15.1: Вступ

Last updated
Save as PDF

Page ID: 78728

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Одним з великих досягнень Ньютона було показати, що всі явища класичної механіки можна вивести як наслідки трьох основних, фундаментальних законів, а саме законів руху Ньютона. Це було також одним із великих досягнень Максвелла, щоб показати, що всі явища класичної електрики та магнетизму - всі явища, виявлені Ерстедом, Ампером, Генрі, Фарадеєм та іншими, чиї імена згадуються в декількох електричних одиницях - можна вивести як наслідки чотирьох основних, фундаментальні рівняння. Ми описуємо ці чотири рівняння в цьому розділі, і, попутно, ми також згадуємо рівняння Пуассона і Лапласа. Ми також покажемо, як рівняння Максвелла прогнозують існування електромагнітних хвиль, які рухаються зі швидкістю\(3 \times 10^8\, \text{m} \,\text{s}^{-1}\). Це швидкість, з якою вимірюється світло, щоб рухатися, і одна з найважливіших основ нашого переконання, що світло - це електромагнітна хвиля.

Перш ніж приступати до цього, нам може знадобитися нагадування про дві математичні теореми, а також нагадування про диференціальне рівняння, яке описує хвильовий рух.

Дві математичні теореми, про які нам потрібно нагадати собі, це:

Поверхневий інтеграл векторного поля над замкнутою поверхнею дорівнює об'ємному інтегралу його розбіжності.
Лінійний інтеграл векторного поля навколо замкнутої плоської кривої дорівнює поверхневому інтегралу її завитка.

Функція\(f(x-v t)\) являє собою функцію, яка рухається зі швидкістю\(v\) в позитивному\(x\) напрямку, а функція\(g(x-v t)\) представляє функцію, яка рухається зі швидкістю\(v\) в негативному\(x\) -напрямку. Це легко перевірити шляхом підстановки, що\(y=Af+Bg\) є розв'язком диференціального рівняння.

\[ \dfrac{d^2y}{dt^2} = v^2 \dfrac{d^2y}{dx^2} \tag{15.1.1} \label{15.1.1}\]

Дійсно, це найзагальніше рішення, оскільки e\(f\) і\(g\) є досить загальними функціями, а функція\(y\) a вже містить лише дві довільні константи інтеграції, які слід очікувати від другого порядку. диференціальне рівняння. Рівняння\ ref {15.1.1} - це диференціальне рівняння для хвилі в одному вимірі. Для функції\(\Psi(x,y,z)\) in three dimensions, the corresponding wave equation is

\[ \ddot \Psi = v^2 \nabla^2 \Psi \tag{15.1.2}\]

Легко запам'ятати, яка сторона рівності\(v^2\) знаходиться на з мірних міркувань.

Останній невеликий момент, перш ніж продовжити - у мене можуть закінчитися символи! Можливо, мені доведеться посилатися на поверхневу щільність заряду, скалярну величину, для якої звичайний символ i s\(\sigma\). Також потрібно буде звернутися до магнітного векторного потенціалу, для якого є звичайний символ l\(\bf{A}\). І я повинен посилатися на область, для якої зазвичай використовуються будь-які символи масла\(A\) або\(\sigma\) a - або, якщо вектор характер області слід підкреслити,\(\bf{A}\) або\(\boldsymbol{\sigma}\). Те, що я спробую зробити, щоб уникнути цієї складності, це використовувати\(\bf{A}\) для магнітного векторного потенціалу, і\(\sigma\) для площі, і я намагатимуся уникати використання поверхневої щільності заряду в будь-якому рівнянні. Однак читача попереджають бути уважним і бути впевненим, що означає кожен символ в певному контексті.