9.4: Довгий соленоїд

Помістимо нескінченно довгий соленоїд$n$ витків на одиницю довжини так, щоб його вісь збігалася з$z$ -віссю координат, а струм$I$ тече в сенсі збільшення$\phi$. У такому випадку ми вже знаємо, що поле всередині соленоїда рівномірне і знаходиться$\mu\, n\, I\, \hat{\textbf{z}}$ всередині соленоїда і нуль зовні. Оскільки поле має тільки$z$ складову, векторний потенціал$\textbf{A}$ може мати тільки$\phi$ - компонент.

Будемо вважати, що радіус соленоїда дорівнює$a$. Тепер розглянемо коло радіусом$r$ (менше$a$) перпендикулярно осі соленоїда (а значить, і до поля$\textbf{B}$). Магнітний потік через це коло (тобто поверхневий інтеграл$\textbf{B}$ по всьому колу) є$\pi r^2B = \pi r^2 nI$. Тепер, як всім відомо, поверхневий інтеграл векторного поля по замкнутій кривій дорівнює прямому інтегралу його завитка навколо кривої, і це дорівнює$2\pi r A_\phi$. Таким чином, всередині соленоїда векторний потенціал

$$\textbf{A}=\frac{1}{2}\mu n r I \hat{\boldsymbol{\phi}}.\label{9.4.1}$$

Зчитувачу залишається стверджувати, що поза$(r > a)$ соленоїдом потенціал магнітного вектора становить

$$\textbf{A}=\frac{\mu na^2 I}{2r}\hat{\boldsymbol{\phi}}.$$