([e8.65]), і ([e8.69]) зрозуміло, що

$$Y_{l,-m} \sim Y^{\,\ast}_{l,m}.$$

Малюнок 18:$\begin{equation}\left|Y_{l, m}(\theta, \phi)\right|^{2}\end{equation}$ Побудований як функції$\theta$. Суцільні, коротко-пунктирні і довгопунктирні криві відповідають відповідно.$\begin{equation}l, m=0,0, \text { and } 1,0, \text { and } 1,\pm 1\end{equation}$

Тепер нам потрібно нормалізувати наші сферичні гармонічні функції таким чином, щоб переконатися, що $$\oint |Y_{l,m}(\theta,\phi)|^{\,2}\,d{\mit\Omega} = 1.$$ Після великого стомлюючого аналізу нормалізовані сферичні гармонічні функції знайдуть форму $$Y_{l,m}(\theta,\phi) =(-1)^m\, \left[\frac{2\,l+1}{4\pi}\,\frac{(l-m)!}{(l+m)!}\right]^{1/2} P_{l,m}(\cos\theta)\,{\rm e}^{\,{\rm i}\,m\,\phi}$$ для$m\geq 0$, де$P_{l,m}$ вони відомі як асоційовані Legendre многочлени, і записуються $$P_{l,m}(u) = (-1)^{l+m}\,\frac{(l+m)!}{(l-m)!}\,\frac{(1-u^{\,2})^{-m/2}}{2^l\,l!}\left(\frac{d}{du}\right)^{l-m} (1-u^{\,2})^{\,l}$$ для$m\geq 0$. Як варіант, $$P_{l,m}(u) = (-1)^{l}\,\frac{(1-u^{\,2})^{m/2}}{2^l\,l!}\left(\frac{d}{du}\right)^{l+m} (1-u^{\,2})^{\,l},$$ для$m\geq 0$. Сферичні гармоніки, що характеризуються,$m<0$ можна обчислити з тих, що характеризуються$m>0$ за допомогою ідентичності $$Y_{l,-m} = (-1)^m\,Y^{\,\ast}_{l,m}.$$ Сферичні гармоніки є ортонормальними: тобто, $$\label{spho} \oint Y_{l',m'}^{\,\ast}\,Y_{l,m}\,d{\mit\Omega} = \delta_{ll'}\,\delta_{mm'},$$ а також утворюють повний набір. Іншими словами, будь-яка добре поведена функція$\theta$ і$\phi$ може бути представлена як суперпозиція сферичних гармонік. Нарешті, і найголовніше, сферичні гармоніки - це одночасні власні$L_z$ стани і$L^2$ відповідні власним значенням$m\,\hbar$ і$l\,(l+1)\,\hbar^{\,2}$, відповідно.

Малюнок 19:$\begin{equation}\left|Y_{l, m}(\theta, \phi)\right|^{2}\end{equation}$ Побудовано як функції$\theta$. Суцільні, коротко-пунктирні та довгопунктирні криві відповідають$\begin{equation}l, m=2,0, \text { and } 2,\pm 1, \text { and } 2,\pm 2\end{equation}$ відповідно.

Всі$l=0$$l=1$, і$l=2$ сферичні гармоніки перераховані нижче: $$\begin{aligned} Y_{0,0} &=\frac{1}{\sqrt{4\pi}},\\[0.5ex] Y_{1,0} &= \sqrt{\frac{3}{4\pi}}\,\cos\theta,\\[0.5ex] Y_{1,\pm1} &= \mp \sqrt{\frac{3}{8\pi}}\,\sin\theta\,{\rm e}^{\pm{\rm i}\,\phi},\\[0.5ex] Y_{2,0} &= \sqrt{\frac{5}{16\pi}}\,(3\,\cos^2\theta - 1),\\[0.5ex] Y_{2,\pm 1}&=\mp\sqrt{\frac{15}{8\pi}}\,\sin\theta\,\cos\theta\,{\rm e}^{\pm{\rm i}\,\phi},\\[0.5ex] Y_{2,\pm 2}&= \sqrt{\frac{15}{32\pi}}\,\sin^2\theta\,{\rm e}^{\pm 2\,{\rm i}\,\phi}.\end{aligned}$$ $\theta$ Варіація цих функцій проілюстрована на малюнках [ylm1] і [ylm2].

Дописувачі та атрибуція

• Template:ContribFitzpatrick