15.12: Затримка потенціалу

Last updated
Save as PDF

Page ID: 78715

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У статичній ситуації, при якій щільність заряду\(\rho\), щільність струму\(\textbf{J}\), електричне поле\(\textbf{E}\) і потенціал\(V\), а також магнітне поле\(\textbf{B}\) і потенціал\(\textbf{A}\) є постійними в часі (тобто вони є функціями\(x\),\(y\) і\(z\), але не з\(t\)) ми вже знаємо, як розрахувати, у вакуумі, електричний потенціал від щільності електричного заряду і магнітний потенціал від щільності струму. Формули такі

\[V(x,y,z) = \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_o} \int \dfrac{\rho(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}) dv^{\prime}}{R} \tag{15.12.1} \label{15.12.1}\]

\[\textbf{A}(x,y,z) = \dfrac{\mu_o}{4 \pi } \int \dfrac{\textbf{J} (x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}) dv^{\prime}}{R} \tag{15.12.2} \label{15.12.2}\]

\(R\)Він re - відстань між точкою\((x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})\) і точкою\((x,y,z)\) і\(v^{\prime}\) є об'ємним елементом в точці\((x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})\). Я не можу згадати, якщо ми писали ці два рівняння саме в такій формі раніше, але ми, безумовно, використовували їх, і дали багато прикладів обчислення\(V\) в розділі 2, і один з обчислень\(\textbf{A}\) в розділі 9.3.

Питання, яке ми зараз вирішимо, полягає в тому, чи діють ці формули в нестатичній ситуації, в якій щільність заряду\(\rho\) , щільність струму\(\textbf{J}\) , електричне поле\(\textbf{E}\) і потенціал\(V\), and the magnetic field \(\textbf{B}\) і потенціал\(\textbf{A}\) змінюються в часі (тобто вони є функціями x, y, z і t). Відповідь - «так, але...». Відповідні формули дійсно

\[V(x,y,z,t) = \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_o} \int \dfrac{\rho(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime},t^{\prime}) dv^{\prime}}{R} \tag{15.12.3} \label{15.12.3}\]

\[\textbf{A}(x,y,z,t) = \dfrac{\mu_o}{4 \pi } \int \dfrac{\textbf{J} (x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime},t^{\prime}) dv^{\prime}}{R} \tag{15.12.4} \label{15.12.4}\]

... але зверніть увагу,\(t^{\prime}\) on the right hand side and the \(t\) on the left hand side! What this means is that, якщо\(\rho(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime},t^{\prime})\) щільність заряду\((x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})\) в момент часу\(t^{\prime}\), рівняння\(\ref{15.12.3}\) дає правильний потенціал\((x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})\) у точці в якийсь трохи пізніше часу\(t\), різниця\(t-t^{\prime}\) в часі дорівнює час\(R/c\), який потрібно для руху електромагнітного сигналу від\((x,y,z)\) до\((x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})\). Якщо щільність заряду\((x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})\) змінюється, інформація про цю зміну не може дійти до точки миттєво; потрібен час\(R/c\), щоб інформація передавалася з однієї точки в іншу. Ті ж міркування стосуються зміни магнітного потенціалу при зміні щільності струму, як описано рівнянням\(\ref{15.12.4}\). Розраховані таким чином потенціали називаються, природно, сповільненими потенціалами. Поки цей результат був отриманий якісним аргументом, фактично рівняння\(\ref{15.12.3}\) і\(\ref{15.12.4}\) можуть бути отримані у вигляді розв'язку диференціальних рівнянь 15.11.12 і 15.11.13. Математично є також рішення, яке дає «авансовий потенціал» — тобто той, в якому,\(t^{\prime}-t\) а не\(t-t^{\prime}\) дорівнює\(R/c\). Ви можете розцінювати, якщо хочете, уповільнене рішення як «фізично прийнятне» рішення і відкинути «попереднє» рішення як не фізично значиме. Тобто потенціал не може заздалегідь передбачити, що щільність заряду ось-ось зміниться, і тому змінити його значення до того, як це зробить щільність заряду. Крім того, можна подумати, що закони фізики, принаймні з математичного погляду, дозволяють Всесвіту однаково добре бігати як назад, так і вперед, хоча насправді стрілка часу така, що причина повинна передувати ефект (умова, яка, в теорії відносності, призводить до висновку, що інформація не може передаватися з одного місця в інше зі швидкістю, більшою, ніж швидкість світла). Нагадується також, що закони фізики, принаймні з математичного погляду, дозволяють зменшуватися ентропії ізольованої термодинамічної системи (див. Розділ 7.4 в частині термодинаміки цих нот) — хоча в реальному Всесвіті стрілка часу така, що ентропія насправді збільшується. Нагадаємо також наступний уривок з «Задзеркалля» і «Що там знайшла Аліса».

Додаток . Випадково, лише через два дні після завершення цієї глави я отримав 2005 лютневий випуск астрономії та геофізики, який включав захоплюючу статтю про Стрілу часу. Можливо, ви захочете подивитися його. Посилання - Девіс, П., Астрономія та геофізика (Королівське астрономічне товариство) 46, 26 (2005).