Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

9.4: Довгий соленоїд

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    78428

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Помістимо нескінченно довгий соленоїд\(n\) витків на одиницю довжини так, щоб його вісь збігалася з\(z\) -віссю координат, а струм\(I\) тече в сенсі збільшення\(\phi\). У такому випадку ми вже знаємо, що поле всередині соленоїда рівномірне і знаходиться\(\mu\, n\, I\, \hat{\textbf{z}}\) всередині соленоїда і нуль зовні. Оскільки поле має тільки\(z\) складову, векторний потенціал\(\textbf{A}\) може мати тільки\(\phi\) - компонент.

    Будемо вважати, що радіус соленоїда дорівнює\(a\). Тепер розглянемо коло радіусом\(r\) (менше\(a\)) перпендикулярно осі соленоїда (а значить, і до поля\(\textbf{B}\)). Магнітний потік через це коло (тобто поверхневий інтеграл\(\textbf{B}\) по всьому колу) є\(\pi r^2B = \pi r^2 nI\). Тепер, як всім відомо, поверхневий інтеграл векторного поля по замкнутій кривій дорівнює прямому інтегралу його завитка навколо кривої, і це дорівнює\(2\pi r A_\phi\). Таким чином, всередині соленоїда векторний потенціал

    \[\textbf{A}=\frac{1}{2}\mu n r I \hat{\boldsymbol{\phi}}.\label{9.4.1}\]

    Зчитувачу залишається стверджувати, що поза\((r > a)\) соленоїдом потенціал магнітного вектора становить

    \[\textbf{A}=\frac{\mu na^2 I}{2r}\hat{\boldsymbol{\phi}}.\]