13.10: Трансформатор

Ми познайомилися з трансформатором коротко в розділі 10.9. Там ми вказували, що ЕРС, індукована у вторинній котушці, дорівнює кількості витків у вторинній котушці, що перевищує швидкість зміни магнітного потоку; а потік пропорційний ЕРС, застосованої до первинного часу кількості витків у первинному. Звідси ми вивели добре відоме відношення

$$\tag{13.10.1}\dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{N_2}{N_1}$$

відношення первинного і вторинного напруги до кількості витків в кожному. Тепер розглянемо трансформатор більш детально, зокрема, розглянемо, що відбувається, коли ми підключаємо вторинну котушку в ланцюг і беремо з неї харчування.

Малюнок$\text{XIII.12}$

На малюнку$\text{XIII.12}$, we apply an AC EMF $V=\hat{V}e^{j\omega t}$ to the primary circuit. The self inductance of the primary coil is $L_1$, і в первинному ланцюзі$I_1$ протікає змінний струм. Самоіндуктивність вторинної котушки є$L_2$, а взаємна індуктивність двох котушок є$M$. Якщо муфта між двома котушками дуже щільна, то в$M=\sqrt{L_1L_2}$; іншому випадку вона менше цього. Я припускаю, що опір первинного контуру набагато менше, ніж реактивний опір, тому я збираюся нехтувати ним.

Вторинна котушка підключається до опору$R$ . У вторинному ланцюзі$I_2$ протікає змінний струм.

Давайте застосуємо закон Ома (або друге правило Кірхгофа) до кожного з двох контурів.

У первинному ланцюзі застосована ЕРС V протиставляється дві зворотні ЕРС:

$$\tag{13.10.2}V=L_1\dot I_1 +M\dot I_2.$$

Тобто

$$\tag{13.10.3}V=j\omega L_1 I_1 +j\omega MI_2.$$

Аналогічно для вторинного контуру:

$$\tag{13.10.4}0=j\omega MI_1+j\omega L_2I_2+RI_2.$$

Це два одночасних рівняння для струмів, і ми можемо (з невеликим зусиллям) вирішити їх для$I_1$ і$I_2$ :

$$\label{13.10.5}\tag{13.10.5}\left [ \dfrac{RL_1}{M}+j\left (\dfrac{\omega L_1L_2}{M}-\omega M \right )\right ]I_1=\left (\dfrac{L_2}{M}-j\dfrac{R}{\omega M}\right )V$$

і

$$\tag{13.10.6}\left [R+j\left ( \omega L_2-\dfrac{\omega M^2}{L_1}\right ) \right ]I_2=-\dfrac{MV}{L_1}.$$

Це було б легше зрозуміти, якби ми зробили необхідну алгебру, щоб записати їх у формах, а$I_1=(a+jb)V\text{ and }I_2=(c+jd)V$. We could then easily see the phase relationships between the current and $V$ також пікові значення струмів. Немає ніяких причин, чому ми не повинні спробувати це, але я буду трохи ледачим, перш ніж я це зроблю, і я збираюся припустити, що у нас є добре розроблений трансформатор, в якому вторинна котушка дійсно щільно намотана навколо первинної, і$M=\sqrt{L_1L_2}$ якщо ви хочете, ви можете продовжувати з менш ефективним трансформатором, з$M=k\sqrt{L_1L_2}$ де$k$ коефіцієнт зчеплення менше 1, але я збираюся дотримуватися$M=\sqrt{L_1L_2}$. У такому випадку рівняння\ ref {13.10.5} і 6 в кінцевому підсумку набувають форми

$$\tag{13.10.7}I_1=\left ( \dfrac{L_2}{L_1R}-j\dfrac{1}{L_1\omega}\right ) V = \left ( \dfrac{N_2^2}{N_1^2R}-j\dfrac{1}{L_1\omega}\right )V$$

і

$$\label{13.10.8}\tag{13.10.8}I_2=-\dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L_2}{L_1}}V=-\dfrac{N_2}{N_1R}V.$$

Ці рівняння скажуть нам при розгляді величини струмів та їх фази щодо$V$ .

Тепер подивіться на схему, зображену на малюнку$\text{XIII.13}$.

Малюнок$\text{XIII.13}$

На рис$\text{XIII.13}$ we have a resistance $R(N_1/N_2)^2$ in parallel with an inductance $L_1$. Допуски цих двох елементів є, відповідно,$(N_2/N_1)^2/R$ і$-j/(L_1\omega)$, тому загальний дохід є$\dfrac{N_2^2}{N_1^2R}-j\dfrac{1}{L_1\omega}$. Таким чином, що стосується взаємозв'язку між струмом і напругою, то первинний ланцюг трансформатора точно еквівалентна схемі, намальованої на малюнку$\text{XIII.13}$. Щоб побачити взаємозв'язок між$I_1$ і$V$, нам потрібно дивитися не далі, ніж малюнок$\text{XIII.13}$.

Аналогічно, Equation\ ref {13.10.8} показує нам, що зв'язок між$I_2$ і точно$V$ такий, як якщо б у нас був генератор змінного струму ЕРС$N_2V/N_1$ connected across $R$, як на малюнку$\text{XIII.14}$.

Малюнок$\text{XIII.14}$

Зверніть увагу, що при короткому замиканні вторинної (тобто якщо$R = 0$ і якщо опір вторинної котушки буквально дорівнює нулю) як первинний, так і вторинний струм стають нескінченними. Якщо вторинну ланцюг залишити розімкнутою (тобто$R = \infty$), вторинний струм дорівнює нулю (як очікувалося), а первинний струм, також як очікувалося, не дорівнює нулю, а є$-jV/(L_1\omega)$; That is to say, the current is of magnitude $V/(L_1\omega)$ і він відстає від напруги на 90 ^о, так само, як ніби вторинної ланцюга там не було.