14.3: Математичні ідентичності
\ begin {вирівняні}\ верхня лінія {\ математика {A}} &=\ капелюх {x}\ математика {A} _ {\ mathrm {x}} +\ hat {y}\ mathrm {A} _ {\ mathrm {y}} +\ hat {z}\ mathrm {A} _ {\ mathrm {z}}\ [4pt]\ накладання {\ математика {A}}\ куля\ верхня лінія {\ математика {B}} &=\ математика {A} _ {\ математика {x}}\ математика {B} _ {\ математика {A} _ {\ математика {y}}\ mathrm {y}}\ mathrm {B} _ {\ mathrm {y}}} +\ математика {A} _ { \ mathrm {z}}\ математика {B} _ {\ mathrm {z}} =\ hat {\ mathrm {a}}\ час\ hat {\ mathrm {b}} |\ оверлайн {\ mathrm {B}} |\ cos\ theta\\ [4pt]\ overline {\ mathrum {\ mathrm {m {A}}\ раз\ overline {\ mathrm {B}} &=\ ім'я оператора {det}\ left}\ begin {масив} {ccc}\ hat {x} &\ hat {z}\\ [4pt]\ mathrm {A} _ {\ mathrm {x}} & amp;\ математика {A} _ {\ математика {y}} &\ математика {A} _ {\ математика {a}}\\ [4pt]\ математика {B} _ {\ mathrm {D}} &\ математика {B} _ {\ математика {y}} &\ mathrm {B} _ {\ mathrm {}}\ кінець {масив}\ право|\\ [4pt] &=\ капелюх {x}\ ліворуч (\ математика {A} _ {\ математика {y}}\ математика {B} _ {\ mathrm {a}} -\ математика {A} _ {\ математика {a}}\ математика {B} _ {\ mathrm {y}}\ праворуч) +\ hat {y}\ ліворуч (\ математика {A} _ {\ математика {a}}\ математика {B} _ {\ mathrm {x}} -\ математика {A} _ {\ mathrm {A}}\ mathrm {a}}\ праворуч) +\ капелюх {2}\ ліворуч (\ mathrm {A} _ {\ mathrm {x}}\ математика {B} _ {\ mathrm {y}} -\ математика {A} _ {\ mathrm {y}}\ математика {B} _ {\ mathrm {x}}\ право)\ [4pt] &=\ капелюх {\ mathrm {a}}\ раз\ hat {\ mathrm {b}} |\ overline {\ mathrm {A}} ||\ mathrm {\ overline B} |\ sin\ тета\\ [4pt]\ overline {\ mathrm {A}}\ куля (\ overline {\ mathrm {B}}\ раз\ верхня лінія {\ mathrm {C}}) &=\ оверлайн {\ mathrm {\ mathrm {A}}) =\ оверлайн {\ mathrm {C}}\ куля (\ overline {\ mathrm {A}}\ раз\ оверлайн {\ mathrm {B}})\\ [4pt]\ overline {\ mathrm {A}}\ times (\ оверлайн {\ mathrm {B}}\ раз\ overline {\ mathrm {C}}) &= (\ overline {\ mathrm {A}}\ куля\ оверлайн {\ mathrm {C}})\ оверлайн {\ mathrm {B}} - (\ overline {\ mathrm {A}}\ куля\ overline {\ mathrm {B}}})\ оверлайн {\ mathrm {C}}\\ [4pt] (\ overline {\ mathrm {A}}\ раз\ оверлайн {\ mathrm {B}})\ куля (\ overline {\ mathrm {C}}\ раз\ оверлайн {\ mathrm {D}}) &= (\ overline {\ mathrm {A}}\ куля\ оверлайн {\ mathrm {C}}) (\ оверлайн {\ mathrm {B}}\ куля\ верхня лінія {\ mathrm {\ mathrm {\ mathrm {A}}\ куля\ overline {\ mathrm {D}}) (\ overline {\ mathrm {B}}\ куля\ overline {\ mathrm {C}})\\ [4pt]\ nabla\ раз\ nabla\ psi &= 0\\ [4pt]\ nabla\ куля (\ nabla \ times\ overline {\ mathrm {A}}) &=0\\ [4pt]\ nabla\ times (\ nabla\ times\ overline {\ mathrm {A}}) &=\ nabla\ куля\ overline {\ mathrm {A}}) -\ nabla^ {2}\ overline {\ mathrm {A}\ [4pt] -\ overline {\ mathrm {A}}\ раз (\ nabla\ раз\ overline {\ mathrm {A}}) &= (\ overline {\ mathrm {A}}\ куля\ nabla)\ overline {\ mathrm {A}} -\ frac {1} {2}\ nabla (\ overline {\ mathrm {A}}\ куля\ верхня лінія {\ mathrm {A}})\\ [4pt]\ nabla (\ Psi\ Phi\ Nabla\ [4pt]\ nabla\ nabla\ (\ Psi\ overline {\ mathrm {A}}) &=\ overline {\ mathrm {A}}\ куля\ nabla\ Psi\ nabla\ куля\ overline {\ mathrm {A}}\\ [4pt]\ nabla\ times (\ Psi\ overline {\ mathrm {A}}) &=\ nabla\ Psi\ раз\ overline {\ mathrm {A}} +\ Псі\ nabla\ раз\ overline {\ mathrm {A}\\ [4pt]\ nabla^ {2}\ Psi &=\ nabla\ bulla\ Psi\ [4pt]\ nabla (\ overline {\ mathrm {A}}\ куля\ overline {\ mathrm {B}}) &= (\ overline {\ mathrm {A}}\ куля\ nabla)\ overline {\ mathrm {B}} + (\ оверлайн {\ mathrm {B}}\ куля\ nabla)\ overline {\ mathrm {A}} +\ оверлайн {\ mathrm {A}}\ times (\ nabla\ times\ overline {\ mathrm {B}}\ times (\ nabla\ times\ overline {\ mathrm {A}}})\\ [4pt]\ nabla\ куля (\ overline {\ mathrm {A}}\ раз\ overline {\ mathrm {B}}) &=\ overline {\ mathrm {B}}\ куля (\ nabla\ times\ overline {\ mathrm {A}}) -\ overline {\ mathrm {A}}\ куля (\ nabla\ times\ overline {\ mathrm {B}})\ [4pt]\ nabla\ times (\ overline {\ mathrm {B}}) &=\ overline {математика {A}} (\ nabla\ куля\ overline {\ mathrm {B}}) -\ overline {\ mathrm {B}} (\ nabla\ куля\ overline {\ mathrm {A}}) + (\ overline {\ mathrm {B}}\ куля\ nabla)\ overline {\ mathrm {A}} - (\ overline {\ mathrm {A}}\ куля\ nabla)\ overline {\ mathrm {B}}\ кінець {вирівняний}
Декартові координати (x, y, z):
\ [\ почати {вирівняний}
\ nabla\ Psi &=\ hat {x}\ frac {\ часткове\ Psi} {\ часткове\ Матхрм {x}} +\ hat {y}\ frac {\ partial\ Psi} {\ частковий\ mathrm {y}} +\ hat {z}\ frac {\ partial\ Psi}}\\ [4pt]
\ nabla\ куля\ оверлайн {\ mathrm {A}} &=\ frac {\ часткова\ математика {A} _ {\ mathrm {x}}} {\ часткова\ математика {x}} +\ frac {\ часткова\ математика {A} _ {\ mathrm {y}}} {\ часткова\ математика {y}} +\ frac {\ partial\ mathrm {A} _ {\ mathrm {a}} {\ часткова\ математика {a}}\\ [4pt]
\ nabla\ times\ рядок {\ mathrm {A}} &=\ hat {x}\ left (\ frac {\ часткова\ математика {A} _ {\ mathrm {z}}} {\ часткова\ матрма {y}} -\ frac {\ partial\ mathrm {A} _ {\ математика {y}}} {\ часткова\ математика {z}}\ право) +\ hat {y}\ ліворуч (\ frac {\ часткова\ математика {A} _ {\ mathrm {x}}} {\ partial\ mathrm {z}}} -\ frac {\ partial\ mathrm {A}}\ mathrm {x}}\ праворуч) +\ hat {z}\ ліворуч (\ frac {\ часткова\ математика {A} _ {\ mathrm {y}}} {\ часткова\ математика {x}} -\ frac {\ partial\ mathrm {A} _ {\ mathrm {x}}} {\ часткова\ математика {y} }}\ праворуч)\\ [4pt]
\ nabla^ {2}\ Psi &=\ frac {\ часткова ^ {2}\ Psi} {\ часткова\ математика {x} ^ {2}} +\ часткова ^ {2}\ Psi} {\ часткова\ математика {y} ^ {2}} +\ frac {\ часткова ^ {\ часткова ^ {2} 2}\ Psi} {\ часткове\ математичне {z} ^ {2}}
\ кінець {вирівняний}\]
Циліндричні координати (r, φ, z):
\ [\ почати {вирівняний}
\ nabla\ Psi &=\ hat {\ rho}\ frac {\ часткове\ Psi} {\ часткове\ математика {r}} +\ hat {\ phi}\ frac {\ mathrm {r}}\ frac {\ partial\ Psi} {\ частковий\ mathrm {y}} +\ hat {z}\ frac {\ partial\ Psi} c {\ часткова\ Psi} {\ часткова\ математика {z}}\\ [4pt]
\ nabla\ куля\ верхня лінія {\ mathrm {A}} &=\ frac {1} {\ mathrm {r}} \ frac {\ часткове\ ліве (\ mathrm {r}\ mathrm {A} _ {\ mathrm {r}}\ праворуч)} {\ часткова\ математика {r}} {\ mathrm {r}}\ frac {\ часткова\ математика {A} _ {\ phi}} {\ partial\ phi} +\ frac\ часткова\ математика {A} _ {\ mathrm {a}}} {\ часткова\ математика {z}}\\ [4pt]\ nabla
\ times\ overline {\ mathrm {A}} =&\ hat {r}\ left (\ frac {1} {\ mathrm {r}} \ frac {\ часткова\ математика {A} _ {\ mathrm {z}}} {\ часткова\ phi} -\ frac {\ часткова\ математика {A} _ {\ phi}} {\ mathrm {}}\ hat {\ phi}\ ліворуч (\ frac {\ partial\ mathrm {A} _ {\ mathrm {r}}} {\ часткова\ математика {z}} -\ frac {\ часткова\ математика {A} _ {\ mathrm {z}}} {\ часткова\ математика {r}}\ право) +\ hat {z}\ frac {1} {\ mathrm {r}}\ лівий (\ frac {\ partial\ ліворуч (\ математика {r}\ математика {A} _ {\ phi}\ право)} {\ часткова\ математика {r}} -\ frac {\ часткова\ математика {A} _ {\ mathrm {r}} {\ часткова\ phi}\ права) =\ frac {1} {\ mathrm {r}}\ ім'я оператора {\ det\ phi}\ left|\ begin {масив} {ccc}
\ hat {r}/\ частковий\ mathrm {r} &\ частковий/\ частковий\ phi &\ частковий (\ частковий\ mathrm {z}\ mid\\ [4pt]
\ математика {A} _ {\ математика {r}} &\ математика {r}\ математика {A} _ {\ phi} &\ математика {A} _ {\ mathrm {z}}\ кінець {масив}
\ право|\\ [4pt]\ nabla^ {2}
\ Psi &=\ frac {1} {\ mathrm {r}}\ frac {\ частковий} {\ частковий\ математичний {r}}\ лівий (\ mathrm {r}\ frac {\ partial\ Psi} {\ частковий\ mathrm {r}}\ праворуч) +\ frac {1 } {\ mathrm {r} ^ {2}}\ frac {\ часткова ^ {2}\ Psi} {\ часткова\ phi^ {2}} +\ часткова ^ {\ часткова ^ {2}\ Psi} {\ часткова\ mathrm {z} ^ {2}}
\ кінець {вирівняний}\]
Сферичні координати (r, θ, φ):
∇Ψ=ˆr∂Ψ∂r+ˆθ1r∂Ψ∂θ+ˆϕ1rsinθ∂Ψ∂ϕ∇∙¯A=1r2∂(r2Ar)∂r+1rsinθ∂(sinθAθ)∂θ+1rsinθ∂Aϕ∂ϕ∇ׯA=ˆr1rsinθ(∂(rsinθAϕ)∂θ−∂Aθ∂ϕ)+ˆθ(1rsinθ∂Ar∂ϕ−1r∂(rAϕ)∂r)+ˆϕ1r(∂(rAθ)∂r−∂Ar∂θ)=1r2sinθdet|ˆrrˆθrsinθˆϕ∂/∂r∂/∂θ∂/∂ϕArrAθrsinθAϕ|∇2Ψ=1r2∂∂r(r2∂Ψ∂r)+1r2sinθ∂∂θ(sinθ∂Ψ∂θ)+1r2sin2θ∂2Ψ∂ϕ2
Теорема про розбіжність Гауса:
∫V∇∙¯Gdv=∮A¯G∙ˆnda
Теорема Стокса:
∫A(∇ׯG)∙ˆn da=∮C¯G∙d¯ℓ
Перетворення Фур'є для імпульсних сигналів h (t):
H_(f)=∫∞−∞h(t)e−j2πtdth(t)=∫∞−∞H_(f)e+j2πftdf