11.6: Синусоїдальні сигнали на кінцевій лінії

Last updated
Save as PDF

Page ID: 78363

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Нехай лінія передачі, що має характеристичний опір Z ₀, буде використана для підключення генератора синусоїдальних сигналів до навантаження, Z _L, як показано на малюнку (11.6.12). У фазорових позначеннях може бути записано напруга генератора

\[ \mathrm{V}_{\mathrm{G}}(\mathrm{t})=\mathrm{V}_{0} \exp [i \omega \mathrm{t}]; \label{11.32}\]

це відповідає варіації в реальному часі cos ωt. Позитивний знак був використаний у фазорній експоненціальній відповідно до звичайної інженерної конвенції для опису ланцюгів змінного струму. Різниця потенціалів в будь-якій точці вздовж лінії буде складатися з хвилі, що поширюється вперед, плюс назад поширюється хвилі за рахунок відбиття від навантаження. Нагадаємо, що поточні і потенційні хвилі повинні бути функціями (z-vt) і (z+vt), щоб задовольнити рівняння Максвелла (11.3.8). Хвиля напруги, що поширюється вперед

Малюнок 11.2.PNG — Малюнок\(\PageIndex{12}\): Лінія електропередачі довжиною L метрів використовується для підключення синусоїдального генератора до імпедансу навантаження Z _L Ом.

тому повинен мати форму

\[\mathrm{V}_{\mathrm{f}}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\mathrm{a} \exp \left(-i \frac{\omega}{\mathrm{v}}[\mathrm{z}-\mathrm{vt}]\right)=\mathrm{a} \exp\left(-i \frac{\omega \mathrm{z}}{\mathrm{v}}\right) \exp (i \omega \mathrm{t}) , \nonumber \]

і відбита хвиля повинна мати вигляд

\[\mathrm{V}_{\mathrm{r}}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\mathrm{b} \exp \left(i \frac{\omega}{\mathrm{v}}[\mathrm{z}+\mathrm{vt}]\right)=\mathrm{b} \exp \left(i \frac{\omega \mathrm{Z}}{\mathrm{v}}\right) \exp (i \omega \mathrm{t}) , \nonumber \]

де a, b - константи, які повинні визначатися з потенціалу генератора і з граничних умов при навантаженні, тобто Z _L = V/I. прийнято записувати k = ω/v, де ω = 2\(\pi\) f і де v - швидкість імпульсу на кабелі. Різниця потенціалів в будь-якій точці вздовж лінії задається

\[\mathrm{V}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=(\operatorname{aexp}(-i \mathrm{kz})+\mathrm{b} \exp (+i \mathrm{kz})) \exp (+i \omega \mathrm{t}) , \label{11.33}\]

і струм задається

\[\mathrm{I}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\left(\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{Z}_{0}}\right) \exp (-i \mathrm{kz})-\left(\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{Z}_{0}}\right) \exp (+i \mathrm{kz})\right) \exp (+i \omega \mathrm{t}) . \label{11.34}\]

Вираз (\ ref {11.34}) для струму випливає з Рівняння (\ ref {11.33}) для напруги, поєднаної з характеристичними імпедансами лінії електропередачі для прямої і зворотної поширюються хвиль, Рівняння (11.2.8) і (11.2.9). У генератора, який вважається розташованим на z=0, один має

\[ \mathrm{V}_{0}=\mathrm{a}+\mathrm{b}. \nonumber \]

При навантаженні, прийнятому в Z=L, один має

\[ \mathrm{V} / \mathrm{I}=\mathrm{Z}_{\mathrm{L}}, \nonumber \]

або

\[\left(\frac{\operatorname{aexp}(-i \mathrm{kL})+\mathrm{b} \exp (+i \mathrm{kL})}{\mathrm{a} \exp (-i \mathrm{kL})-\mathrm{b} \exp (+i \mathrm{kL})}\right)=\left(\frac{\mathrm{Z}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{Z}_{0}}\right) . \nonumber \]

Наведені вище два рівняння можна вирішити, щоб дати

\ [\ почати {вирівняти}
a &=\ розрив {\ лівий (\ frac {z_ {L}} {Z_ {0}} +1\ праворуч) V_ {0}} {\ лівий (\ лівий (\ frac {z_ {L}}} {Z_ {0}} +1\ праворуч) +\ лівий (\ frac {z_ {L}} {Z {0} -1}\ праворуч)\ exp (-2 i k L)\ праворуч)}\ nonumber\\
b &=\ frac {\ лівий (\ frac {Z_ {L}} {Z_ {0}} -1\ праворуч) V_ {0}\ exp (-2 і k L)} {\ лівий (\ лівий (\ frac {Z_ {L}} {Z_} {0}} +1\ праворуч) +\ ліворуч (\ frac {Z_ {L}} {Z_ {0}} -1\ праворуч)\ exp (-2 і k L)\ праворуч)}. \ мітка {10.35}
\ кінець {вирівнювання}\]

Імпеданс, як видно генератором, можна отримати від напруги та струму при z = 0:

\[ \mathrm{Z}_{\mathrm{G}}=\frac{\mathrm{V}(\mathrm{z}=0)}{\mathrm{I}(\mathrm{z}=0)}=\frac{\mathrm{V}_{0}}{[\mathrm{a}-\mathrm{b}]} \mathrm{Z}_{0}, \nonumber \]

або

\[ \frac{\mathrm{Z}_{\mathrm{G}}}{\mathrm{Z}_{0}}=\frac{\left(\frac{\mathrm{z}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{Z}_{0}}+1\right)+\left(\frac{\mathrm{Z}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{Z}_{0}}-1\right) \exp (-2 i \mathrm{kL})}{\left(\left(\frac{\mathrm{z}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{Z}_{0}}+1\right)-\left(\frac{\mathrm{Z}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{Z}_{0}}-1\right) \exp (-2 i \mathrm{kL})\right)}. \nonumber \]

Або, вводячи зменшений імпеданс z _G = Z _L/Z ₀ і нову змінну\(\Gamma\), де

\[\Gamma=\left(\frac{\frac{\mathrm{Z}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{Z}_{0}}-1}{\frac{\mathrm{Z}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{Z}_{0}}+1}\right)=\left(\frac{\mathrm{z}_{\mathrm{L}}-1}{\mathrm{z}_{\mathrm{L}}+1}\right) , \label{11.36}\]

одна знахідка

\[ \mathrm{z}_{\mathrm{G}}=\left(\frac{1+\Gamma \exp (-2 i \mathrm{kL})}{1-\Gamma \exp (-2 i \mathrm{kL})}\right)=\left(\frac{\exp (+i \mathrm{kL})+\Gamma \exp (-i \mathrm{kL})}{\exp (+i \mathrm{kL})-\Gamma \exp (-i \mathrm{kL})}\right). \label{11.37}\]

У вищезгаданій розробці передбачалося, що кабель без втрат.

Вираз для навантаження на генератор, Equation (\ ref {11.37}), є досить складним, але повинно бути зрозуміло, що імпеданс, як видно з генератора, може сильно відрізнятися від імпедансу навантаження, особливо якщо довжина кабелю, L, порівнянна з довжиною хвилі або більшою за порушення на кабелі, λ, де

\[ \mathrm{k}=\frac{2 \pi}{\lambda}=\omega / \mathrm{v}. \nonumber \]

Кілька конкретних прикладів можуть допомогти сформувати картину того, як кабель може бути використаний для перетворення опору навантаження.

11.6.1 Випадок (1). Короткий кабель.

Для цього випадку Z _L = 0 і\(\Gamma\) = -1 з Рівняння (\ ref {11.36}) так що

Перш за все, зверніть увагу, що імпеданс, як видно з генератора, взагалі не дорівнює нулю: насправді, коли довжина кабелю така, що КЛ =\(\pi\) /2, 3\(\pi\) /2, 5\(\pi\) /2 і т.д. генератор виявляється приєднаним до обриву ланцюга! Якщо враховувати втрати кабелю (див. Нижче), навантаження на генератор буде кінцевою на цих довжині, але великою в порівнянні з характеристичним опором за умови, що лінія не надто довга. Умова KL =\(\pi\) /2 відповідає кабелю, який є довжиною чверті довжини хвилі, L = λ/4. По-друге, якщо імпеданс, як видно з генератора, не дорівнює нулю (тобто L не кратний половині хвилі) або нескінченний (L непарний кратний чверті довжини хвилі), це здається чистим реактивним опором, якщо кабель без втрат. Це має сенс, оскільки кабель без втрат і навантаження без втрат не можуть поглинати жодної енергії від генератора. Наприклад, якщо KL=\(\pi\) /4, L = λ/8, імпеданс у генератора дорівнює Z _G = +iZ ₀, і тому генератор дивиться в чисто індуктивну навантаження.

11.6.2 Футляр (2). Відкритий кабель.

Для цього випадку ZL = ∞ і, отже,\(\Gamma\) = +1 з Рівняння (\ ref {11.36}). Знижений імпеданс на клемах генератора задається

\[\mathrm{z}_{\mathrm{G}}=\frac{1+\exp (-2 i \mathrm{kL})}{1-\exp (-2 i \mathrm{kL})}=-i \cot \mathrm{kL} . \nonumber \]

Навантаження генератора представляється обімкнутою ланцюгом, якщо довжина кабелю кратна половині хвилі. Кабель, довжина якого непарно кратна чверті довжини хвилі, представляє коротке замикання на генератор. Для іншої довжини кабелю генератор, здається, підключений до конденсатора або індуктора відповідно до того, чи є cot kL позитивним чи негативним.

11.6.3 Корпус (3). Кабель припиняється характеристичним імпедансом.

Для цього випадку\(\Gamma\) = 0 з Рівняння (\ ref {11.36}) і тому імпеданс у генератора дорівнює z _G = 1, або Z _G = Z ₀. Т навантаження на генератор не залежить від довжини кабелю.

11.6.4 Корпус (4). Чисто індуктивне навантаження.

Нехай індуктор буде таким, що Z _L = iLΩ дорівнює за величиною характеристичного опору, Z ₀. Тоді z _L = Z _Л/Z ₀ і тому

\[\Gamma=\frac{i-1}{i+1}=+i . \nonumber \]

Нормоване навантаження на генератор, з Рівняння (\ ref {11.37}), дорівнює

\[\mathrm{z}_{\mathrm{G}}=\frac{\mathrm{Z}_{\mathrm{G}}}{\mathrm{Z}_{0}}=\left(\frac{1+\sin 2 \mathrm{kL}+i \cos 2 \mathrm{kL}}{1-\sin 2 \mathrm{kL}-i \cos 2 \mathrm{kL}}\right). \nonumber\]

У межі, як k _L →\(\pi\) /4 (L→ λ/8) генератор, здається, приєднаний до розімкнутого ланцюга. Однак для лінії чверті довжини хвилі, kL =\(\pi\) /2, навантаження генератора, здається, обумовлена чистою ємністю, такою, що 1/CΩ = Z ₀. Для КЛ = 3\(\pi\) /4, L = 3λ/8 генератор дивиться в коротке замикання. Нарешті, для кабелю з половиною хвилі генератор бачить індуктивний реактивний опір такий, що LΩ = Z ₀. У міру збільшення довжини кабелю далі весь цикл повторюється.

11.6.5 Футляр (5). Чисто ємнісне навантаження.

Нехай конденсатор буде таким, що Z _L = −i/CΩ має величину характеристичного імпедансу, Z ₀. Для цього випадку z _L = Z _L/Z ₀ = −i, а

\[ \Gamma=\frac{z_{L}-1}{z_{L}+1}=-i. \nonumber\]

Нормований імпеданс, як видно генератором, задається

\[\mathrm{z}_{\mathrm{G}}=\frac{\mathrm{Z}_{\mathrm{G}}}{\mathrm{Z}_{0}}=\left(\frac{1-\sin 2 \mathrm{kL}-i \cos 2 \mathrm{kL}}{1+\sin 2 \mathrm{kL}+i \cos 2 \mathrm{kL}}\right) . \nonumber \]

Цей випадок дуже схожий на випадок кабелю, що закінчується індуктором. Для КЛ =\(\pi\) /4, L = λ/8 генератор коротке замикання, оскільки z _G = 0. Для чверті лінії довжини хвилі, KL =\(\pi\) /2, генератор дивиться в чисту індуктивність, z _G = +i Для KL = 3\(\pi\) /4, L = 3λ/8, можна виявити, що z _G → ∞ так що генератор, здається, дивиться в розімкнуту ланцюг. Нарешті, для лінії з половиною хвилі, kL=\(\pi\), виходить такий же ефект, як якщо б навантаження була підключена безпосередньо через генератор. Весь цикл повторюється у міру збільшення довжини кабелю.

11.6.6 Резюме

З наведених вище прикладів можна зробити наступні висновки:

Кабель діє як імпедансний трансформатор.
Кабель без втрат, довжина якого є інтегральним числом довжин напівхвиль, ефективно розміщує навантаження безпосередньо на клеми генератора, тобто Z _G = Z _L.
Кабель без втрат, довжина якого є непарною кратною чверті довжини хвилі, діє як інвертор імпедансу. Для цього випадку exp (−2iKl) = −1 так, що з Рівняння (\ ref {11.37})

\[\mathrm{z}_{\mathrm{G}}=\frac{1-\Gamma}{1+\Gamma} \equiv 1 / \mathrm{z}_{\mathrm{L}} . \nonumber \]

Формула імпедансу на клемах генератора через імпеданс навантаження і довжини кабелю, що з'єднує навантаження з генератором, Equation (\ ref {11.37}), дуже складна. Розроблено графічні методи визначення навантаження на генератор з урахуванням імпедансу навантаження, ЗЛ і характеристик ЛЕП. Дуже поширений метод заснований на використанні діаграми Сміта: він детально описаний у книзі «Мікрохвильові вимірювання» Е.Л. Гінзтона, Макгроу-Хілл, Нью-Йорк, 1957; розділ 4.9. Потреба в графічній техніці стала набагато менш актуальною тепер, коли цифрові комп'ютери стали легко доступними.