6.1: Фундаментальні поняття
- Page ID
- 76857
Ми бачили, що в одному вимірі миттєвий стан однієї нерелятивістської частинки повністю задається складною хвильовою функцією,\(\psi(x,t)\). Імовірність знаходження частинки в часі\(t\) між\(x\) і\(x+dx\) є\(P(x,t)\,dx\), де\[P(x,t) = |\psi(x,t)|^{\,2}.\] Причому хвильова функція нормалізується така, що\[\int_{-\infty}^\infty |\psi(x,t)|^{\,2}\,dx = 1\] в усі часи.
У трьох вимірах миттєвий стан однієї частинки також повністю визначається складною хвильовою функцією,\(\psi(x,y,z,t)\). За аналогією з одновимірним випадком ймовірність знаходження частинки в часі\(t\) між\(x\) і\(x+dx\), між і, і між\(y\) і\(y+dx\), і між\(z\) і\(z+dz\), є\(P(x,y,z,t)\,dx\,dy\,dz\), де,\[P(x,y,z,t) = |\psi(x,y,z,t)|^{\,2}.\] як завжди, ця інтерпретація хвильової функції тільки робить сенс, якщо хвильова функція нормалізується таким чином, що\[\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty |\psi(x,y,z,t)|^{\,2}\,dx\,dy\,dz = 1.\] це обмеження нормалізації гарантує, що ймовірність знаходження частинки в будь-якому місці є простором завжди єдність.
В одному вимірі ми можемо записати рівняння збереження ймовірності (див. Розділ [s4.5]), \[\label{e6.5} \frac{\partial|\psi|^{\,2}}{\partial t} + \frac{\partial j}{\partial x} = 0,\]де\[j = \frac{{\rm i}\,\hbar}{2\,m}\left(\psi\,\frac{\partial\psi^\ast}{\partial x} - \psi^\ast\,\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)\] потік ймовірності вздовж\(x\) -осі. Інтегруючи рівняння ([e6.5]) у всьому просторі та використовуючи той факт, що\(\psi\rightarrow 0\)\(|x|\rightarrow\infty\) ніби\(\psi\) має бути інтегрованим по квадрату, ми отримуємо\[\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x,t)|^{\,2}\,dx = 0.\] Іншими словами, якщо хвильова функція спочатку нормалізується, то вона залишається нормалізованою з часом. Це необхідний критерій життєздатності нашої основної трактування\(|\psi|^{\,2}\) як щільності ймовірності.
У трьох вимірах, за аналогією з одновимірним випадком, рівняння збереження ймовірності стає \[\label{e6.8} \frac{\partial|\psi|^{\,2}}{\partial t} + \frac{\partial j_x}{\partial x} + \frac{\partial j_y}{\partial y} + \frac{\partial j_z}{\partial z}= 0.\]Тут,\[j_{x} =\frac{{\rm i}\,\hbar}{2\,m}\left(\psi\,\frac{\partial\psi^\ast}{\partial x} - \psi^\ast\,\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)\] є потік ймовірності вздовж\(x\) -осі, і\[j_{y} =\frac{{\rm i}\,\hbar}{2\,m}\left(\psi\,\frac{\partial\psi^\ast}{\partial y} - \psi^\ast\,\frac{\partial\psi}{\partial y}\right)\] потік ймовірності вздовж\(y\) -осі і так далі. Інтегруючи рівняння ([e6.8]) у всьому просторі та використовуючи той факт, що\(\psi\rightarrow 0\)\(|{\bf r}|\rightarrow\infty\) ніби\(\psi\) має бути інтегрованим по квадрату, ми отримуємо\[\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x,y,z,t)|^{\,2}\,dx\,dy\,dz = 0.\] Таким чином, нормалізація хвильової функції знову зберігається з часом, як і повинно бути, якщо\(|\psi|^{\,2}\) має бути інтерпретується як щільність ймовірності.
В одному вимірі позиція представлена алгебраїчним оператором\(x\), тоді як імпульс представлений диференціальним оператором\(-{\rm i}\,\hbar\,\partial/\partial x\). (Див. Розділ [s4.6].) За аналогією, в трьох вимірах декартові координати\(x\)\(y\), і\(z\) представлені алгебраїчними операторами\(x\), і\(y\), відповідно\(z\), тоді як три декартові складові імпульсу\(p_x\),\(p_y\),, і\(p_z\), мають наступні уявлення: \[\begin{aligned} \label{e6.12} p_x &\equiv -{\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial}{\partial x},\\[0.5ex] p_y &\equiv -{\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial}{\partial y},\\[0.5ex] p_z &\equiv -{\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial}{\partial z}.\label{e6.14}\end{aligned}\]
Нехай\(x_1 =x\),\(x_2=y\),\(x_3=z\), і\(p_1=p_x\), і так далі. Оскільки\(x_i\) це незалежні змінні (тобто\(\partial x_i/\partial x_j=\delta_{ij}\)), ми робимо висновок, що різні оператори позиції та імпульсу задовольняють такі відносини комутації: \[\begin{aligned} \label{commxx} [x_i,x_j] &= 0,\\[0.5ex] [p_i,p_j] &= 0,\label{commpp}\\[0.5ex] [x_i,p_j] &= {\rm i}\,\hbar\,\delta_{ij}.\label{commxp}\end{aligned}\]Тепер, ми знаємо, з розділу [smeas], що два динамічні змінні можуть бути (точно) виміряні одночасно, якщо оператори, які представляють їх у квантовій механіці, комутують один з одним. Таким чином, з попередніх комутаційних відносин зрозуміло, що єдиним обмеженням на вимірювання в системі, що складається з однієї частинки, що рухається в трьох вимірах, є те, що неможливо одночасно виміряти задану координату положення і відповідну складову імпульсу. Зверніть увагу, однак, що цілком можливо одночасно виміряти дві різні координати позицій, або дві різні складові імпульсу. Комутаційні відносини ([commxx]) — ([commxp]) ще раз ілюструють той момент, що квантові механічні оператори, що відповідають різним ступеням свободи динамічної системи (в даному випадку руху в різних напрямках) схильні комутувати один з одним. (Див. Розділ [sfunction].)
В одному вимірі часова еволюція хвильової функції задається [див. Рівняння ([etimed])], \[\label{e6.15} {\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial\psi}{\partial t} = H\,\psi,\]де\(H\) знаходиться гамільтоніан. Це ж рівняння регулює часову еволюцію хвильової функції в трьох вимірах.
Тепер, в одному вимірі, гамільтоніан нерелятивістської частинки маси\(m\) приймає форму,\[H = \frac{p_x^{\,2}}{2\,m} + V(x,t),\] де\(V(x)\) знаходиться потенційна енергія. У трьох вимірах цей вираз узагальнюється до\[H = \frac{p_x^{\,2}+ p_y^{\,2}+p_z^{\,2}}{2\,m} + V(x,y,z,t).\] Отже, використовуючи рівняння ([e6.12]) — ([e6.14]) і ([e6.15]), тривимірна версія залежного від часу рівняння Шрендігера стає [див. Рівняння ([e3.1])] \[\label{esh3d} {\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial\psi}{\partial t} = - \frac{\hbar^{\,2}}{2\,m}\, \nabla^{\,2}\psi + V\,\psi.\]Тут\[\nabla^{\,2} \equiv \frac{\partial^{\,2}}{\partial x^{\,2}} + \frac{\partial^{\,2}}{\partial y^{\,2}} + \frac{\partial^{\,2}}{\partial z^{\,2}}\] диференціальний оператор відомий як Лапласиан. До речі, рівняння збереження ймовірності ([e6.8]) легко виводиться з Рівняння ([esh3d]). Власний стан гамільтоніана, відповідного власному значенню,\(E\) задовольняє\[H\,\psi = E\,\psi.\] З Рівняння ([e6.15]), що (див. Розділ [sstat]),\[\psi(x,y,z,t) = \psi(x,y,z)\,{\rm e}^{-{\rm i}\,E\,t/\hbar},\] де стаціонарна хвильова функція\(\psi(x,y,z)\) задовольняє тривимірну версію часу- незалежне рівняння Шрендігера [див. Рівняння ([etimeii])]:\[\nabla^{\,2}\psi = \frac{2\,m}{\hbar^{\,2}}\,(V-E)\,\psi,\] де\(V\) передбачається, що не залежить явно від\(t\).