11.2: Стрип-лінії

Див. Малюнок (11.1.2). Електричне поле має лише x-складову, якщо крайові ефекти нехтуються, і в першому наближенні ця складова не залежить від положення по ширині смуги, тобто E _x не залежить від y. Аналогічно, магнітне поле має лише y-компонент і це не залежить від x і y. З рівняння Максвелла

\[\operatorname{curl}(\vec{\text{E}})=-\frac{\partial \vec{\text{B}}}{\partial \text{t}}=-\mu_{0} \frac{\partial \vec{\text{H}}}{\partial \text{t}}\nonumber \]

один має

\[\frac{\partial \text{E}_{\text{x}}}{\partial \text{z}}=-\mu_{0} \frac{\partial \text{H}_{\text{y}}}{\partial \text{t}}. \label{11.1}\]

З рівняння Максвелла

\[\operatorname{curl}(\vec{\text{H}})=\frac{\partial \vec{\text{D}}}{\partial \text{t}}=\epsilon_{0} \frac{\partial \vec{\text{E}}}{\partial \text{t}}\nonumber \]

одна знахідка

\[-\frac{\partial \text{H}_{\text{y}}}{\partial \text{z}}=\epsilon_{0} \frac{\partial \text{E}_{\text{x}}}{\partial \text{t}}. \label{11.2}\]

Рівняння (\ ref {11.1}) і (\ ref {11.2}) можуть бути об'єднані для отримання

\ [\ почати {вирівняти}
&\ лівий (\ frac {\ частковий ^ {2}\ текст {E} _ {\ текст {x}}} {\ частковий\ текст {z} ^ {2}}\ праворуч) =-\ mu_ {0}\ лівий (\ frac {\ частковий ^ {2}\ текст {H} _ {\ текст {y}}}} {частковий текст {z}\ частковий\ текст {t}}\ праворуч) =\ epsilon_ {0}\ mu_ {0}\ лівий (\ frac {\ частковий ^ {2}\ текст {E} _ {\ текст {x}}} {\ частковий\ текст {t} ^ {2}}\ праворуч),\ мітка { 11.3}\\
&\ лівий (\ frac {\ частковий ^ {2}\ текст {H} _ {\ текст {y}}} {\ частковий\ текст {z} ^ {2}}\ праворуч) =-\ epsilon_ {0}\ ліворуч (\ frac {\ частковий ^ {2}\ текст {E} _ {текст {x}}}} {частковий\ текст {z}\ частковий\ текст {t}}\ праворуч) =\ epsilon_ {0}\ mu_ {0}\ лівий (\ frac {\ частковий ^ {2}\ текст {H} _ {\ текст {y}}} {\ частковий\ текст {t} ^ {2}}\ праворуч). \ nonumber
\ кінець {вирівняти}\]

Перше з рівнянь (\ ref {11.3}) може задовольнятися будь-якою функцією виду

\[\text{E}_{\text{x}}(\text{z}, \text{t})=\text{F}(\text{z}-\text{ct})+\text{G}(\text{z}+\text{ct}), \label{11.4}\]

де\(\text{c}=1 / \sqrt{\epsilon_{0} \mu_{0}}\) - швидкість світла. Це твердження можна перевірити шляхом проведення диференціацій рівнянь (\ ref {11.3}):

\[\frac{\partial \text{E}_{\text{x}}}{\partial \text{z}}=\frac{\partial \text{F}}{\partial \text{z}}+\frac{\partial \text{G}}{\partial \text{z}}, \quad \frac{\partial \text{E}_{\text{x}}}{\partial \text{t}}=-\text{c} \frac{\partial \text{F}}{\partial \text{z}}+\text{c} \frac{\partial \text{G}}{\partial \text{z}} \nonumber \]

і

\[\frac{\partial^{2} \text{E}_{\text{x}}}{\partial \text{z}^{2}}=\frac{\partial^{2} \text{F}}{\partial \text{z}^{2}}+\frac{\partial^{2} \text{G}}{\partial \text{z}^{2}}, \quad \frac{\partial^{2} \text{E}_{\text{x}}}{\partial \text{t}^{2}}=\text{c}^{2} \frac{\partial^{2} \text{F}}{\partial \text{z}^{2}}+\text{c}^{2} \frac{\partial^{2} \text{G}}{\partial \text{z}^{2}}. \nonumber\]

Тому дійсно можна знайти, що

\[\frac{\partial^{2} \text{E}_{\text{x}}}{\partial \text{z}^{2}}=\frac{1}{\text{c}^{2}} \frac{\partial^{2} \text{E}_{\text{x}}}{\partial \text{t}^{2}}=\epsilon_{0} \mu_{0} \frac{\partial^{2} \text{E}_{\text{x}}}{\partial \text{t}^{2}}, \nonumber \]

для будь-яких довільних функцій F, G! Це означає, що імпульси, що мають будь-які зміни часу, можуть передаватися вниз по лінії без спотворень. У реальному світі імпульси стають спотвореними як наслідок частотно-залежних втрат в лінії, але на даний момент ми маємо відношення лише до ідеальних систем, які складаються з ідеальних провідників і діелектриків без втрат, і такі ідеальні системи передають імпульси без ослаблення і без спотворення. Електричне поле E _x = F (z − ct) відповідає імпульсу, що поширюється уздовж смугової лінії в додатному z-напрямку зі швидкістю світла c Магнітне поле, пов'язане з цим імпульсом електричного поля, можна отримати з Рівняння (\ ref {11.1}) або (\ ref {11.2}):

\[\frac{\partial \text{H}_{\text{y}}}{\partial \text{z}}=-\epsilon_{0} \frac{\partial \text{E}_{\text{x}}}{\partial \text{t}}=\epsilon_{0} \text{c} \frac{\partial \text{F}}{\partial \text{z}}, \nonumber \]

тому

\[\text{H}_{\text{y}}=\epsilon_{0} \text{c} \text{F}(\text{z}-\text{ct})=\frac{1}{\text{Z}_{0}} \text{F}(\text{z}-\text{ct}). \nonumber\]

Іншими словами, H _y = E _{x/Z 0}, де Z ₀ = 1/ (c\(\epsilon_{0}\)) =377 Ом, імпеданс вільного простору.

Електричне поле E _x = G (z + ct) відповідає імпульсу, що поширюється в негативному z-напрямку зі швидкістю світла c Відповідний імпульс магнітного поля задається

\[\frac{\partial \text{H}_{\text{y}}}{\partial \text{z}}=-\epsilon_{0} \frac{\partial \text{E}_{\text{x}}}{\partial \text{t}}=-\epsilon_{0} \text{c} \frac{\partial \text{G}}{\partial \text{z}}, \nonumber \]

або

\[\text{H}_{\text{y}}=-\epsilon_{0} \text{c} \text{G}(\text{z}+\text{ct})=-\text{E}_{\text{x}} / \text{Z}_{0}. \nonumber \]

Зверніть увагу, що знак складової магнітного поля протилежний для імпульсів, що поширюються вперед і назад поширюються.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Перетин через коаксіальний кабель. Електричне поле має радіальну складову E _r, а магнітне поле має лише компонент H _θ незалежний від кута θ.

Зазвичай зручніше описувати імпульси на стріп-лінії або по коаксіальному кабелю в плані напруг і струмів, а не в плані електричних і магнітних полів. Різниця потенціалів між двома провідними площинами в смузі дорівнює V = E _x d, де d - поділ між площинами, рис. (11.1.2). З іншого боку, поверхневі струми повинні протікати по ідеально провідних металевих площинам, щоб звести магнітне та електричне поля до нуля всередині металу. Цю поверхневу щільність струму можна обчислити шляхом застосування теореми Стока до рівняння Максвелла

\[\operatorname{curl}(\vec{\text{H}})=\vec{\text{J}}_{f}+\frac{\partial \vec{\text{D}}}{\partial \text{t}} \nonumber \]

для невеликої петлі, яка охоплює металеву поверхню, як показано на малюнку (11.2.4).

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Діаграматичне зображення смугової лінії для того, щоб проілюструвати зв'язок між електричним полем, E _x та різницею потенціалів між двома провідниками, а також проілюструвати зв'язок між магнітним полем, H _y та поверхневою щільністю струму. Різниця потенціалів дорівнює V = E ₀ d, а нижній провідник позитивний по відношенню до верхнього провідника для полів, показаних на малюнку. Нижній провідник несе загальний струм I = J _z W = H ₀ Вт Ампер.

У межі, як площа циклу, dA, скорочується до нуля термін\(\vec D\) /t нічого не дає так, що

\[\int \int_{A r e a} \text{d} \text{S} \operatorname{curl}(\vec{\text{H}}) \cdot \hat{u}_{n}=\oint_{C} \vec{\text{H}} \cdot \vec{\text{d} \vec{\text{L}}}=\text{J}_{2} \text{d} \text{L}, \nonumber \]

де J _z - поверхнева щільність струму і\(\hat{u}_{n}\) є одиничним вектором, перпендикулярним dA. Тому

\[\text{H}_{0} \text{dL}=\text{J}_{\text{z}} \text{dL} \nonumber \]

щоб

\[\text{J}_{\text{z}}=\text{H}_{0}. \nonumber\]

Ця щільність струму тече вздовж +z в нижньому провіднику. Сумарний струм, що переноситься нижнім провідником, якраз пропорційний ширині активної області на стрип-лінії:

\[\text{I}=\text{J}_{\text{z}} \text{w}=\text{H}_{0} \text{w} \quad \text { Amps. }. \nonumber \]

Різниця потенціалів між двома провідниками дорівнює

\[\text{V}=\text{E}_{0} \text{d} \quad \text { Volts }, \nonumber \]

а нижня площина позитивна щодо верхньої площини для полів, показаних на малюнку.

Характеристичний опір лінії, Z ₀ = V/I Ом, задається

\[\text{Z}_{0}=\frac{\text{E}_{0} \text{d}}{\text{H}_{0} \text{w}}=\frac{\text{d}}{\text{w}} \sqrt{\mu_{0} / \epsilon_{0}}, \label{11.5}\]

тому що для хвилі, що поширюється вперед

\[\text{H}_{0}=\epsilon_{0} \text{c} \text{E}_{0}=\sqrt{\epsilon_{0} / \mu_{0}} \text{E}_{0}. \nonumber \]

Провідники в практичній стріп-лінії зазвичай розділені немагнітним і непровідним діелектричним матеріалом, що характеризується магнітною проникністю μ ₀ і діелектричною проникністю\(\epsilon\). Наведені вище рівняння все ще застосовні до такої смугової лінії за умови, що діелектричними втратами можна знехтувати: треба лише замінити\(\epsilon_{0}\) на\(\epsilon\).

Що стосується різниці потенціалів та струму, то картина, яка з'являється, є ілюстрованою на малюнку (11.2.5). По лінії поширюється імпульс напруги довільної форми зі швидкістю v, яка визначається властивостями діелектричного проставки (тут прийнято вважати без втрат). Для немагнітного розпірного матеріалу, що має діелектричну проникність,\(\epsilon\) ця швидкість задається

\[\text{v}=\frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu_{0}}}. \label{11.6}\]

Імпульс напруги супроводжується імпульсом струму тієї ж форми, що і імпульс напруги. Коефіцієнт масштабування між струмом і напругою - це характеристичний імпеданс лінії. Характеристичний опір залежить від геометрії смуги: для площини смуги лінії малюнка (11.2.4) він задається

\[\text{Z}_{0}=\frac{\text{d}}{\text{w}} \sqrt{\frac{\mu_{0}}{\epsilon}}=\frac{\text{d}}{\text{w}} \frac{1}{\epsilon \text{v}}. \label{11.7}\]

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Імпульси напруги та струму на лінії електропередачі.

Для імпульсу, що рухається вперед

\[\text{V}=+\text{Z}_{0} \text{I}, \label{11.8}\]

і для імпульсу, що рухається назад

\[ \text{V}=-\text{Z}_{0} \text{I},\label{11.9}\]

де V - різниця потенціалів в Вольтах і I - струм на лінії електропередачі в Амперах.

Рівняння Максвелла, (\ ref {11.3}), можуть бути переписані через різницю потенціалів, V, і струму на прямій, I. Оскільки E _x пропорційний V, перше з рівнянь (\ ref {11.3}) стає

\[\frac{\partial^{2} \text{V}}{\partial \text{z}^{2}}=\frac{1}{\text{v}^{2}} \frac{\partial^{2} \text{V}}{\partial \text{t}^{2}}. \label{11.10}\]

Аналогічно, так як H _y пропорційна струму I, другий з рівнянь (11.3) стає

\[\frac{\partial^{2} I}{\partial z^{2}}=\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} I}{\partial t^{2}}. \label{11.11}\]

Ці рівняння телеграфної лінії були виведені лордом Кельвіном в 1855 році (це було до того, як було виявлено рівняння Максвелла) шляхом розгляду лінії електропередачі як повторюваного ряду індуктивностей, шунтованих конденсаторами. Див. Електромагнітна теорія Дж.А.Страттона, МакГроу-Хілл, Нью-Йорк, 1941 р., розділ 9.20, Рисунок (103); для лінії без втрат R=0 і G = ∞.