14.9: Диференціальне рівняння другого порядку

Last updated
Save as PDF

Page ID: 78767

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Вирішити

\[\ddot y - 4 \dot y + 3y = e^{-t} \label{eq1}\]

з початковими умовами\(y_0=1\) and \(\dot y_0 = -1\).

Ви, напевно, вже знаєте якийсь метод вирішення цього рівняння, тому, будь ласка, продовжуйте і зробіть це. Потім, коли ви закінчите, подивіться на рішення від трансформацій Лапласа.

Трансформація Лапласа :

\[s^2 \bar{y} - s + 1 - 4(s \bar{y} - 1) + 3\bar{y} = 1/(s+1).\]

(Моє! Не було так швидко!)

Трохи алгебри:

\[\bar{y} = \frac{1}{(s-3)(s-1)(s+1)}+\frac{s-5}{(s-3)(s-1)}.\]

Часткові дроби:

\[\bar{y}=\frac{1}{8}\left(\frac{1}{s-3}-\frac{2}{s-1}+\frac{1}{s+1}\right) + \frac{2}{s-1}-\frac{1}{s-3},\]

або

\[\bar{y}=\frac{1}{8} \left(\frac{1}{s+1}\right) + \frac{7}{4}\left(\frac{1}{s-1}\right) - \frac{7}{8}\left(\frac{1}{s-3}\right).\]

Зворотне перетворення:

\[y=\frac{1}{8}e^{-t} + \frac{7}{4}e^t - \frac{7}{8}e^{3t}\]

і ви можете переконатися, що це правильно шляхом підстановки у вихідному диференціальному рівнянні (Equation\ ref {eq1}).

Отже: Ми знайшли новий спосіб розв'язання диференціальних рівнянь. Якщо (але тільки якщо) у нас є багато практики маніпулювання трансформаціями Лапласа, і ми використовували різні маніпуляції, щоб підготувати трохи більшу таблицю перетворень з основної таблиці, наведеної вище, і ми можемо перейти від\(t\) to \(s\) and from \(s\) to \(t\) with equal facility, we can believe that our new method can be both fast and easy.

Але, що це має відношення до електричних ланцюгів? Читайте далі.