15.12: Затримка потенціалу

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 15.11: Рівняння Максвелла в потенційній формі
- 16: CGS Електрика та магнетизм

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У статичній ситуації, при якій щільність заряду $\rho$ , щільність струму $\textbf{J}$ , електричне поле $\textbf{E}$ і потенціал $V$ , а також магнітне поле $\textbf{B}$ і потенціал $\textbf{A}$ є постійними в часі (тобто вони є функціями $x$ , $y$ і $z$ , але не з $t$ ) ми вже знаємо, як розрахувати, у вакуумі, електричний потенціал від щільності електричного заряду і магнітний потенціал від щільності струму. Формули такі

$V(x,y,z) = \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_o} \int \dfrac{\rho(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}) dv^{\prime}}{R} \tag{15.12.1} \label{15.12.1}$

$\textbf{A}(x,y,z) = \dfrac{\mu_o}{4 \pi } \int \dfrac{\textbf{J} (x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}) dv^{\prime}}{R} \tag{15.12.2} \label{15.12.2}$

$R$ Він re - відстань між точкою $(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})$ і точкою $(x,y,z)$ і $v^{\prime}$ є об'ємним елементом в точці $(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})$ . Я не можу згадати, якщо ми писали ці два рівняння саме в такій формі раніше, але ми, безумовно, використовували їх, і дали багато прикладів обчислення $V$ в розділі 2, і один з обчислень $\textbf{A}$ в розділі 9.3.

Питання, яке ми зараз вирішимо, полягає в тому, чи діють ці формули в нестатичній ситуації, в якій щільність заряду $\rho$ , щільність струму $\textbf{J}$ , електричне поле $\textbf{E}$ і потенціал $V$ , and the magnetic field $\textbf{B}$ і потенціал $\textbf{A}$ змінюються в часі (тобто вони є функціями x, y, z і t). Відповідь - «так, але...». Відповідні формули дійсно

$V(x,y,z,t) = \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_o} \int \dfrac{\rho(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime},t^{\prime}) dv^{\prime}}{R} \tag{15.12.3} \label{15.12.3}$

$\textbf{A}(x,y,z,t) = \dfrac{\mu_o}{4 \pi } \int \dfrac{\textbf{J} (x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime},t^{\prime}) dv^{\prime}}{R} \tag{15.12.4} \label{15.12.4}$

... але зверніть увагу, $t^{\prime}$ on the right hand side and the $t$ on the left hand side! What this means is that, якщо $\rho(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime},t^{\prime})$ щільність заряду $(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})$ в момент часу $t^{\prime}$ , рівняння $\ref{15.12.3}$ дає правильний потенціал $(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})$ у точці в якийсь трохи пізніше часу $t$ , різниця $t-t^{\prime}$ в часі дорівнює час $R/c$ , який потрібно для руху електромагнітного сигналу від $(x,y,z)$ до $(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})$ . Якщо щільність заряду $(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})$ змінюється, інформація про цю зміну не може дійти до точки миттєво; потрібен час $R/c$ , щоб інформація передавалася з однієї точки в іншу. Ті ж міркування стосуються зміни магнітного потенціалу при зміні щільності струму, як описано рівнянням $\ref{15.12.4}$ . Розраховані таким чином потенціали називаються, природно, сповільненими потенціалами. Поки цей результат був отриманий якісним аргументом, фактично рівняння $\ref{15.12.3}$ і $\ref{15.12.4}$ можуть бути отримані у вигляді розв'язку диференціальних рівнянь 15.11.12 і 15.11.13. Математично є також рішення, яке дає «авансовий потенціал» — тобто той, в якому, $t^{\prime}-t$ а не $t-t^{\prime}$ дорівнює $R/c$ . Ви можете розцінювати, якщо хочете, уповільнене рішення як «фізично прийнятне» рішення і відкинути «попереднє» рішення як не фізично значиме. Тобто потенціал не може заздалегідь передбачити, що щільність заряду ось-ось зміниться, і тому змінити його значення до того, як це зробить щільність заряду. Крім того, можна подумати, що закони фізики, принаймні з математичного погляду, дозволяють Всесвіту однаково добре бігати як назад, так і вперед, хоча насправді стрілка часу така, що причина повинна передувати ефект (умова, яка, в теорії відносності, призводить до висновку, що інформація не може передаватися з одного місця в інше зі швидкістю, більшою, ніж швидкість світла). Нагадується також, що закони фізики, принаймні з математичного погляду, дозволяють зменшуватися ентропії ізольованої термодинамічної системи (див. Розділ 7.4 в частині термодинаміки цих нот) — хоча в реальному Всесвіті стрілка часу така, що ентропія насправді збільшується. Нагадаємо також наступний уривок з «Задзеркалля» і «Що там знайшла Аліса».

Додаток . Випадково, лише через два дні після завершення цієї глави я отримав 2005 лютневий випуск астрономії та геофізики, який включав захоплюючу статтю про Стрілу часу. Можливо, ви захочете подивитися його. Посилання - Девіс, П., Астрономія та геофізика (Королівське астрономічне товариство) 46, 26 (2005).