12.2: Оптичні хвилеводи

Діелектричні плити хвилеводи

Оптичні хвилеводи, такі як оптичні волокна, зазвичай затримують і направляють світло в прямокутних або циліндричних межах на корисні відстані. Прямокутні форми легше реалізувати на інтегральних схемах, в той час як циліндричні - для більших відстаней, до 100 км і більше. Точні хвильові рішення для таких структур виходять за рамки цього тексту, але ті ж основні принципи очевидні і в хвилеводах діелектричних плит, для яких похідні простіші. Діелектричні плитні хвилеводи складаються з нескінченної плоскої діелектричної плити товщиною 2d і діелектричною проникністю ε, вбудованої в нескінченне середовище з нижчою діелектричною проникністю ε _o, як це запропоновано на малюнку 12.2.1 (а) для плити скінченної ширини в напрямку y. Для простоти ми тут припускаємо μ = μ _o скрізь, що зазвичай буває на практиці теж.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Діелектрична плита хвилевід і структура режиму TE.

Як обговорювалося в розділі 9.2.3, рівномірні плоскі хвилі всередині діелектрика прекрасно відбиваються на межі плити, якщо вони падають за критичний кут\(\theta_{\mathrm{c}}=\sin ^{-1}\left(\mathrm{c}_{\varepsilon} / \mathrm{c}_{\mathrm{o}}\right) \), де c _ε і c _o - швидкості світла в діелектрику і зовні відповідно. Така хвиля і її ідеальне відображення поширюються разом по осі z і утворюють стоячу хвилю в ортогональному напрямку x. Поза хвилеводу хвилі зникають і розпадаються в геометричній прогресії від направляючої, як показано на малюнку 12.2.2. Ця цифра зображує поля всередині і зовні нижньої половини діелектричної плити, що має ε > ε _o; нижня межа знаходиться на x = 0. Малюнок передбачає два можливих положення верхньої межі плити, які задовольняють граничним умовам для режимів TE ₁ і TE ₂. Зверніть увагу, що хвилевід режиму TE ₁ може бути довільно тонким щодо λ і все ще задовольняти граничним умовам. Конфігурації полів над верхньою межею відображають поля нижче нижньої межі, але тут не ілюстровані. Ці хвилеводні режими позначаються TE _n, оскільки електричне поле є лише поперечним напрямку поширення, а всередині плити є частина n напівхвиль. Ортогональні режими (не ілюстровані) позначаються ТМ _n.

Рисунок\(\PageIndex{2}\): Поля в хвилеводах діелектричних плит для режимів TE _n.

Поля всередині хвилеводу діелектричної плити мають ту ж форму, що і (9.3.6) і (9.3.7) всередині паралельно-пластинчастих хвилеводів, хоча граничні положення різні; див. Також рисунки 9.3.1 і 9.3.3. Якщо ми визначаємо x = 0 на осі симетрії, а товщина напрямної повинна бути 2d, то в межах направляючої електричне поле для режимів TE дорівнює:

\[\underline{\mathrm{\overline E}}=\hat{y} \underline{\mathrm{E}}_{\mathrm{o}}\left\{\sin \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{x} \textit { or } \operatorname{cosk}_{\mathrm{x}} \mathrm{x}\right\} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{z}} \mathrm{z}} \qquad\qquad\qquad \text { for }|\mathrm{x}| \leq \mathrm{d} \label{12.2.1}\]

Поля зовні такі ж, як і для хвиль TE, що падають на діелектричні інтерфейси поза критичним кутом, (9.2.33) і (9.2.34):

\[\overline{\mathrm{\underline E}}=\hat{y} \underline{\mathrm{E}}_{1} \mathrm{e}^{-\alpha \mathrm{x}-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{z}} \mathrm{z}} \qquad\qquad\qquad \text { for } \mathrm{x} \geq \mathrm{d} \label{12.2.2}\]

\[\underline{\mathrm{\overline E}}=\{- \ \textit{or} \ +\} \hat{y} \mathrm{\underline E}_{1}^{+\alpha \mathrm{x}-\mathrm{jk}_{\mathrm{z}} \mathrm{z}} \qquad \qquad \qquad \mathrm{x} \leq \mathrm{-d} \label{12.2.3}\]

Перший і другий варіанти в фігурних дужках відповідають антисиметричним і симетричним режимам TE відповідно. Так як хвилі зникають далеко від плити,\(\alpha\) є позитивним. Закон Фарадея в поєднанні з (\ ref {12.2.1}), (\ ref {12.2.2}) і (\ ref {12.2.3}) дає відповідне магнітне поле всередині і зовні плити:

\[\begin{array}\overline{\mathrm{H}}=&\left[\hat{x} \mathrm{k}_{\mathrm{z}}\left\{\sin \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{x} \textit { or } \cos \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{x}\right\}\right.\\&\left.+\hat{z} \mathrm{jk}_{\mathrm{x}}\left\{\cos \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{x} \textit { or } \sin \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{x}\right\}\right]\left(\mathrm{\underline E}_{\mathrm{o}} / \omega \mu_{\mathrm{o}}\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{z}} \mathrm{z}}\end{array} \qquad \qquad \qquad \text { for }|\mathrm{x}| \leq \mathrm{d} \label{12.2.4}\]

\[\overline{\mathrm{\underline H}}=-\left(\hat{x} \mathrm{k}_{\mathrm{z}}+\hat{z} \mathrm{j} \alpha\right)\left(\mathrm{\underline E}_{1} / \omega \mu_{\mathrm{o}}\right) \mathrm{e}^{-\alpha \mathrm{x}-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{z}} \mathrm{z}} \qquad\qquad\qquad \text { for } \mathrm{x} \geq \mathrm{d} \label{12.2.5}\]

\[\overline{\mathrm{\underline H}}=\{+\textit { or }-\}\left(\hat{x} \mathrm{k}_{\mathrm{z}}-\hat{z} \mathrm{j} \alpha\right)\left(\mathrm{\underline E}_{1} / \omega \mu_{\mathrm{o}}\right) \mathrm{e}^{\alpha \mathrm{x}-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{z}} \mathrm{z}} \qquad \qquad \qquad \text { for } \mathrm{x} \leq-\mathrm{d} \label{12.2.6}\]

Режим TE ₁ має цікаву властивість, що він наближається до поведінки TEM як ω → 0, а довжина розпаду наближається до нескінченності; більша частина енергії потім поширюється за межі плити, хоча режим керується нею. Режими з n ≥ 2 мають ненульові частоти зрізу. Однак не існує режиму ТМ, який поширюється для f → 0 у хвилеводах діелектричної плити.

Хоча на малюнку 12.2.1 (а) зображено плиту з ізоляційним середовищем зовні, перший варіант у дужках {•} для польових рішень вище також узгоджується для x > 0 з плитою, розташованою 0 < x < d і має ідеально провідну стіну при x = 0; всі граничні умови узгоджуються; це анти- симетричні режими TE. Така конфігурація відповідає, наприклад, певним оптичним направляючим структурам, накладеним на провідні напівпровідники.

Для завершення розв'язків поля TE вище нам потрібні додаткові відносини між\( \underline{\mathrm{E}}_{\mathrm o}\) і\(\underline{\mathrm{E}}_{1} \), і між k _x і\(\alpha\). Відповідність\( \overline{\mathrm{\underline E}}\) при x = d для симетричного розв'язку [cos k _x x in (\ ref {12.2.1})] дає:

\[\mathrm{\hat{y} \underline{E}_{0} \cos \left(k_{x} d\right) e^{-j k_{z} z}=\hat{y} \underline{E}_{1} e^{-\alpha d-j k_{z} z}} \label{12.2.7}\]

Відповідність паралельної (\(\hat{\mathrm z}\)) складової\(\overline{\mathrm{\underline H}}\) at x = d дає:

\[-\hat{\mathrm z} j \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \sin \left(\mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{d}\right)\left(\underline{\mathrm{E}}_{\mathrm{o}} / \omega \mu_{\mathrm{o}}\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{z}} \mathrm{z}}=-\hat{\mathrm z} \mathrm{j} \alpha\left(\mathrm{\underline E}_{1} / \omega \mu_{\mathrm{o}}\right) \mathrm{e}^{-\alpha \mathrm{d}-\mathrm{j} \mathrm{k}_{\mathrm{z}} \mathrm{z}} \label{12.2.8}\]

Умова наведення для симетричних режимів хвилеводу з діелектричною плитою TE задається співвідношенням (\ ref {12.2.8}) до (\ ref {12.2.7}):

\[\mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{d} \tan \left(\mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{d}\right)=\alpha \mathrm{d} \qquad \qquad \qquad \text{(slab guidance condition) } \label{12.2.9}\]

Поєднання наступних двох дисперсійних відносин та усунення k _z може забезпечити необхідне додаткове співвідношення (\ ref {12.2.12}) між k _x та\(\alpha\):

\[\mathrm{k}_{\mathrm{Z}}^{2}+\mathrm{k}_{\mathrm{x}}^{2}=\omega^{2} \mu_{\mathrm{o}} \varepsilon \qquad \qquad \qquad \text{(dispersion relation inside)} \label{12.2.10}\]

\[\mathrm{k}_{\mathrm{Z}}^{2}-\alpha^{2}=\omega^{2} \mu_{\mathrm{o}} \varepsilon_{\mathrm{o}} \qquad \qquad \qquad \text{(dispersion relation outside) } \label{12.2.11}\]

\[\mathrm{k}_{\mathrm{x}}^{2}+\alpha^{2}=\omega^{2}\left(\mu_{\mathrm{o}} \varepsilon-\mu_{\mathrm{o}} \varepsilon_{\mathrm{o}}\right)>0 \qquad \qquad \qquad \text{(slab dispersion relation) } \label{12.2.12}\]

Підставивши в умову наведення (\ ref {12.2.9}) вираз для\(\alpha\) цього випливає з співвідношення дисперсії плити (\ ref {12.2.12}), отримуємо трансцендентне рівняння наведення, яке можна розв'язати чисельно або графічно:

\[\tan \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{d}=\left(\left[\omega^{2} \mu_{\mathrm{o}}\left(\varepsilon-\varepsilon_{\mathrm{o}}\right) \mathrm{d}^{2} / \mathrm{k}_{\mathrm{x}}^{2} \mathrm{d}^{2}\right]-1\right)^{0.5} \qquad\qquad\qquad \text { (guidance equation) } \label{12.2.13}\]

Малюнок 12.2.3 відображає ліву та праву сторони (\ ref {12.2.13}) окремо, тому модальними розв'язками є ті значення k _x d, для яких перетинаються два сімейства кривих.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Режими TE для діелектричної плити хвилеводу.

Зверніть увагу, що режим TE ₁ може бути захоплений і поширюватися на всіх частотах, від майже нуля до нескінченності. На низьких частотах хвилі, керовані плитою, мають невеликі значення\(\alpha\) і розпадаються дуже повільно від плити, так що більша частина енергії фактично поширюється в напрямку z поза плити, а не всередині. Значення\(\alpha\) можна знайти з (\ ref {12.2.12}), і воно наближається до нуля, оскільки обидва k _x d і ω наближаються до нуля.

Однак режим TE ₃ не може поширюватися поблизу нульової частоти. Його частота зрізу\(\omega_{\mathrm{TE} 3}\) виникає, коли k _x d =\(\pi\), як це передбачено на рис. 12.2.3;\( \omega_{\mathrm{TE} 3}\) може бути визначена шляхом розв'язання (\ ref {12.2.12}) для цього випадку. Цей та всі вищі режими не можуть бути захоплені на низьких частотах, оскільки тоді плоскі хвилі, які їх складають, впливають на стіну плити під кутами\( \theta_{\mathrm{c}}\), що виходять за межі цього дозволяють уникнути. Зі збільшенням ω може поширюватися більше режимів. Малюнки 12.2.2 і 12.2.1 (b) ілюструють симетричні режими TE ₁ і TE ₃, а також антисиметричний режим TE ₂. Аналогічні показники можуть бути побудовані для режимів ТМ.

Ці рішення для діелектричних плит хвилеводів схожі з розчинами для оптичних волокон, які натомість приймають форму функцій Бесселя через їх циліндричної геометрії. В обох випадках ми маємо бічні стоячі хвилі, що поширюються всередині, і зникаючі хвилі, що поширюються назовні.

Оптичні волокна

Оптичне волокно - це, як правило, дуже довгий твердий скляний дріт, який затримує світлові хвилі всередині, як і хвилеводи діелектричної плити, описані в розділі 12.2.1. Довжина волокна може становити десятки кілометрів і більше. Оскільки геометрія волокна циліндрична, електричні та магнітні поля всередині та зовні волокна характеризуються функціями Бесселя, про які ми тут не звертаємось. Ці розповсюджуючі електромагнітні поля демонструють бічні стоячі хвилі всередині волокна та еванесенцію зовні. Щоб мінімізувати втрати, серцевина волокна зазвичай накладається скляною оболонкою з низькою діелектричною проникністю, так що еванесентний розпад також відбувається всередині скла з низькими втратами.

Типова лінія передачі скловолокна, можливо, 125 мкм в діаметрі зі скляним сердечником з високою діелектричною проникністю, що має діаметр ~ 6 мкм. Діелектрична проникність сердечника ε + Δε, як правило, на ~ 2 відсотки більша, ніж у оболонки (ε). Якщо світлові хвилі всередині ядра впливають на облицювання за межі критичного кута θ _c, де:

\[\theta_{\mathrm{c}}=\sin ^{-1}(\varepsilon /(\varepsilon+\Delta \varepsilon)) \label{12.2.14}\]

то ці хвилі відмінно відбиваються і потрапляють в пастку. Виникаючі хвилі всередині облицювання розпадаються приблизно експоненціально від серцевини до незначних значень на зовнішній межі облицювання, яка часто укладена в пластик товщиною близько 0,1 мм, який може бути армований. Градуйовані індексні волокна мають градуйований перехід по діелектричній проникності між ядром і оболонкою. Деякі волокна поширюють кілька режимів, які рухаються з різними швидкостями, щоб перешкоджати виходу та обмежувати вилучення інформації (швидкість передачі даних). Кілька волокон зазвичай з'єднуються всередині одного кабелю. Малюнок 12.2.4 передбачає будову типового волокна.

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Типове одягнене оптичне волокно.

На малюнку 12.2.5 показані чотири поширені форми оптичного волокна; існує багато інших. Багатомодове волокно товще і поширює кілька режимів, в той час як одномодове волокно настільки тонке, що поширюватися може тільки один режим. Діаметр сердечника визначає кількість режимів поширення. У всіх циліндричних структурах, навіть одномодових волокон, як вертикально, так і горизонтально поляризовані хвилі можуть поширюватися незалежно і тому можуть заважати один одному при виявленні на виході. Якщо одномодове волокно має еліптичний переріз, одна поляризація може бути зроблена для виходу, щоб сигнал став чистим. Тобто одна поляризація повільніше розпадається від серцевини, так що вона бачить більше поглинаючого матеріалу, який оточує облицювання.

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Типи оптичного волокна.

Початковим питанням, з яким стикалися в 1970-х роках дизайнери оптичних волокон, була втрата поширення. Найбільш серйозним було поглинання через залишкових рівнів домішок у склі, тому багато досліджень і розробок передбачало очищення. Вода ставила особливо складну проблему, оскільки одна з її гармонік потрапила в область, де загасання в склі було інакше мінімальним, як це передбачено на малюнку 12.2.6.

Малюнок\(\PageIndex{6}\): Механізми втрат в оптичних волокні.

На довжині хвиль коротше ~ 1,5 мкм у втратах переважає розсіювання хвиль Релея від випадкових коливань щільності скла на атомних масштабах. Ці розсіяні хвилі виходять з волокна під кутами менше критичного кута. Розсіювання Релея пропорційно f ⁴ і виникає, коли неоднорідності в ε малі порівняно з λ/2\(\pi\). Неоднорідності в скловолокні мають близькоатомні масштаби, скажімо, 1 нм, тоді як довжина хвилі більше 1000 разів більше. Втрати на розсіювання Релея зменшуються за рахунок мінімізації непотрібних неоднорідностей шляхом очищення скла та ретельного перемішування, а також за рахунок зменшення критичного кута. Втрати через розсіювання шорсткими волокнистими стінами невеликі, оскільки витягнуті скловолокна можуть бути дуже гладкими і мало енергії впливає на стіни.

При довжині хвиль більше ~ 1,5 мкм починають домінувати крила інфрачервоних ліній поглинання на нижчих частотах. Це поглинання обумовлено головним чином спектрами вібрацій міжатомних зв'язків, і неминуче. Отриманий діапазон низького загасання, зосереджений близько 1,5 мкм між областями ослаблення Релея та ІК, становить близько 20 ТГц в ширину, достатню для одного волокна, щоб забезпечити кожну людину в США пропускною здатністю 20 × 10 ^12/2,5 × 10 ⁸ = 80 кГц, або 15 приватних телефонних каналів! Більшість волокон, що використовуються для місцевого розподілу, не працюють десь близько до цієї межі через відсутність попиту, хоча деякі підводні кабелі штовхають до нього.

Волокна зазвичай виготовляються спочатку у вигляді заготовки, яка представляє собою скляний стрижень, який згодом може нагріватися одним кінцем і втягуватися в волокно потрібної товщини. Заготовки бувають або суцільними, або порожнистими. Тверді, як правило, виготовляються шляхом парового осадження SiO _{2 та GeO 2} на зовнішній поверхні початкового стрижня, який може бути товщиною міліметра. Змінюючи суміш газів, як правило, Si (Ge) Cl ₄ + O ₂ ⇒ Si (Ge) O ₂ + 2Cl ₂, діелектрична проникність наплавленої скляної оболонки може бути зменшена приблизно на 2 відсотки нижче, ніж серцевини. Кордон між серцевиною та облицюванням може бути гострою або градуйованою контрольованим способом. Як варіант, облицювання заготовки велика і порожниста, а серцевина осідає зсередини гарячими газами таким же чином; по завершенні залишається отвір через середину волокна. Оскільки серцевина невелика в порівнянні з облицюванням, заготовки можна зробити швидше таким чином. Коли заготовка втягується в волокно, будь-який порожнистий сердечник зникає. Іноді перевагою є порожнистий сердечник. Наприклад, деякі нові типи волокон мають сердечники з латерально-періодичними поздовжніми западинами без втрат, всередині яких може поширюватися велика частина енергії.

Ще одним важливим питанням проектування є дисперсія волокон, пов'язана з частотно-залежними фазовими і груповими швидкостями, де фазова швидкість v _p = ω/k. якщо групова швидкість v _g, яка є швидкістю огинаючої вузької смуги синусоїда, змінюється по оптичній смузі пропускання, тоді форма сигналу буде дедалі більше спотворюватися, оскільки швидше рухомі частотні компоненти оболонки надійдуть рано. Наприклад, цифровий імпульс світла, який триває T секунд, виробляється шляхом множення конверту модуляції коробкового вагона (форма другого імпульсу Т) на синусоїдальний оптичний носій, тому частотний спектр - це згортка спектра для синусоїди (спектральний імпульс) та спектр для вагон імпульс ([гріх (2\(\pi\) т/т)]/[2\(\pi\) т/т]). Найвіддаленіші частоти страждають від дисперсії найбільше, і вони в першу чергу пов'язані з гострими краями імпульсу.

Групова швидкість v _g, отримана в (9.5.20) - це нахил співвідношення дисперсії на цікавить оптичній частоті:

\[\mathrm{v}_{\mathrm{g}}=(\partial \mathrm{k} / \partial \omega)^{-1} \label{12.2.15}\]

Малюнок 12.2.7 ілюструє співвідношення дисперсії для трьох різних режимів; режими вищого порядку поширюють інформацію повільніше.

Малюнок\(\PageIndex{7}\): Групові швидкості для режимів оптичного волокна.

Групова швидкість v _g - нахил співвідношення ω (k) і обмежена схилами, пов'язаними з сердечником (v _gcore) і з обшивкою (v _gblading), де обшивка приймається нескінченною. Малюнок сильно перебільшив різницю в ухилі між стрижнем і облицюванням в ілюстративних цілях.

Дисперсійна лінія врешті-решт перетворює квадратний оптичний імпульс у довгий «частотний щебеневий» імпульс з більш швидкими частотами поширення спереду та повільнішими частотами поширення ззаду. Цю проблему можна мінімізувати, ретельно вибираючи комбінації: 1) дисперсії n (f) скла, 2) контуру діелектричної проникності ε (r) у волокні і 3) оптичної центральної частоти f _o. В іншому випадку ми повинні зменшити або пропускну здатність сигналу, або довжину волокна. Для збільшення відстані між підсилювачами дисперсію можна періодично компенсувати спеціальними волокнами або іншими елементами з протилежною дисперсією.

Імпульси поширюються, коли вони поширюються на відстань L, оскільки їх зовнішні частотні компоненти ω ₁ і ω ₂ = ω _1+Δω мають час прибуття на виході, розділений:

\[\Delta \mathrm{t}=\mathrm{L} / \mathrm{v}_{\mathrm{gl}}-\mathrm{L} / \mathrm{v}_{\mathrm{g} 2}=\mathrm{L}\left[\mathrm{d}\left(\mathrm{v}_{\mathrm{g}}^{-1}\right) / \mathrm{d} \omega\right] \Delta \omega=\mathrm{L}\left(\mathrm{d}^{2} \mathrm{k} / \mathrm{d} \omega^{2}\right) \Delta \omega \label{12.2.16}\]

де v _gi - групова швидкість при ω _i (\ ref {12.2.15}). Типові імпульси тривалістю T _р мають смугу пропускання\(\Delta \omega \cong \mathrm{T_{p}^{-1}}\), тому короткі імпульси поширюються швидше. Розкид Δt найменше на частотах, де d ² k/dω ² 0, що знаходиться поблизу представницької точки перегину схилу, показаної на малюнку 12.2.7.

Однак ця природна дисперсія волокон може допомогти вирішити проблему нелінійності волокон. Оскільки загасання завжди присутній у волокні, підсилювачі працюють на високих потужностях, обмежених частково власними нелінійностями та тими, що виникають у волокні, оскільки ε дуже незначно залежить від напруженості поля Е. Ефекти нелінійності є більш серйозними, коли сигнали мають форму ізольовані високоенергетичні імпульси. Навмисне розсіювання і поширення ізольованих імпульсів перед посиленням і введенням їх в волокно зменшує їх пікові амплітуди і виникають нелінійні ефекти. Ця попередня дисперсія робиться протилежною дисперсії волокна, так що дисперсія волокна поступово компенсує попередню дисперсію по всій довжині волокна. Тобто, якщо волокно поширює високі частоти швидше, то ці високочастотні компоненти затримуються відповідно перед введенням у волокно. Коли імпульси знову з'являються в первісному гострому вигляді на дальньому кінці волокна, їх пікові амплітуди настільки слабкі від природного загасання, що вони більше не приводять в рух волокно нелінійно.

Приклад\(\PageIndex{A}\)

Якщо імпульси 10-ps використовуються для передачі даних при 20 Гбіт/с, вони будуть розташовані на відстані 5 × 10 ^-10 сек один від одного і, отже, почнуть заважати один одному після поширення відстані L _max, достатньої для поширення цих імпульсів до ширини 50 пс. Стандартне одномодове оптичне волокно має дисперсію d ² k/dΩ ² 20 пс ^2/км при довжині хвилі 1,5 мкм. На якій відстані L _max такі 10-ps імпульси розширилися до 50 пс?

Рішення

Використовуючи (12.2.16) і\( \Delta \omega \cong \mathrm{T_{p}^{-1}}\) знаходимо:

\[\mathrm{L}_{\mathrm{max}}=\Delta \mathrm{t} /\left[\Delta \omega\left(\mathrm{d}^{2} \mathrm{k} / \mathrm{d} \omega^{2}\right)\right]=50 \ \mathrm{ps} \times 10\ \mathrm{ps} /\left(20 \ \mathrm{ps}^{2} / \mathrm{km}\right)=25 \ \mathrm{km} \nonumber\]

Таким чином, ми повинні уповільнити це волокно до 10 Гбіт/с, якщо підсилювачі знаходяться на відстані 50 км один від одного.