Ми бачили, що в одному вимірі миттєвий стан однієї нерелятивістської частинки повністю задається складною хвильовою функцією,ψ(x,t). Імовірність знаходження частинки в часіt міжx іx+dx єP(x,t)dx, деP(x,t)=|ψ(x,t)|2.
Причому хвильова функція нормалізується така, що∫∞−∞|ψ(x,t)|2dx=1
в усі часи.
У трьох вимірах миттєвий стан однієї частинки також повністю визначається складною хвильовою функцією,ψ(x,y,z,t). За аналогією з одновимірним випадком ймовірність знаходження частинки в часіt міжx іx+dx, між і, і міжy іy+dx, і міжz іz+dz, єP(x,y,z,t)dxdydz, де,P(x,y,z,t)=|ψ(x,y,z,t)|2.
як завжди, ця інтерпретація хвильової функції тільки робить сенс, якщо хвильова функція нормалізується таким чином, що∫∞−∞∫∞−∞∫∞−∞|ψ(x,y,z,t)|2dxdydz=1.
це обмеження нормалізації гарантує, що ймовірність знаходження частинки в будь-якому місці є простором завжди єдність.
В одному вимірі ми можемо записати рівняння збереження ймовірності (див. Розділ [s4.5]), ∂|ψ|2∂t+∂j∂x=0,
деj=iℏ2m(ψ∂ψ∗∂x−ψ∗∂ψ∂x)
потік ймовірності вздовжx -осі. Інтегруючи рівняння ([e6.5]) у всьому просторі та використовуючи той факт, щоψ→0|x|→∞ нібиψ має бути інтегрованим по квадрату, ми отримуємоddt∫∞−∞|ψ(x,t)|2dx=0.
Іншими словами, якщо хвильова функція спочатку нормалізується, то вона залишається нормалізованою з часом. Це необхідний критерій життєздатності нашої основної трактування|ψ|2 як щільності ймовірності.
У трьох вимірах, за аналогією з одновимірним випадком, рівняння збереження ймовірності стає ∂|ψ|2∂t+∂jx∂x+∂jy∂y+∂jz∂z=0.
Тут,jx=iℏ2m(ψ∂ψ∗∂x−ψ∗∂ψ∂x)
є потік ймовірності вздовжx -осі, іjy=iℏ2m(ψ∂ψ∗∂y−ψ∗∂ψ∂y)
потік ймовірності вздовжy -осі і так далі. Інтегруючи рівняння ([e6.8]) у всьому просторі та використовуючи той факт, щоψ→0|r|→∞ нібиψ має бути інтегрованим по квадрату, ми отримуємоddt∫∞−∞∫∞−∞∫∞−∞|ψ(x,y,z,t)|2dxdydz=0.
Таким чином, нормалізація хвильової функції знову зберігається з часом, як і повинно бути, якщо|ψ|2 має бути інтерпретується як щільність ймовірності.
В одному вимірі позиція представлена алгебраїчним операторомx, тоді як імпульс представлений диференціальним оператором−iℏ∂/∂x. (Див. Розділ [s4.6].) За аналогією, в трьох вимірах декартові координатиxy, іz представлені алгебраїчними операторамиx, іy, відповідноz, тоді як три декартові складові імпульсуpx,py,, іpz, мають наступні уявлення: px≡−iℏ∂∂x,py≡−iℏ∂∂y,pz≡−iℏ∂∂z.
Нехайx1=x,x2=y,x3=z, іp1=px, і так далі. Оскількиxi це незалежні змінні (тобто∂xi/∂xj=δij), ми робимо висновок, що різні оператори позиції та імпульсу задовольняють такі відносини комутації: [xi,xj]=0,[pi,pj]=0,[xi,pj]=iℏδij.
Тепер, ми знаємо, з розділу [smeas], що два динамічні змінні можуть бути (точно) виміряні одночасно, якщо оператори, які представляють їх у квантовій механіці, комутують один з одним. Таким чином, з попередніх комутаційних відносин зрозуміло, що єдиним обмеженням на вимірювання в системі, що складається з однієї частинки, що рухається в трьох вимірах, є те, що неможливо одночасно виміряти задану координату положення і відповідну складову імпульсу. Зверніть увагу, однак, що цілком можливо одночасно виміряти дві різні координати позицій, або дві різні складові імпульсу. Комутаційні відносини ([commxx]) — ([commxp]) ще раз ілюструють той момент, що квантові механічні оператори, що відповідають різним ступеням свободи динамічної системи (в даному випадку руху в різних напрямках) схильні комутувати один з одним. (Див. Розділ [sfunction].)
В одному вимірі часова еволюція хвильової функції задається [див. Рівняння ([etimed])], iℏ∂ψ∂t=Hψ,
деH знаходиться гамільтоніан. Це ж рівняння регулює часову еволюцію хвильової функції в трьох вимірах.
Тепер, в одному вимірі, гамільтоніан нерелятивістської частинки масиm приймає форму,H=p2x2m+V(x,t),
деV(x) знаходиться потенційна енергія. У трьох вимірах цей вираз узагальнюється доH=p2x+p2y+p2z2m+V(x,y,z,t).
Отже, використовуючи рівняння ([e6.12]) — ([e6.14]) і ([e6.15]), тривимірна версія залежного від часу рівняння Шрендігера стає [див. Рівняння ([e3.1])] iℏ∂ψ∂t=−ℏ22m∇2ψ+Vψ.
Тут∇2≡∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2
диференціальний оператор відомий як Лапласиан. До речі, рівняння збереження ймовірності ([e6.8]) легко виводиться з Рівняння ([esh3d]). Власний стан гамільтоніана, відповідного власному значенню,E задовольняєHψ=Eψ.
З Рівняння ([e6.15]), що (див. Розділ [sstat]),ψ(x,y,z,t)=ψ(x,y,z)e−iEt/ℏ,
де стаціонарна хвильова функціяψ(x,y,z) задовольняє тривимірну версію часу- незалежне рівняння Шрендігера [див. Рівняння ([etimeii])]:∇2ψ=2mℏ2(V−E)ψ,
деV передбачається, що не залежить явно відt.