7.2: Стрілка енергії

стрілка простору/часу, що вказує уздовж світової лінії

Що ховається за назвою моментум-енергія (моменергія)? Що має значення, так це його властивості. Ми найлегше розкрити три центральні властивості моменергії, поєднуючи повсякденне спостереження з важливою особливістю моменергії: загальна моменергія зберігається при будь-якому зіткненні.

По-перше, подумайте про дві гальки різного розміру, що рухаються з однаковою швидкістю до лобового скла автомобіля, що перевищує швидкість. Один відскакує від лобового скла, ніхто не помічає; інший вражає мешканців і залишає подряпину. П'ять разів більше маси? П'ять

Моменергія частинок разів потужність подачі пуансону! П'ять разів більша енергія. Моменергія, іншими словами, пропорційна масі.

По-друге, імпульс-енергія частинки залежить від її напрямку руху. Камінчик, що йде спереду, бере з лобового скла більший чіп, ніж камінчик однакової маси і однакової швидкості, що дивиться з лобового скла збоку. Тому мо-

Моменергія спрямованої величини енергія не вимірюється простим числом. Це спрямована величина. Як і стрілка певної довжини, вона має величину і напрямок.

Наш досвід з єдністю просторучасу змушує нас очікувати, що стрілка momenergy матиме три частини, відповідні трьом космічним вимірам, плюс четверта частина, що відповідає часу. У наступному ми виявляємо, що momenergy - це дійсно чотиривимірна стрілка в простору-часі, моменергія 4-вектор (Box 7-1). Його три Momenergy a 4-векторні «космічні частини» представляють імпульс об'єкта в трьох обраних космічних напрямках. Його «часова частина» являє собою енергію. Єдність імпульсу і енергії випливає з єдності простору і часу.

В якому напрямку рухається моменергія 4-вектор точки частинки? Він вказує в «тому ж напрямку в просторовічасі», що і світова лінія самої частинки (рис. 7-1). Там частинки momenergy точок уздовж своєї світової лінії немає іншого природного напрямку, в якому вона може вказувати! Сам простір не має структури, яка б вказувала або віддавала перевагу одному напрямку, а не іншому. Тільки рух самої частинки дає бажаний напрямок в просторічасі. Частка рухається від однієї події до сусідньої події вздовж своєї світової лінії. При цьому він зазнає зміщення простору/часу, невеликі зміни в трьох положеннях простору разом із супутнім невеликим просуванням у часі. Зсув просторового часу складається з чотирьох частин: це 4-вектор. Стрілка momenergy вказує в напрямку іншої стрілки, стрілки частинки простору-час 4-векторного зміщення. Моменергія проходить паралельно світовій лінії!

Порівняйте світову лінію окремої частинки в просторучасі з однією соломою у великому сараї, наповненому сіном. Ця конкретна солома має напрямок, існування та значення, незалежне від будь-якого методу вимірювання, який уявляють люди, які складають сіно або мишами, які живуть у ньому. Аналогічно, у багатій шпалерній роботі світових ліній, які проходять через простор-час, стрілоподібна моенергія частинки має існування та визначеність, незалежні від вибору або навіть використання будь-якої системи відліку вільного плавання (Розділ 5.9).

Немає системи відліку? Тоді немає годин, доступних для руху часу звідси туди! Або, скоріше, жоден годинник, крім того, який несе сама частинка, власний наручний годинник, який фіксує належний час. Правильний час для чого? Власний час для зміщення простору/часу між двома суміжними подіями на світовій лінії частинки. Належний час забезпечує Momenergy незалежний від системи відліку

Частинки наручні годинники реєструють час для momenergy тільки природним способом, щоб годинник швидкості руху частинки; це третя і кінцева особливість momenergy.

Коротше кажучи, моменергія частинки є 4-вектором: її величина пропорційна її масі, вона вказує у напрямку зміщення простору частинки в часі, і вона враховується, використовуючи належний час для цього зміщення. Як ці властивості поєднуються для формування моменергії? Просто! Скористайтеся рецептом Ньютонівського імпульсу: зміщення маси разів, поділене на проміжок часу для цього зміщення. Замість

КОРОБКА\(7-1\)

Вектор - це математичний об'єкт, який має як величину, так і напрямок. Значення термінів величина і напрямок, однак, відрізняються між однією геометрією та іншою. Математика пропонує безліч геометрій. Дві геометрії, важливі для нас у цій книзі, - евклідова геометрія та геометрія Лоренца.

Евклідова геометрія визначає 3-вектори, розташовані в тривимірному просторі. Нехай частинка, що перевищує швидкість, випромінює дві іскри. Просторовий зміщення частинки від першої іскри до другої іскри є 3-вектором. Кожна з трьох складових (на північ, схід і вгору) цього 3-векторного зміщення має значення більше або менше, залежно від орієнтації обраної системи координат. На відміну від цього, величина зміщення - пройдена відстань (обчислюється як квадратний корінь суми квадратів трьох складових зміщення) - має однакове значення у всіх системах координат.

Геометрія Лоренца визначає 4 вектори, розташовані в 4-вимірному просторічасу. Побудувати 4-векторне зміщення простору-часу з трьох просторових складових, доповнених часовою складовою, часом між іскрами, що випромінюються частинкою, що перевищує швидкість. Кожен з цих чотирьох компонентів (включаючи час) має значення більше або менше, залежно від вибору системи відліку у вільному обсязі, з якого він вимірюється. Квадрат поділу в часі між двома іскрами, як так виміряний, зменшений квадратом поділу в просторі в обраному кадрі, дає квадрат просторово-часового інтервалу між двома подіями. Цей інтервал має однакове значення у всіх фреймах з вільним плаванням. Це також належний час, час між двома іскрами, прочитаними безпосередньо на наручному годиннику частинки.

Ньютонівська механіка поєднує (різними способами) час і масу частинки з евклідовим 3-векторним зміщенням частинки для отримання додаткових 3-векторів, що описують рух частинок: швидкість, імпульс, прискорення. Кожен 3-вектор має величину і напрямок. Значення трьох складових кожного 3-вектора залежать від орієнтації обраної системи координат. Але для кожної 3-векторної величини сам 3-вектор однаковий, як за величиною, так і за напрямком у просторі, незалежно від того, яку евклідову систему координат ми вибрали. Кожен 3-вектор існує навіть за відсутності будь-якої системи координат взагалі! Ось чому аналіз ньютонівської механіки може продовжуватися у всіх його повсякденних застосуваннях незалежно від вибору системи координат.

Релятивістська механіка поєднує (різними способами) належний час і масу частинки з 4-векторним зміщенням частинки Лоренца для отримання додаткових 4-векторів, що описують рух частинок. Центральним серед них є моментум-енергія частинки 4-вектор, або моменергія. Значення чотирьох складових 4-вектора моменергії відрізняються, виміряні у різних фреймах вільного плавання при відносному русі. Але сам по собі моменергія 4-вектор однаковий, як за величиною (масі!) і напрямок в просторі часу, незалежно від того, який кадр. Моменергія 4-вектора частинки існує навіть за відсутності будь-якої системи відліку взагалі! Саме тому аналіз релятивістської механіки може протікати у всій своїй силі незалежно від вибору вільної системи відліку.

ЦИФРА 7-1. Рух і моменергія розглядаються як однаково спрямовані стрілки. Стрілка моменергія проводиться по світовоїлінії з частинкою. Під дією сили частка простежує вигнуту світулінію. Стрілка моменергія - її постійна величина, рівна масі частинки - постійно змінює свій нахил, щоб вказувати в тому ж напрямку в простору-часі, що і світова лінія. (Для особливого випадку, показаного тут, частинка рухається в\(\mathrm{x}\) і\(\mathrm{t}\), але не в\(\mathrm{y}\) або\(\mathrm{z}\).)

Ньютонівське зміщення у просторі використовуйте зміщення Ейнштейна у просторі-часі; замість «універсального часу» Ньютона використовуйте належний час Ейнштейна.

Результат виражає моменергію 4-вектора через просторово-часовий зсув 4-вектора:

\[(\text { momenergy })=\text { (mass) } \times \frac{\text { (spacetime displacement) }}{\text { (proper time for that displacement) }}\]

У будь-якому заданому фреймі з вільним плаванням імпульс частинки - це три «космічні частини» моменергії, а енергія частинки - «часова частина». Цей вираз для моменергії простий, і він працює - працює так, як використовується в законі збереження моменергії: загальна моменергія перед реакцією дорівнює загальній моменергії після реакції. Дослідники спостерігали та проаналізували понад мільйон зіткнень, творінь, перетворень, розпаду та знищення частинок та випромінювання. Їм не вдалося виявити жодного порушення релятивістського закону збереження моменергії.

Дійти до такої важливої формули, як (7-1) так безболісно, на перший погляд може викликати сумніви. Ці сумніви мають бути відкинуті. Справа в тому, що немає місця для будь-якої альтернативи - як ми бачимо, пройшовши крок за кроком через фактори в цьому рівнянні.

• Заява\(1: m\) одиниць маси, що переслідують даний рух, переносять\(m\) раз моменергія однієї одиниці маси. Міркування:\(m\) однакові об'єкти, що мчать уздовж\(m\) пліч-о-пліч, несуть в\(m\) рази імпульс і раз енергію - а отже, і\(m\) разів на моменергію - об'єкта одиничної маси.
• Заява 2: Моменергія вказує в тому ж напрямку в просторі часу, що і світова лінія. Міркування: Де ще це може вказувати? Навіть найменша різниця в напрямку між моменергією і напрямком руху вздовж світової лінії свідчило б про якусь божевільну асиметрію в просторі-часі, для якої жоден експеримент у вільному від поля просторі ніколи не давав найменших доказів.
• Заява 3: Зсув простору в часі між однією подією на світовій лінії та сусідньою подією на ній визначає напрямок цієї світової лінії. Міркування: Саме поняття напрямки має на увазі, що існує сегмент\(A B\),
• Формула Моменергія обґрунтовується світовою лінією досить короткою, щоб вважатися прямою. І щоб зафіксувати напрямок цього просторучасу зміщення\(A B\), досить знати розташування будь-яких двох подій,\(A\) причому\(B\), на цьому короткому відрізку.
• Заява 4: Напрямок світової лінії - а отже, і енергія - не залежить від величини зміщення простору-часу. Міркування: вибрати подію\(B^{\prime}\) на світовій лінії наполовину так далеко,\(A\) як\(B\) уздовж короткого прямого відрізка - таким чином, щоб скоротити навпіл простору-час зміщення - не вносить змін у напрямку світової лінії, тому немає зміни в напрямку моменергія, тому ніяких змін у самій моменергії.
• Заява 5: Одиниця 4 -вектор (spacetime time spacetime)/(належний час для цього зміщення) визначає та вимірює напрямок переміщення світової лінії і, отже, напрямок моенергійного 4-вектора. Міркування: Важливим є не зміщення простору/часу окремо, не належний час окремо, а лише їх співвідношення. Це співвідношення є єдиною спрямованою величиною, доступною нам для опису швидкості руху частинки через простор-час.

Зсув простору часу\(A B\), має величину, рівну інтервалу (або належного часу або часу наручного годинника), від якого частка повинна\(A\) пройти\(B\). Саме тому розглядається співвідношення - це одиниця 4-вектора.

Правильний час забезпечує єдиний природний спосіб, єдиний незалежний від кадру засіб, щоб годинник частинки. Якщо замість цього ми повинні неправильно поставити frame time в знаменник - час кадру, виміряний масивом годин в конкретному free float кадрі - значення цього часу буде відрізнятися від одного кадру до іншого. Розділений на зміщення простору/часу, він, як правило, не дає одиничного вектора. Величина вектора буде відрізнятися від одного кадру до іншого. Тому ми повинні використовувати в знаменнику належний час, щоб перейти від\(A\) до\(B\), належний час, ідентичний величині зміщення простору-часу\(A B\) в чисельнику.

Заява 6: Моменергія 4-вектор частинки

\[(\text { momenergy })=\text { (mass) } \times \frac{\text { (spacetime displacement) }}{\text { (proper time for that displacement) }}\]

Міркування: Немає іншого незалежного від кадру способу побудувати 4-вектор, який лежить уздовж світової лінії і має величину, рівну масі.

Одиниці: У цій книзі, як і у все більшій кількості сучасного письма, простір і час відображаються в одній одиниці: метр. Чисельник і знаменник з правого боку рівняння (7-1) мають одиницю виміру. Тому їх частка є одиничною. Як результат,

Одиниця моменергії: маса правої частини рівняння має ту ж одиницю, що і перший множник: маса. Так що ліва сторона, стрілка momenergy, також повинна мати одиницю маси. Оскільки єдність простору-часу підкреслюється вимірюванням простору та часу в одній одиниці, так єдність моменергії з'ясовується шляхом вимірювання імпульсу та енергії в одній одиниці: масі. Таблиця 7-1 в кінці глави порівнює вирази для імпульсу і енергії в одиницях маси з виразами в умовних одиницях. Ви говорите, що рівняння для моменергії

\[(\text { momenergy })=(\text { mass }) \times \frac{\text { (spacetime displacement) }}{\text { (proper time for that displacement) }}\]

Я думав, що «зміщення простору в часі» - це інтервал, який є належним часом. Я знаю, однак, що я помиляюся, бо якби зміщення просторучасу і належний час були однаковими, то чисельник і знаменник дробу скасували б, а моменергія просто дорівнювала б масі. Напевно ви б сказали нам про таку простоту. Що я пропустив?

\(2=\)Легко сплутати вектор - або 4-вектор - з його величиною.

У виразі для momenergy зміщення просторучасу є 4-вектором (Box 7-1). У лабораторному кадрі цей зсув 4-вектор має чотири складові,\(\{d t\),\(d x, d y, d z\}\). У ракеті з вільним поплавком, що рухається в довільному напрямку, зміщення 4-вектора має чотири складові\(\left\{d t^{\prime}, d x^{\prime}, d y^{\prime}, d z^{\prime}\right\}\), як правило, відрізняються, відповідно, від тих, що знаходяться в лабораторному кадрі.

Вектор у просторі (3-вектор) має не тільки величину, але й напрямок, незалежний від будь-якої системи координат. («Яким шляхом вони пішли?» «Ось так!» - вказуючи.) Аналогічно, зміщення простору-часу має величину та напрямок у просторі-часі, незалежні від будь-якого опорного кадру. Цей просторово-часовий напрямок відрізняє 4-векторне зміщення (чисельник вище) від його величини, яка є належним часом для цього зміщення (знаменник). Цей належний час (інтервал) можна спостерігати безпосередньо: це проміжок часу, який зчитує наручний годинник, який переноситься частинкою, поки вона піддається зміщенню простору-часу.

Підсумовуючи дріб

\[\frac{\text { (spacetime displacement) }}{\text { (proper time for that displacement) }}\]

Блок 4-вектор вздовж світової лінії

має чисельник, який є 4-вектором. Цей 4-векторний чисельник має таку ж величину, як і знаменник. Отриманий дріб, таким чином, являє собою одиницю 4-вектора, що вказує уздовж світової лінії частинки. Ця одиниця 4-вектора визначає напрямок моменергії частинки в простору-часі. А величина моменергії? Це маса частки, перший член праворуч від виразу у верхній частині цієї сторінки. Коротко кажучи, моменергія частинки - це 4-вектор величини, що\(m\) вказує уздовж її світової лінії в просторі-часі. Цей опис не залежить від системи відліку.