14.3: Математичні ідентичності

\ begin {вирівняні}\ верхня лінія {\ математика {A}} &=\ капелюх {x}\ математика {A} _ {\ mathrm {x}} +\ hat {y}\ mathrm {A} _ {\ mathrm {y}} +\ hat {z}\ mathrm {A} _ {\ mathrm {z}}\ [4pt]\ накладання {\ математика {A}}\ куля\ верхня лінія {\ математика {B}} &=\ математика {A} _ {\ математика {x}}\ математика {B} _ {\ математика {A} _ {\ математика {y}}\ mathrm {y}}\ mathrm {B} _ {\ mathrm {y}}} +\ математика {A} _ { \ mathrm {z}}\ математика {B} _ {\ mathrm {z}} =\ hat {\ mathrm {a}}\ час\ hat {\ mathrm {b}} |\ оверлайн {\ mathrm {B}} |\ cos\ theta\\ [4pt]\ overline {\ mathrum {\ mathrm {m {A}}\ раз\ overline {\ mathrm {B}} &=\ ім'я оператора {det}\ left}\ begin {масив} {ccc}\ hat {x} &\ hat {z}\\ [4pt]\ mathrm {A} _ {\ mathrm {x}} & amp;\ математика {A} _ {\ математика {y}} &\ математика {A} _ {\ математика {a}}\\ [4pt]\ математика {B} _ {\ mathrm {D}} &\ математика {B} _ {\ математика {y}} &\ mathrm {B} _ {\ mathrm {}}\ кінець {масив}\ право|\\ [4pt] &=\ капелюх {x}\ ліворуч (\ математика {A} _ {\ математика {y}}\ математика {B} _ {\ mathrm {a}} -\ математика {A} _ {\ математика {a}}\ математика {B} _ {\ mathrm {y}}\ праворуч) +\ hat {y}\ ліворуч (\ математика {A} _ {\ математика {a}}\ математика {B} _ {\ mathrm {x}} -\ математика {A} _ {\ mathrm {A}}\ mathrm {a}}\ праворуч) +\ капелюх {2}\ ліворуч (\ mathrm {A} _ {\ mathrm {x}}\ математика {B} _ {\ mathrm {y}} -\ математика {A} _ {\ mathrm {y}}\ математика {B} _ {\ mathrm {x}}\ право)\ [4pt] &=\ капелюх {\ mathrm {a}}\ раз\ hat {\ mathrm {b}} |\ overline {\ mathrm {A}} ||\ mathrm {\ overline B} |\ sin\ тета\\ [4pt]\ overline {\ mathrm {A}}\ куля (\ overline {\ mathrm {B}}\ раз\ верхня лінія {\ mathrm {C}}) &=\ оверлайн {\ mathrm {\ mathrm {A}}) =\ оверлайн {\ mathrm {C}}\ куля (\ overline {\ mathrm {A}}\ раз\ оверлайн {\ mathrm {B}})\\ [4pt]\ overline {\ mathrm {A}}\ times (\ оверлайн {\ mathrm {B}}\ раз\ overline {\ mathrm {C}}) &= (\ overline {\ mathrm {A}}\ куля\ оверлайн {\ mathrm {C}})\ оверлайн {\ mathrm {B}} - (\ overline {\ mathrm {A}}\ куля\ overline {\ mathrm {B}}})\ оверлайн {\ mathrm {C}}\\ [4pt] (\ overline {\ mathrm {A}}\ раз\ оверлайн {\ mathrm {B}})\ куля (\ overline {\ mathrm {C}}\ раз\ оверлайн {\ mathrm {D}}) &= (\ overline {\ mathrm {A}}\ куля\ оверлайн {\ mathrm {C}}) (\ оверлайн {\ mathrm {B}}\ куля\ верхня лінія {\ mathrm {\ mathrm {\ mathrm {A}}\ куля\ overline {\ mathrm {D}}) (\ overline {\ mathrm {B}}\ куля\ overline {\ mathrm {C}})\\ [4pt]\ nabla\ раз\ nabla\ psi &= 0\\ [4pt]\ nabla\ куля (\ nabla \ times\ overline {\ mathrm {A}}) &=0\\ [4pt]\ nabla\ times (\ nabla\ times\ overline {\ mathrm {A}}) &=\ nabla\ куля\ overline {\ mathrm {A}}) -\ nabla^ {2}\ overline {\ mathrm {A}\ [4pt] -\ overline {\ mathrm {A}}\ раз (\ nabla\ раз\ overline {\ mathrm {A}}) &= (\ overline {\ mathrm {A}}\ куля\ nabla)\ overline {\ mathrm {A}} -\ frac {1} {2}\ nabla (\ overline {\ mathrm {A}}\ куля\ верхня лінія {\ mathrm {A}})\\ [4pt]\ nabla (\ Psi\ Phi\ Nabla\ [4pt]\ nabla\ nabla\ (\ Psi\ overline {\ mathrm {A}}) &=\ overline {\ mathrm {A}}\ куля\ nabla\ Psi\ nabla\ куля\ overline {\ mathrm {A}}\\ [4pt]\ nabla\ times (\ Psi\ overline {\ mathrm {A}}) &=\ nabla\ Psi\ раз\ overline {\ mathrm {A}} +\ Псі\ nabla\ раз\ overline {\ mathrm {A}\\ [4pt]\ nabla^ {2}\ Psi &=\ nabla\ bulla\ Psi\ [4pt]\ nabla (\ overline {\ mathrm {A}}\ куля\ overline {\ mathrm {B}}) &= (\ overline {\ mathrm {A}}\ куля\ nabla)\ overline {\ mathrm {B}} + (\ оверлайн {\ mathrm {B}}\ куля\ nabla)\ overline {\ mathrm {A}} +\ оверлайн {\ mathrm {A}}\ times (\ nabla\ times\ overline {\ mathrm {B}}\ times (\ nabla\ times\ overline {\ mathrm {A}}})\\ [4pt]\ nabla\ куля (\ overline {\ mathrm {A}}\ раз\ overline {\ mathrm {B}}) &=\ overline {\ mathrm {B}}\ куля (\ nabla\ times\ overline {\ mathrm {A}}) -\ overline {\ mathrm {A}}\ куля (\ nabla\ times\ overline {\ mathrm {B}})\ [4pt]\ nabla\ times (\ overline {\ mathrm {B}}) &=\ overline {математика {A}} (\ nabla\ куля\ overline {\ mathrm {B}}) -\ overline {\ mathrm {B}} (\ nabla\ куля\ overline {\ mathrm {A}}) + (\ overline {\ mathrm {B}}\ куля\ nabla)\ overline {\ mathrm {A}} - (\ overline {\ mathrm {A}}\ куля\ nabla)\ overline {\ mathrm {B}}\ кінець {вирівняний}

Декартові координати (x, y, z):

\ [\ почати {вирівняний}
\ nabla\ Psi &=\ hat {x}\ frac {\ часткове\ Psi} {\ часткове\ Матхрм {x}} +\ hat {y}\ frac {\ partial\ Psi} {\ частковий\ mathrm {y}} +\ hat {z}\ frac {\ partial\ Psi}}\\ [4pt]
\ nabla\ куля\ оверлайн {\ mathrm {A}} &=\ frac {\ часткова\ математика {A} _ {\ mathrm {x}}} {\ часткова\ математика {x}} +\ frac {\ часткова\ математика {A} _ {\ mathrm {y}}} {\ часткова\ математика {y}} +\ frac {\ partial\ mathrm {A} _ {\ mathrm {a}} {\ часткова\ математика {a}}\\ [4pt]
\ nabla\ times\ рядок {\ mathrm {A}} &=\ hat {x}\ left (\ frac {\ часткова\ математика {A} _ {\ mathrm {z}}} {\ часткова\ матрма {y}} -\ frac {\ partial\ mathrm {A} _ {\ математика {y}}} {\ часткова\ математика {z}}\ право) +\ hat {y}\ ліворуч (\ frac {\ часткова\ математика {A} _ {\ mathrm {x}}} {\ partial\ mathrm {z}}} -\ frac {\ partial\ mathrm {A}}\ mathrm {x}}\ праворуч) +\ hat {z}\ ліворуч (\ frac {\ часткова\ математика {A} _ {\ mathrm {y}}} {\ часткова\ математика {x}} -\ frac {\ partial\ mathrm {A} _ {\ mathrm {x}}} {\ часткова\ математика {y} }}\ праворуч)\\ [4pt]
\ nabla^ {2}\ Psi &=\ frac {\ часткова ^ {2}\ Psi} {\ часткова\ математика {x} ^ {2}} +\ часткова ^ {2}\ Psi} {\ часткова\ математика {y} ^ {2}} +\ frac {\ часткова ^ {\ часткова ^ {2} 2}\ Psi} {\ часткове\ математичне {z} ^ {2}}
\ кінець {вирівняний}\]

Циліндричні координати (r, φ, z):

\ [\ почати {вирівняний}
\ nabla\ Psi &=\ hat {\ rho}\ frac {\ часткове\ Psi} {\ часткове\ математика {r}} +\ hat {\ phi}\ frac {\ mathrm {r}}\ frac {\ partial\ Psi} {\ частковий\ mathrm {y}} +\ hat {z}\ frac {\ partial\ Psi} c {\ часткова\ Psi} {\ часткова\ математика {z}}\\ [4pt]
\ nabla\ куля\ верхня лінія {\ mathrm {A}} &=\ frac {1} {\ mathrm {r}} \ frac {\ часткове\ ліве (\ mathrm {r}\ mathrm {A} _ {\ mathrm {r}}\ праворуч)} {\ часткова\ математика {r}} {\ mathrm {r}}\ frac {\ часткова\ математика {A} _ {\ phi}} {\ partial\ phi} +\ frac\ часткова\ математика {A} _ {\ mathrm {a}}} {\ часткова\ математика {z}}\\ [4pt]\ nabla
\ times\ overline {\ mathrm {A}} =&\ hat {r}\ left (\ frac {1} {\ mathrm {r}} \ frac {\ часткова\ математика {A} _ {\ mathrm {z}}} {\ часткова\ phi} -\ frac {\ часткова\ математика {A} _ {\ phi}} {\ mathrm {}}\ hat {\ phi}\ ліворуч (\ frac {\ partial\ mathrm {A} _ {\ mathrm {r}}} {\ часткова\ математика {z}} -\ frac {\ часткова\ математика {A} _ {\ mathrm {z}}} {\ часткова\ математика {r}}\ право) +\ hat {z}\ frac {1} {\ mathrm {r}}\ лівий (\ frac {\ partial\ ліворуч (\ математика {r}\ математика {A} _ {\ phi}\ право)} {\ часткова\ математика {r}} -\ frac {\ часткова\ математика {A} _ {\ mathrm {r}} {\ часткова\ phi}\ права) =\ frac {1} {\ mathrm {r}}\ ім'я оператора {\ det\ phi}\ left|\ begin {масив} {ccc}
\ hat {r}/\ частковий\ mathrm {r} &\ частковий/\ частковий\ phi &\ частковий (\ частковий\ mathrm {z}\ mid\\ [4pt]
\ математика {A} _ {\ математика {r}} &\ математика {r}\ математика {A} _ {\ phi} &\ математика {A} _ {\ mathrm {z}}\ кінець {масив}
\ право|\\ [4pt]\ nabla^ {2}
\ Psi &=\ frac {1} {\ mathrm {r}}\ frac {\ частковий} {\ частковий\ математичний {r}}\ лівий (\ mathrm {r}\ frac {\ partial\ Psi} {\ частковий\ mathrm {r}}\ праворуч) +\ frac {1 } {\ mathrm {r} ^ {2}}\ frac {\ часткова ^ {2}\ Psi} {\ часткова\ phi^ {2}} +\ часткова ^ {\ часткова ^ {2}\ Psi} {\ часткова\ mathrm {z} ^ {2}}
\ кінець {вирівняний}\]

Сферичні координати (r, θ, φ):

\[\begin{aligned} \nabla \Psi &=\hat{r} \frac{\partial \Psi}{\partial \mathrm{r}}+\hat{\theta} \frac{1}{\mathrm{r}} \frac{\partial \Psi}{\partial \theta}+\hat{\phi} \frac{1}{\mathrm{r} \sin \theta} \frac{\partial \Psi}{\partial \phi} \\[4pt] \nabla \bullet \overline{\mathrm{A}} &=\frac{1}{\mathrm{r}^{2}} \frac{\partial\left(\mathrm{r}^{2} \mathrm{A}_{\mathrm{r}}\right)}{\partial \mathrm{r}}+\frac{1}{\mathrm{r} \sin \theta} \frac{\partial\left(\sin \theta \mathrm{A}_{\theta}\right)}{\partial \theta}+\frac{1}{\mathrm{r} \sin \theta} \frac{\partial \mathrm{A}_{\phi}}{\partial \phi} \\[4pt] \nabla \times \overline{\mathrm{A}} &=\hat{r} \frac{1}{\mathrm{r} \sin \theta}\left(\frac{\partial\left(\mathrm{r} \sin \theta \mathrm{A}_{\phi}\right)}{\partial \theta}-\frac{\partial \mathrm{A}_{\theta}}{\partial \phi}\right)+\hat{\theta}\left(\frac{1}{\mathrm{r} \sin \theta} \frac{\partial \mathrm{A}_{\mathrm{r}}}{\partial \phi}-\frac{1}{\mathrm{r}} \frac{\partial\left(\mathrm{r} \mathrm{A}_{\phi}\right)}{\partial \mathrm{r}}\right)+\hat{\phi} \frac{1}{\mathrm{r}}\left(\frac{\partial\left(\mathrm{r} \mathrm{A}_{\theta}\right)}{\partial \mathrm{r}}-\frac{\partial \mathrm{A}_{\mathrm{r}}}{\partial \theta}\right) \\[4pt] &=\frac{1}{\mathrm{r}^{2} \sin \theta} \operatorname{det}\left|\begin{array}{ccc} \hat{r} & r \hat{\theta} & \mathrm{r} \sin \theta \hat{\phi} \\[4pt] \partial / \partial \mathrm{r} & \partial / \partial \theta & \partial / \partial \phi \\[4pt] \mathrm{A}_{\mathrm{r}} & \mathrm{r} \mathrm{A}_{\theta} & \mathrm{r} \sin \theta \mathrm{A}_{\phi} \end{array}\right| \\[4pt] \nabla^{2} \Psi &=\mathrm{\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{\partial \Psi}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2} \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial \Psi}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \theta} \frac{\partial^{2} \Psi}{\partial \phi^{2}}} \end{aligned}\]

Теорема про розбіжність Гауса:

\[\int_{V} \nabla \bullet \overline{G} d v=\oint_{A} \overline{G} \bullet \hat{n} d a \nonumber\]

Теорема Стокса:

\[ \mathrm{\int_{A}(\nabla \times \overline{G}) \bullet \hat{n} \ d a=\oint_{C} \overline{G} \bullet d} \overline{\ell} \nonumber\]

Перетворення Фур'є для імпульсних сигналів h (t):

\[\begin{aligned} \mathrm{\underline{H}(f)} &= \mathrm{\int_{-\infty}^{\infty} h(t) e^{-j 2 \pi t} d t} \\[4pt] \mathrm{h(t)} &= \mathrm{\int_{-\infty}^{\infty} \underline{H}(f) e^{+j 2 \pi f t} d f} \end{aligned}\]