Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

15.1: Вступ

Одним з великих досягнень Ньютона було показати, що всі явища класичної механіки можна вивести як наслідки трьох основних, фундаментальних законів, а саме законів руху Ньютона. Це було також одним із великих досягнень Максвелла, щоб показати, що всі явища класичної електрики та магнетизму - всі явища, виявлені Ерстедом, Ампером, Генрі, Фарадеєм та іншими, чиї імена згадуються в декількох електричних одиницях - можна вивести як наслідки чотирьох основних, фундаментальні рівняння. Ми описуємо ці чотири рівняння в цьому розділі, і, попутно, ми також згадуємо рівняння Пуассона і Лапласа. Ми також покажемо, як рівняння Максвелла прогнозують існування електромагнітних хвиль, які рухаються зі швидкістю3×108ms1. Це швидкість, з якою вимірюється світло, щоб рухатися, і одна з найважливіших основ нашого переконання, що світло - це електромагнітна хвиля.

Перш ніж приступати до цього, нам може знадобитися нагадування про дві математичні теореми, а також нагадування про диференціальне рівняння, яке описує хвильовий рух.

Дві математичні теореми, про які нам потрібно нагадати собі, це:

  • Поверхневий інтеграл векторного поля над замкнутою поверхнею дорівнює об'ємному інтегралу його розбіжності.
  • Лінійний інтеграл векторного поля навколо замкнутої плоської кривої дорівнює поверхневому інтегралу її завитка.

Функціяf(xvt) являє собою функцію, яка рухається зі швидкістюv в позитивномуx напрямку, а функціяg(xvt) представляє функцію, яка рухається зі швидкістюv в негативномуx -напрямку. Це легко перевірити шляхом підстановки, щоy=Af+Bg є розв'язком диференціального рівняння.

d2ydt2=v2d2ydx2

Дійсно, це найзагальніше рішення, оскільки ef іg є досить загальними функціями, а функціяy a вже містить лише дві довільні константи інтеграції, які слід очікувати від другого порядку. диференціальне рівняння. Рівняння\ ref {15.1.1} - це диференціальне рівняння для хвилі в одному вимірі. Для функціїΨ(x,y,z) in three dimensions, the corresponding wave equation is

¨Ψ=v22Ψ

Легко запам'ятати, яка сторона рівностіv2 знаходиться на з мірних міркувань.

Останній невеликий момент, перш ніж продовжити - у мене можуть закінчитися символи! Можливо, мені доведеться посилатися на поверхневу щільність заряду, скалярну величину, для якої звичайний символ i sσ. Також потрібно буде звернутися до магнітного векторного потенціалу, для якого є звичайний символ lA. І я повинен посилатися на область, для якої зазвичай використовуються будь-які символи маслаA абоσ a - або, якщо вектор характер області слід підкреслити,A абоσ. Те, що я спробую зробити, щоб уникнути цієї складності, це використовуватиA для магнітного векторного потенціалу, іσ для площі, і я намагатимуся уникати використання поверхневої щільності заряду в будь-якому рівнянні. Однак читача попереджають бути уважним і бути впевненим, що означає кожен символ в певному контексті.