6.1: Фундаментальні поняття

Ми бачили, що в одному вимірі миттєвий стан однієї нерелятивістської частинки повністю задається складною хвильовою функцією,$\psi(x,t)$. Імовірність знаходження частинки в часі$t$ між$x$ і$x+dx$ є$P(x,t)\,dx$, де $$P(x,t) = |\psi(x,t)|^{\,2}.$$ Причому хвильова функція нормалізується така, що $$\int_{-\infty}^\infty |\psi(x,t)|^{\,2}\,dx = 1$$ в усі часи.

У трьох вимірах миттєвий стан однієї частинки також повністю визначається складною хвильовою функцією,$\psi(x,y,z,t)$. За аналогією з одновимірним випадком ймовірність знаходження частинки в часі$t$ між$x$ і$x+dx$, між і, і між$y$ і$y+dx$, і між$z$ і$z+dz$, є$P(x,y,z,t)\,dx\,dy\,dz$, де, $$P(x,y,z,t) = |\psi(x,y,z,t)|^{\,2}.$$ як завжди, ця інтерпретація хвильової функції тільки робить сенс, якщо хвильова функція нормалізується таким чином, що $$\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty |\psi(x,y,z,t)|^{\,2}\,dx\,dy\,dz = 1.$$ це обмеження нормалізації гарантує, що ймовірність знаходження частинки в будь-якому місці є простором завжди єдність.

В одному вимірі ми можемо записати рівняння збереження ймовірності (див. Розділ [s4.5]), $$\label{e6.5} \frac{\partial|\psi|^{\,2}}{\partial t} + \frac{\partial j}{\partial x} = 0,$$ де $$j = \frac{{\rm i}\,\hbar}{2\,m}\left(\psi\,\frac{\partial\psi^\ast}{\partial x} - \psi^\ast\,\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)$$ потік ймовірності вздовж$x$ -осі. Інтегруючи рівняння ([e6.5]) у всьому просторі та використовуючи той факт, що$\psi\rightarrow 0$$|x|\rightarrow\infty$ ніби$\psi$ має бути інтегрованим по квадрату, ми отримуємо $$\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x,t)|^{\,2}\,dx = 0.$$ Іншими словами, якщо хвильова функція спочатку нормалізується, то вона залишається нормалізованою з часом. Це необхідний критерій життєздатності нашої основної трактування$|\psi|^{\,2}$ як щільності ймовірності.

У трьох вимірах, за аналогією з одновимірним випадком, рівняння збереження ймовірності стає $$\label{e6.8} \frac{\partial|\psi|^{\,2}}{\partial t} + \frac{\partial j_x}{\partial x} + \frac{\partial j_y}{\partial y} + \frac{\partial j_z}{\partial z}= 0.$$ Тут, $$j_{x} =\frac{{\rm i}\,\hbar}{2\,m}\left(\psi\,\frac{\partial\psi^\ast}{\partial x} - \psi^\ast\,\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)$$ є потік ймовірності вздовж$x$ -осі, і $$j_{y} =\frac{{\rm i}\,\hbar}{2\,m}\left(\psi\,\frac{\partial\psi^\ast}{\partial y} - \psi^\ast\,\frac{\partial\psi}{\partial y}\right)$$ потік ймовірності вздовж$y$ -осі і так далі. Інтегруючи рівняння ([e6.8]) у всьому просторі та використовуючи той факт, що$\psi\rightarrow 0$$|{\bf r}|\rightarrow\infty$ ніби$\psi$ має бути інтегрованим по квадрату, ми отримуємо $$\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x,y,z,t)|^{\,2}\,dx\,dy\,dz = 0.$$ Таким чином, нормалізація хвильової функції знову зберігається з часом, як і повинно бути, якщо$|\psi|^{\,2}$ має бути інтерпретується як щільність ймовірності.

В одному вимірі позиція представлена алгебраїчним оператором$x$, тоді як імпульс представлений диференціальним оператором$-{\rm i}\,\hbar\,\partial/\partial x$. (Див. Розділ [s4.6].) За аналогією, в трьох вимірах декартові координати$x$$y$, і$z$ представлені алгебраїчними операторами$x$, і$y$, відповідно$z$, тоді як три декартові складові імпульсу$p_x$,$p_y$,, і$p_z$, мають наступні уявлення: $$\begin{aligned} \label{e6.12} p_x &\equiv -{\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial}{\partial x},\\[0.5ex] p_y &\equiv -{\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial}{\partial y},\\[0.5ex] p_z &\equiv -{\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial}{\partial z}.\label{e6.14}\end{aligned}$$

Нехай$x_1 =x$,$x_2=y$,$x_3=z$, і$p_1=p_x$, і так далі. Оскільки$x_i$ це незалежні змінні (тобто$\partial x_i/\partial x_j=\delta_{ij}$), ми робимо висновок, що різні оператори позиції та імпульсу задовольняють такі відносини комутації: $$\begin{aligned} \label{commxx} [x_i,x_j] &= 0,\\[0.5ex] [p_i,p_j] &= 0,\label{commpp}\\[0.5ex] [x_i,p_j] &= {\rm i}\,\hbar\,\delta_{ij}.\label{commxp}\end{aligned}$$ Тепер, ми знаємо, з розділу [smeas], що два динамічні змінні можуть бути (точно) виміряні одночасно, якщо оператори, які представляють їх у квантовій механіці, комутують один з одним. Таким чином, з попередніх комутаційних відносин зрозуміло, що єдиним обмеженням на вимірювання в системі, що складається з однієї частинки, що рухається в трьох вимірах, є те, що неможливо одночасно виміряти задану координату положення і відповідну складову імпульсу. Зверніть увагу, однак, що цілком можливо одночасно виміряти дві різні координати позицій, або дві різні складові імпульсу. Комутаційні відносини ([commxx]) — ([commxp]) ще раз ілюструють той момент, що квантові механічні оператори, що відповідають різним ступеням свободи динамічної системи (в даному випадку руху в різних напрямках) схильні комутувати один з одним. (Див. Розділ [sfunction].)

В одному вимірі часова еволюція хвильової функції задається [див. Рівняння ([etimed])], $$\label{e6.15} {\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial\psi}{\partial t} = H\,\psi,$$ де$H$ знаходиться гамільтоніан. Це ж рівняння регулює часову еволюцію хвильової функції в трьох вимірах.

Тепер, в одному вимірі, гамільтоніан нерелятивістської частинки маси$m$ приймає форму, $$H = \frac{p_x^{\,2}}{2\,m} + V(x,t),$$ де$V(x)$ знаходиться потенційна енергія. У трьох вимірах цей вираз узагальнюється до $$H = \frac{p_x^{\,2}+ p_y^{\,2}+p_z^{\,2}}{2\,m} + V(x,y,z,t).$$ Отже, використовуючи рівняння ([e6.12]) — ([e6.14]) і ([e6.15]), тривимірна версія залежного від часу рівняння Шрендігера стає [див. Рівняння ([e3.1])] $$\label{esh3d} {\rm i}\,\hbar\,\frac{\partial\psi}{\partial t} = - \frac{\hbar^{\,2}}{2\,m}\, \nabla^{\,2}\psi + V\,\psi.$$ Тут $$\nabla^{\,2} \equiv \frac{\partial^{\,2}}{\partial x^{\,2}} + \frac{\partial^{\,2}}{\partial y^{\,2}} + \frac{\partial^{\,2}}{\partial z^{\,2}}$$ диференціальний оператор відомий як Лапласиан. До речі, рівняння збереження ймовірності ([e6.8]) легко виводиться з Рівняння ([esh3d]). Власний стан гамільтоніана, відповідного власному значенню,$E$ задовольняє $$H\,\psi = E\,\psi.$$ З Рівняння ([e6.15]), що (див. Розділ [sstat]), $$\psi(x,y,z,t) = \psi(x,y,z)\,{\rm e}^{-{\rm i}\,E\,t/\hbar},$$ де стаціонарна хвильова функція$\psi(x,y,z)$ задовольняє тривимірну версію часу- незалежне рівняння Шрендігера [див. Рівняння ([etimeii])]: $$\nabla^{\,2}\psi = \frac{2\,m}{\hbar^{\,2}}\,(V-E)\,\psi,$$ де$V$ передбачається, що не залежить явно від$t$.

Дописувачі та атрибуція

• Template:ContribFitzpatrick