11.3: Коаксіальні кабелі
- Page ID
- 78374
Циліндричні координати доречні для задачі коаксіального кабелю, рис. (11.2.3). Відповідними рівняннями Максвелла стають
\[\operatorname{curl}(\vec{\text{E}})=-\mu_{0} \frac{\partial \vec{\text{H}}}{\partial \text{t}}, \nonumber\]
і
\[\operatorname{curl}(\vec{\text{H}})=\epsilon \frac{\partial \vec{\text{E}}}{\partial \text{t}}, \nonumber \]
де\(\epsilon\) - дійсне число для рядка без втрат. Шукайте розв'язки цих рівнянь, в яких за аналогією зі смугастою лінією, вигнутою навколо себе, електричне поле має тільки радіальну складову, E r, тобто незалежну від кута, а магнітне поле має лише кутово незалежну складову H θ:
\ [\ почати {вирівнювання}
&\ розрив {\ частковий\ текст {E} _ {\ текст {r}}} {\ частковий\ текст {z}} =-\ mu_ {0}\ frac {\ частковий\ текст {H} _ {\ тета}} {\ частковий\ текст {t}},\ етикетка {11.12}\\
&\ frac {\ частковий\ текст {H}
Callstack:
at (фізики/Електрика_і_магнетизм/Застосування_рівнянь_Максвелла_(Cochran_і_Heinrich)/11:_Лінії_електропередачі/11.03:_Коаксіальні_кабелі), /content/body/p[6]/span, line 1, column 2
\ end {вирівняти}\]
Крім того, візьміть E z = 0 тому, що тангенціальні складові електричного поля повинні дорівнювати нулю у ідеально провідних стінок коаксіального кабелю. Але якщо E z = 0, то з рівнянь Максвелла випливає, що
\[\operatorname{curl}(\vec{\text{H}})_{z}=0=\frac{1}{\text{r}} \frac{\partial}{\partial \text{r}}\left(\text{rH}_{\theta}\right). \nonumber \]
Це означає, що
\[\text{H}_{\theta}=\frac{\text{a}(\text{z}, \text{t})}{\text{r}}, \label{11.13}\]
де a (z, t) - функція часу і положення уздовж кабелю. Аналогічно, з div (\(\vec E\)) = 0 один має
\[\frac{1}{\text{r}} \frac{\partial}{\partial \text{r}}\left(\text{rE}_{\text{r}}\right)=0, \nonumber\]
і це задовольняє
\[\text{E}_{\text{r}}=\frac{\text{b}(\text{z}, \text{t})}{\text{r}}. \label{11.14}\]
Поєднуючи рівняння Максвелла (\ ref {11.12}) електричне та магнітне поля, рівняння (\ ref {11.13}) і (\ ref {11.14}), повинні задовольняти
\ [\ почати {вирівнювання}
&\ розрив {\ частково^ {2}\ текст {E} _ {\ текст {r}}} {\ частковий\ текст {z} ^ {2}} =-\ mu_ {0}\ frac {\ частковий ^ {2}\ текст {H} _ {\ тета}} {\ частковий\ текст {z}\ частковий\ текст {t}} = епсилон\ mu_ {0}\ frac {\ частковий ^ {2}\ текст {E} _ {\ текст {r}}} {\ частковий\ текст {t} ^ {2}},\ етикетка {11.15}\\
&\ frac {\ частковий ^ {2}\ текст {H} _ {\ тета}} {\ частковий\ текст {z} ^ {2}} =-\ epsilon\ frac {\ частковий ^ {2}\ текст {E} _ {\ текст {r}} {\ частковий\ текст {z}\ частковий\ текст {t}} =\ epsilon\ mu_ {0}\ frac {\ частковий\ текст {z}\ частковий\ текст {t}} =\ epsilon\ mu_ {0}\ frac {\ частковий\ текст {z}\ частковий\ текст {t}} {2}\ текст {H} _ {\ тета}} {\ частковий\ текст {t} ^ {2}}.
\ end {вирівняти}\]
Вони мають ту ж форму, що і рівняння смугової лінії (11.2.3). З цих рівнянь і з вимог (\ ref {11.13}) і (\ ref {11.14}) випливає, що загальне рішення для електричного поля можна записати
\[\text{E}_{\text{r}}(\text{z}, \text{t})=\frac{\text{F}(\text{z}-\text{vt})}{\text{r}}+\frac{\text{G}(\text{z}+\text{vt})}{\text{r}}, \label{11.16}\]
де F (u) і G (u) - довільні функції їх аргументів, а де
\[\text{v}=\frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu_{0}}}. \nonumber \]
Відповідним загальним рішенням для магнітного поля є
\[\text{H}_{\theta}(\text{z}, \text{t})=\epsilon \text{v}\left(\frac{\text{F}(\text{z}-\text{vt})}{\text{r}}-\frac{\text{G}(\text{z}+\text{vt})}{\text{r}}\right). \label{11.17}\]
Наведені вище електричні та магнітні поля задовольняють хвильові рівняння (\ ref {11.15}), вони задовольняють рівнянням (\ ref {11.12}) і мають вигляд, необхідний рівнянням (\ ref {11.13} і\ ref {11.14}).
Замість напруженості електричного поля стан електричного поля в кабелі можна задати різницею потенціалів між внутрішнім і зовнішнім провідниками:
\[\text{V}=\int_{\text{R}_{1}}^{\text{R}_{2}} \text{E}_{\text{r}} \text{dr}=\text{F}(\text{z}-\text{vt}) \int_{\text{R}_{1}}^{\text{R}_{2}} \frac{\text{d} \text{r}}{\text{r}}=\text{F}(\text{z}-\text{vt}) \ln \left(\frac{\text{R}_{2}}{\text{R}_{1}}\right) \nonumber\]
для вперед поширюється хвилі. Зверніть увагу, що внутрішній провідник позитивний по відношенню до зовнішнього провідника. Відповідний струм на внутрішньому провіднику задається
\[\text{I}=\text{J}_{\text{z}}\left(2 \pi \text{R}_{1}\right)=\text{H}_{\theta}\left(\text{R}_{1}\right)\left(2 \pi \text{R}_{1}\right)=\epsilon \text{v}\left(2 \pi \text{R}_{1}\right) \frac{\text{F}(\text{z}-\text{vt})}{\text{R}_{1}}, \nonumber\]
щоб
\[\text{I}=2 \pi \epsilon \text{v} \text{F}(\text{z}-\text{vt}). \nonumber\]
Струм тече в напрямку +z для струму на внутрішньому провіднику; струм тече до мінус z на зовнішньому провіднику. Тобто на зовнішньому провіднику
\[\text{I}=-2 \pi \text{R}_{2} \text{H}_{\theta}\left(\text{R}_{2}\right)=-2 \pi \epsilon \text{v} \text{F}(\text{z}-\text{vt}). \nonumber\]
щоб чистий струм через ділянку кабелю дорівнював нулю. Характерний опір кабелю задається
\[\text{Z}_{0}=\frac{\text{V}}{\text{I}}=\frac{1}{2 \pi \epsilon \text{v}} \ln \left(\frac{\text{R}_{2}}{\text{R}_{1}}\right)\nonumber\]
або
\[\text{Z}_{0}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{\mu_{0}}{\epsilon}} \ln \left(\frac{\text{R}_{2}}{\text{R}_{1}}\right). \label{11.18}\]
Різниця потенціалів, V, пропорційна електричному полю, E r, а струм, I, пропорційний магнітному полю, H θ, тому з Рівняння (\ ref {11.15}) напруга і струм задовольняють хвильові рівняння
\ [\ почати {вирівнювання}
&\ розрив {\ частково^ {2}\ текст {V}} {\ частковий\ текст {z} ^ {2}} =\ frac {1} {\ текст {v} ^ {2}}\ frac {\ частковий ^ {2}\ текст {V}} {\ частковий\ текст {t} ^ {2}},\ етикетка {11.19}\\
&\ гідророзриву {\ частковий ^ {2} I} {\ частковий z^ {2}} =\ розрив {1} {v^ {2}}\ розриву {\ частковий ^ {2} I} {\ частковий t^ {2}},
\ end { вирівняти}\]
де v 2 = 1/ (\(\epsilon\)μ 0). Для імпульсу, що поширюється вперед, що має форму
\[V(z, t)=F(z-v t) \nonumber\]
відповідний імпульс струму описується
\[\text{I}(\text{z}, \text{t})=\frac{1}{\text{Z}_{0}} \text{F}(\text{z}-\text{vt})=\frac{\text{V}(\text{z}, \text{t})}{\text{Z}_{0}}, \label{11.20}\]
де характеристичний опір для коаксіального кабелю задається рівнянням (11.18). Для зворотного поширення потенційного імпульсу форми
\[\text{V}(\text{z}, \text{t})=\text{G}(\text{z}+\text{vt}) \nonumber \]
відповідний імпульс струму описується
\[\text{I}(\text{z}, \text{t})=-\frac{1}{\text{Z}_{0}} \text{V}(\text{z}, \text{t})=-\frac{\text{G}(\text{z}+\text{vt})}{\text{Z}_{0}}. \label{11.21}\]
У вищезазначених рівняннях F (z-vt) і G (z+vt) є довільними функціями їх аргументів.