13.11: Середньо-квадратні значення, потужність та імпеданс узгодження

Ми мали справу зі змінними струмами виду,\(I=\hat{I}e^{j\omega t}\). I have been using the notation \(\hat{I}\) щоб позначити «пікове» (тобто максимальне) значення струму. Звичайно, в позначенні комплексних чисел це синонім модуля\(I\). Тобто\(\hat{I}=\text{mod }I=|I|\). Я буду використовувати ті чи інші позначення, де це зручно. Це часто означатиме використання ^ при описі величин, що змінюються в часі, і\(| \,\, |\) при описі постійних (але, можливо, залежних від частоти) величин, таких як імпеданси.

Припустимо, у нас є струм, який змінюється з часом\(I=\hat{I}\sin \omega t\). During a complete period \((P=2\pi / \omega )\) , оскільки середній або середній струм дорівнює нулю. Середнє значення квадрата струму, однак, не дорівнює нулю. Середній квадрат струму,\(\overline{I^2}\), визначається таким чином, що

\[\label{13.11.1}\overline{I^2}P=\int_0^P I^2 \,dt.\]

З\(I=\hat{I}\sin \omega t\) this gives \(\overline{I^2}=\frac{1}{2}\hat{I}^2\). квадратним коренем цього є середньоквадратичний струм, або середньоквадратичне значення струму:

\[\label{13.11.2}I_\text{RMS}=\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{I}=0.707\hat{I}.\]

Коли нам кажуть, що змінний струм - це так багато ампер, або змінна напруга так багато вольт, зазвичай мається на увазі значення RMS, хоча ми не можемо бути впевнені в цьому, якщо динамік або письменник явно не скаже про це. Якщо ви хочете, щоб вас зрозуміли і не зрозуміли неправильно у власних творах, ви завжди чітко зрозумієте, який сенс ви маєте намір.

Якщо через резистор протікає змінний струм, в якийсь момент, коли струм є.\(I\), the instantaneous rate of dissipation of energy in the resistor is \(I^2R\). The mean rate of dissipation of energy during a complete cycle is \(I_{\text{RMS}}^2R\). Це одна очевидна причина, чому важливо поняття середньоквадратичного струму.

Тепер поверніть свій розум до розділу 4.8. Там ми уявляли\(R\) across a battery of EMF \(E\) and internal resistance \(r\). We calculated that the power delivered to the resistance was \(P=I^2R=\frac{E^2R}{(R+r)^2}\) , що ми підключили опір, і що це найбільше (і рівне\(\frac{1}{4}E^2/r\)), коли зовнішній опір дорівнювало внутрішньому опору батареї.

Яка відповідна ситуація зі змінним струмом? Припустимо, у нас є коробка («джерело»), яка подає змінну напругу\(V\) (which is represented by a complex number \(\hat{V}e^{j\omega t}\)), і що ця коробка має внутрішній імпеданс.\(z=r+jx\). Якщо ми з'єднаємо через коробку пристрій («навантаження»), який має імпеданс\(Z=R+jX\), якою буде потужність, що подається на навантаження, і чи можемо ми відповідати зовнішньому імпеданс навантаження до внутрішнього імпедансу коробки таким чином, що потужність, що подається на навантаження, найбільша?

На друге питання досить легко відповісти. Реактивний опір може бути як позитивним (індуктивним), так і негативним (ємнісним), і тому цілком можливо, щоб сумарний реактивний опір всієї схеми дорівнював нулю. Таким чином, для початку, ми хочемо переконатися, що\(X=-x\). That is, the external reactance should be equal in magnitude but opposite in sign to the internal reactance. The circuit is then purely resistive, and the power delivered to the circuit is just what it was in the direct current case, namely \(P=I^2R=\frac{E^2R}{(R+r)^2}\), там, де струм і ЕРС в цьому рівнянні тепер середньоквадратичне значення. І, як і у випадку з постійним струмом, це найбільше, якщо\(R=r\). The conclusion is that, for maximum power transfer, \(R+jX\) має дорівнювати\(r-jx\). Тобто, щоб зовнішній і внутрішній імпеданси були узгоджені для максимальної передачі потужності,\(Z=z^*\). Імпеданс навантаження повинен дорівнювати сполученому імпедансу джерела.

Яка потужність подається на навантаження, коли імпеданси не узгоджені? Іншими словами, коли\(z=r+jx\) і\(Z=R+jX\). Це є\(P=\frac{1}{2}\hat{I}^2R\). Струм задається рівнянням\(E=I(Z+z)\). (Це все комплексні числа - тобто всі вони є періодичними функціями з різними фазами. \(E\)і\(I\) змінюються в залежності від часу.) Тепер якщо\(w_1\) і\(w_2\) є двома комплексними числами, то добре відомо (з курсів в комплексних числах), що\(|w_1w_2|=|w_1||w_2|\). We apply this now to \(E=I(Z+z)\). [I shall use ^ for the “peak” of the time-varying quantities, and \(|\,\, |\) for the modulus of the impedances] We obtain \(\hat{E}=\hat{I}|Z+z|\).

Таким чином

\[\label{13.11.3}P=\frac{1}{2}\hat{I}^2R=\frac{1}{2}\frac{\hat{E}^2R}{|Z+z|^2}=\frac{E_{\text{RMS}}^{2}R}{\underline{(R+r)+(X+x)^2}}\]