11.5: Припинена лінія
- Page ID
- 78375
Будь-який розрив у властивостях лінії електропередачі призводить до відбитого імпульсу і переданого імпульсу, амплітуди якого менше початкової амплітуди імпульсу. Для того щоб побачити, як це відбувається, розглянемо кілька простих випадків
(i) Два імпульси однакової форми, але дзеркальні зображення, поширюються один до одного на нескінченній лінії, рис. (11.5.8 (a)). Експеримент налаштований так, що імпульси стикаються при z=0. Рівняння Максвелла лінійні, і ми припустимо, що діелектричний і магнітний відгук матеріалу, з якого виконана лінія, також лінійний. Для лінійної реакції загальна різниця потенціалів у будь-якій точці є лише сумою різниць потенціалів, пов'язаних з двома імпульсами; аналогічно струм у будь-якій точці лінії є сумою струмів в окремих імпульсах. Зокрема, при z=0, де стикаються два імпульси, струм дорівнює нулю! Імпульси проходять один через одного, не взаємодіючи. Під час перекриття напруга при z = 0 буде вдвічі більше, ніж було б для одного імпульсу. Система двох імпульсів, показана на малюнку (11.5.8), задовольняє граничним умовам при z=0 для відкритої лінії, тобто I=0. З цього можна зробити висновок, що спостерігач, поміщений зліва від точки z = 0, не зміг визначити різницю між експериментом, в якому один імпульс вводять в лінію, яка є відкритою (тобто закінчується розімкнутою ланцюгом) при z = 0 або експеримент, в якому два дзеркальних імпульси зображення вводяться в нескінченна лінія з протилежних напрямків.
Інший спосіб отримання цього результату починається з загальних виразів для напруги і струму на лінії електропередачі,
\[\text{V}(\text{z}, \text{t})=\text{F}(\text{z}-\text{vt})+\text{G}(\text{z}+\text{vt}) ,\nonumber \]
і
\[\text{I}(\text{z}, \text{t})=\text{F}(\text{z}-\text{vt}) / \text{Z}_{0}-\text{G}(\text{z}+\text{vt}) / \text{Z}_{0} . \nonumber \]
Струм повинен бути нульовим за весь час при обриві ланцюга, тобто в цій точці на лінії
\[\text{I}=0=(\text{F}-\text{G}) / \text{Z}_{0} . \nonumber \]
З цього випливає, що при обриві ланцюга F = G на всі часи, а значить відбитий імпульс в будь-який момент, G (z+vt), повинен бути дзеркальним відображенням падаючого імпульсу F (z-vt), де дзеркало знаходиться в положенні обриву ланцюга.
(ii) Два імпульси однакової форми, але один імпульс є дзеркальним відображенням іншого і інвертований, як показано на малюнку (11.5.9), запускаються один до одного на нескінченній лінії. Вони стикаються при z=0. Оскільки система є лінійною, імпульси просто проходять один через одного, не взаємодіючи будь-яким чином. У цьому випадку різниця потенціалів при z=0 завжди залишається рівною нулю, оскільки два імпульси напруги скасовують один одного. З іншого боку, два імпульси струму додають, так що при z = 0 струм стає вдвічі більшим, ніж це було б для проходження одного імпульсу. Таким чином, ці два імпульси, що поширюються лічильником, задовольняють граничним умовам при z=0, необхідним для короткого замикання, тобто при z=0 один має R=V/I = 0. З цього експерименту ми можемо зробити висновок, що імпульс інвертується при відображенні від кінця короткої лінії.
Принцип, проілюстрований цими двома прикладами, можна розширити, щоб охопити випадок лінії, закінченої довільним опором R Ом. Нехай падаючий імпульс має амплітуду V 0 Вольт. Нехай амплітуда відбитого імпульсу буде V R Вольт. Відповідними струмами є I 0 = V 0 /Z 0 і I R = −V R/Z 0; останній струм негативний, оскільки імпульс поширюється справа наліво. Припустимо, що імпульси стикаються при z=0. При z=0 один має, за суперпозицією,
\[ \text{V}=\text{V}_{0}+\text{V}_{\text{R}}\nonumber \]
і
\[ \text{I}=\text{I}_{0}+\text{I}_{\text{R}}=\frac{\text{V}_{0}}{\text{Z}_{0}}-\frac{\text{V}_{\text{R}}}{\text{Z}_{0}}.\nonumber \]
Але ми вимагаємо R = V/I в точці z = 0. Тому
\[\text{R}=\text{Z}_{0}\left(\frac{\text{V}_{0}+\text{V}_{\text{R}}}{\text{V}_{0}-\text{V}_{\text{R}}}\right) .\nonumber \]
Це рівняння можна вирішити для того, щоб знайти амплітуду відбитого імпульсу і коефіцієнт відбиття, ρ = V R/V 0:
\[\rho=\left(\frac{\text{V}_{\text{R}}}{\text{V}_{0}}\right)=\frac{\left(\left(\text{R} / \text{Z}_{0}\right)-1\right)}{\left(\left(\text{R} / \text{Z}_{0}\right)+1\right)} . \label{11.28}\]
Два випадки, явно розглянуті вище, містяться в Рівнянні (\ ref {11.28}) як граничні випадки: якщо R → ∞ то ρ → +1, а імпульс напруги відбивається без зміни амплітуди і без зміни знака; якщо R → 0 то ρ → −1, і імпульс напруги відбивається без зміни амплітуди, але імпульс імпульсу перевернутий. З іншого боку, якщо R = Z 0 немає відбитого імпульсу, оскільки ρ = 0: імпульс повністю поглинається кінцевим опором. Лінія, закінчена опором, рівним характеристичному опору лінії, виглядає як нескінченна лінія до генератора.
Цей метод боротьби з розривом на лінії може бути продовжений для лікування ємнісного або індуктивного припинення. При конденсаторі потрібно
\[\text{Q}=\text{CV} \nonumber \]
або
\[\text{I}=\frac{\text{d} \text{Q}}{\text{dt}}=\text{C} \frac{\text{d} \text{V}}{\text{dt}} .\nonumber \]
Але I = I 0 + I R і V = V 0 + V R, так що
\[ \text{I}_{0}+\text{I}_{\text{R}}=\frac{\text{V}_{0}}{\text{Z}_{0}}-\frac{\text{V}_{\text{R}}}{\text{Z}_{0}}=\text{C}\left(\frac{\text{d} \text{V}_{0}}{\text{dt}}+\frac{\text{d} \text{V}_{\text{R}}}{\text{dt}}\right).\nonumber \]
Це співвідношення дає диференціальне рівняння, з якого V R (t) можна обчислити з відомої тимчасової залежності початкового імпульсу V 0 (t):
\[\frac{\text{d} \text{V}_{\text{R}}}{\text{dt}}+\left(\frac{1}{\text{CZ}_{0}}\right) \text{V}_{\text{R}}=-\frac{\text{d} \text{V}_{0}}{\text{dt}}+\left(\frac{1}{\text{CZ}_{0}}\right) \text{V}_{0}(\text{t}) . \label{11.29}\]
Як приклад розглянемо падаючий прямокутний імпульс, залежність від часу якого показана на малюнку (11.5.10). Похідна прямокутного імпульсу складається з двох дуже гострих імпульсів; один імпульс пов'язаний з передньою кромкою при t=0, де dV/dT = V 0\(\delta\) (t), а інший імпульс пов'язаний із задньою кромкою за t=t секунд, де dv/dT = −V 0\(\delta\) (t − T). У часовому інтервалі від t=0 до t=t амплітуда відбитих імпульсів при завершенні задається (від Equation (\ ref {11.29}))
\[\text{V}_{\text{R}}(\text{t})=\text{V}_{0}-2 \text{V}_{0} \exp (-\text{t} / \tau) ,\nonumber \]
де\(\tau\) = 0 CZ. При t=0 відбитий імпульс напруги має амплітуду V R = −V 0: це має сенс, оскільки спочатку незаряджений конденсатор виглядає як коротке замикання. Конденсатор заряджається зі швидкістю, визначеною постійною часу\(\tau\) = CZ 0, поки напруга на ньому не досягне значення 2V 0: він тоді виглядає як розімкнута ланцюг, оскільки не може приймати більше заряду. Коли конденсатор повністю заряджений і стає еквівалентним розімкнутому ланцюгу, амплітуда відбитих імпульсів стає рівною амплітуди падаючого імпульсу, а падіння потенціалу на конденсаторі дорівнює V = V 0 + V R = 2V 0. (Передбачалося, що
ширина імпульсу, Т, набагато більше постійної часу\(\tau\) = CZ 0). Після закінчення падаючого імпульсу, t = t, конденсатор, заряджений до різниці потенціалів 2В 0 Вольт, якраз розряджається в лінію з постійною часу\(\tau\) = CZ 0, і тому
\[\text{V}_{\text{R}}(\text{t})=2 \text{V}_{0} \exp (-[\text{t}-\text{T}] / \tau) \nonumber \]
для t ≥ Т.
Подібні аргументи можуть бути використані для обговорення лінії, що закінчується індуктором, опір якого набагато менше, ніж характеристичний опір, Z 0. Падіння потенціалу через індуктор пов'язане з струмом, що проходить через нього, співвідношенням
\[ \text{V}=\text{L}\left(\frac{\text{dI}}{\text{dt}}\right). \label{11.30}\]
Але при z=0 на кабелі, де імпульси перекриваються
\[ \text{I}=\text{I}_{0}+\text{I}_{\text{R}}=\frac{\text{V}_{0}}{\text{Z}_{0}}-\frac{\text{V}_{\text{R}}}{\text{Z}_{0}}, \nonumber \]
і
\[ \text{V}=\text{V}_{0}+\text{V}_{\text{R}}, \nonumber \]
де V 0 (t) - амплітуда падаючого імпульсу і V R (t) - відповідна амплітуда відбитого імпульсу. З граничної умови Рівняння (\ ref {11.30}) отримується
\[\text{V}_{0}(\text{t})+\text{V}_{\text{R}}(\text{t})=\frac{\text{L}}{\text{Z}_{0}}\left(\frac{\text{d} \text{V}_{0}}{\text{dt}}-\frac{\text{d} \text{V}_{\text{R}}}{\text{dt}}\right) , \nonumber \]
або
\[ \frac{\text{d} \text{V}_{\text{R}}}{\text{dt}}+\frac{\text{V}_{\text{R}}}{\tau}=\left(\frac{\text{d} \text{V}_{0}}{\text{dt}}\right)-\text{V}_{0} / \tau, \label{11.31} \]
де\(\tau\) = Л/З 0. Зміна часу падаючого імпульсу при z=0 відома таким чином, що диференціальне рівняння (\ ref {11.31}) може бути вирішено для зміни часу відбитого імпульсу, використовуючи умову, що V R (t) однаково дорівнює нулю для разів до прибуття падаючого імпульсу на закінчення. Розглянемо, як приклад, прямокутний імпульс тривалістю T, показаний на малюнку (11.5.11), де довжина імпульсу T набагато більше постійної часу\(\tau\) = L/Z 0. Похідна падаючого імпульсу дорівнює нулю скрізь, крім t=0, де dV 0 /dt = V 0\(\delta\) (t), і при t=t де dV 0 /dt = −V 0\(\delta\) (t − T). Ці імпульси виробляють кроки в
відбита напруга, V R, з+V 0 при t = 0 і −V 0 при t = t. амплітуда відбитих імпульсів при t = 0 дорівнює+V 0, оскільки спочатку індуктор виглядає як розімкнута ланцюг, оскільки немає потоку струму. Зрештою струм через індуктор накопичується до значення стійкого стану, і падіння напруги на індукторі стає нульовим; в цей момент індуктор виглядає як коротке замикання, так що амплітуда імпульсу відбитої напруги дорівнює V R = −V 0. Зміна часу відбитого імпульсу напруги становить
\[\text{V}_{\text{R}}(\text{t})=2 \text{V}_{0} \exp (-\text{t} / \tau)-\text{V}_{0}, \nonumber \]
для 0 < t ≤ T Відразу після t = t секунд імпульс руху став нулем, і тому енергія, що зберігається в індукторі, розпадається в лінію електропередачі зі швидкістю, визначеною індуктивністю і характеристичним опором, Z 0:
\[ \text{V}_{\text{R}}(\text{t})=-2 \text{V}_{0} \exp (-[\text{t}-\text{T}] / \tau), \nonumber \]
для t ≥ Т. Відбитий імпульс має негативну напругу, оскільки згортання магнітного поля в котушці індуктора працює для підтримки позитивного потоку струму. У відбитому імпульсі потік позитивного струму пов'язаний з негативною напругою.
Вищезазначені методи можуть бути розширені для лікування лінії електропередачі, що закінчується довільним імпедансом.