7.3: Моменергія компоненти і величина

космічна частина? імпульс об'єкта тимчасова частина: енергія об'єкта збільшуватися: маса об'єкта

Нещасні випадки історії дали нам не одне слово, моменергію, а два слова, імпульс і енергію, щоб описати масу в русі. До Ейнштейна маса і рух описувалися не в єдиному контексті простору-часу, а з точки зору простору і часу.

Розбийте моменергію для експертизи окремо, оскільки цей поділ показує себе в деякому обраному фреймі з вільним плаванням. Часто ми все ще думаємо в тих розділених термінами. Але єдина концепція spacetime location події об'єднує дві попередні ідеї її положення в просторі і часу її події. У

ЦИФРА 7-2. Momenergy стрілка рухомого об'єкта перекладена мовою імпульсу і енергії, показана для окремого випадку, в якому висхідний імпульс (вертикальний імпульс) дорівнює нулю. The momenergy стрілка сама по собі має існування і напрямок (в цьому великому baystack worldlines і подій, які ми називаємо spacetime) незалежно від вибору або навіть присутності, будь-якого вільного плаваючого кадру. На відміну від цього, окремі міри імпульсу та енергії залежать від вибору кадру. Вони вказують паралельно, тобто в тому ж напрямку, що і відповідні просторові і часові напрямки обраного самого кадру. Див. Цифри\(7-3\) і\(7-4\) для ще більш показового уявлення пропорції між моменергією та її компонентами. так само ми поєднуємо імпульс і енергію рухомого об'єкта в єдину ідею стрілки моменергія. Зібравши його, ми тепер знову розбиваємо моменергію вниз, шукаючи нове розуміння, вивчаючи його окремі частини.

Єдність моменергії розчиняється - в нашому мисленні - в відокремленості імпульсу та енергії, коли ми вибираємо фрейм із вільним плаванням, кажуть лабораторія. У цьому лабораторному кадрі розділення простору між двома сусідніми подіями на світовій лінії частинки вирішується на чотири різних поділу: одне в лабораторному часі та одне в кожному з трьох перпендикулярних космічних напрямків, таких як північ, схід та вгору. З кожним розділенням простору часу йде окрема частина, окрема частина, окрема складова моменергія в лабораторії free float кадру (рис.\(7-2\)).

«Космічні частини» моменергії частинки є її трьома складовими імпульсу відносно обраного кадру. Їх загальна форма для нас не дивна - маса разів є складовою швидкості. Однак «Часова частина» є новою для нас, віщуючи важливі уявлення про природу енергії (розділ 7.5). Чотири компоненти

\ [\ left (\ begin {масив} {c} \ текст {на схід}\ \ текст {компонент}\ \ текст {з}\ \ текст {momenergy} \ кінець {масив}\ праворуч) =\ left (\ begin {масив} {c} \ текст {компонент}\ \ текст {компонент}\\ текст {} \\ текст {}\ \ текст {імпульс} \ кінець {масив}\ праворуч)\]

\ [\ begin {вирівняний} & =(\ текст {маса})\ times\ frac {\ text {(переміщення на схід)}} {\ текст {(належний час для цього переміщення)}}\\ &\ left (\ begin {масив} {c}\ текст {компонент}\\ текст {з}\\ text {momenergy}\ кінець {масив} праворуч) =\ ліворуч (\ begin {масив} {c}\ текст { на північ}\\ text {компонент}\\ текст {з}\\ text {імпульс}\ кінець {масив}\ праворуч)\\ & =\ текст {(маса)}\ times\ frac {\ text {(переміщення на північ)} {\ text {(належний час для цього переміщення)}}\\ &\ left (\ begin {масив} {c}\ text {(належний час для цього переміщення)}}\\ &\ left (\ begin {масив} {c}\ текст {вгору}\ текст {компонент}\\ text {з}\\ text { momenergy}\ кінець {масив}\ праворуч) =\ left (\ begin {масив} {c}\ текст {вгору}\\ текст {компонент}\\ текст {з}\\ текст {імпульс}\ кінець {масив}\ право)\\ & =(\ текст {маса})\ час\ frac {\ текст {(зміщення вгору)}} {\ текст {належний час для цього)}}\\ &\ left (\ begin {масив} {c}\ текст { час}\\ text {компонент}\\ текст {з}\\ text {momenergy}\ кінець {масив}\ право) = (\ текст {енергія}) =\ text {(маса)}\ times\ frac {\ text {(час переміщення)} {\ текст {(належний час для цього переміщення)}} \ кінець {вирівняний}\]

Версія числення цих рівнянь смачно коротка. Тут, як і в Розділі\(6.2\), тау\((\tau)\) виступає за належний час: Компоненти моменергії 4 -вектора ми зараз маємо перед нами в простій формі, але скільки коштує абсолютно-число-один міра цієї фізичної величини, її величини? Цю величину ми вважаємо, як фігуруємо величину будь-якого 4-вектора Лоренца: величина в квадраті - це різниця квадратів часової частини і просторової частини:

(величина імпульсної стрілки)\(^{2}\)

\(=(\text { energy })^{2}-(\text { east momentum })^{2}-(\text { north momentum })^{2}-(\text { up momentum })^{2}\)

\(=\mathrm{E}^{2}-\left(p_{x}\right)^{2}-\left(p_{y}\right)^{2}-\left(p_{z}\right)^{2}\)

\(=m^{2} \frac{(d t)^{2}-(d x)^{2}-(d y)^{2}-(d z)^{2}}{(d \tau)^{2}}=m^{2} \frac{(d \tau)^{2}}{(d \tau)^{2}}=m^{2}\)

Якщо коротко, то величина моменергії 4-вектора, або його квадрат,

\[(\text { magnitude of momenergy arrow })^{2}=E^{2}-p^{2}=m^{2}\]

ідентична з масою частинок, або її квадратом. Причому ця маса є величиною, характерною для частки і повністю незалежною від її стану руху.

Варто перекласти цю розповідь на оперативну мову. Почніть з частинки, яка знаходиться в стані спокою. Його 4-вектор енергії і імпульсу вказує в чистому часовому напрямку, вся енергія, без імпульсу. Нехай прискорювач посилить цю частинку. Частинка набуває обертів. Просторова складова 4-вектора, спочатку нульова, зростає до більшого і більшого значення. Іншими словами, моменергія 4-вектор все більше нахиляється від «вертикалі», тобто з чисто часового напрямку. Однак його величина залишається абсолютно незмінною, при фіксованому значенні\(m\). У конусі-

\ [\ почати {вирівняний} E &=6.25\ текст {кілограми}\\ p_ {x} &=1,25\ текст {кілограми}\\ p_ {y} &=p_ {z} =2.50\ текст {кілограми} \ кінець {вирівняний}\]

Яке значення має його маса?

РІШЕННЯ

Отримаємо величину маси за допомогою рівняння\((7-3)\):

\ [\ почати {вирівняний} м^ {2} &=E^ {2} -\ лівий (p_ {x}\ праворуч) ^ {2} -\ лівий (p_ {y}\ праворуч) ^ {2} -\ ліворуч (p_ {z}\ праворуч) ^ {2}\ &=\ лівий [(6.25) ^ {2} - (1.25) ^ {2} - (2.25) ^ {2} - (2.25) ^ {2} - (2.25) ^ {2} - (2.25) ^ {2} - (2.25) ^ {2} - (2.25) ^ {2} 50) ^ {2} - (2.50) ^ {2}\ праворуч] (\ текст {кілограми}) ^ {2}\ &= [39.06-1.56-6.25-6.25] (\ текст {кілограми}) ^ {2}\ &= [39.06-14.06] (\ текст { кілограмів}) ^ {2}\\ &=25.00 (\ текст {кілограми}) ^ {2} \ кінець {вирівняний}\]

Звідси

\[m=5.0 \text { kilograms }\]

1. 20 маса

ЦИФРА 7-3. Різні погляди одного і того ж моменергічного 4-вектора частинки в семи різних фреймах. \(\mathrm{y}-\)І\(\mathrm{z}\) -компоненти імпульсу приймаються рівними нулю, а кадри вибираються для отримання цілих значень для енергетичних та\(\mathrm{x}\) -імпульсних компонентів. Маса частинки дорівнює 20 одиницям, як зазначається в кожному фреймі з вільним плаванням:\(\mathrm{m}^{2}=\mathrm{E}^{2}-\)\(\mathrm{P}^{2}\). Це інваріантне значення маси показано товстим «бандлом» на кожному векторі. Для кадру, в якому частинка знаходиться в стані спокою (центральна діаграма), енергія дорівнює масі, а ручка охоплює вектор.

Чи потрібен моменергічний 4-вектор для цієї частинки для свого існування будь-якої системи відліку? Ніхто не сміявся б більше над таким помилковим сприйняттям, ніж частка! Моменергія 4-вектор має існування в просторі/часу незалежно від будь-яких годинників і вимірювальних стрижнів. Ми, однак, хочемо присвоїти цьому 4-вектору енергію і імпульс. Для цієї мети нам потрібен той чи інший фрейм. отже, часова складова цього 4-вектора, тобто енергія частинки, зазнає систематичної зміни.

Якби геометрія просторучасу була евклідовою, цей постійно зростаючий нахил, це постійне обертання напрямку стрілки моменергії, призвело б до того, що вертикальна або часова складова стала б все коротшою. Однак просторовий час не є евклідовим. Це Лоренціан, як з'являється у знаку мінус у рівнянні для величини моменергії\(m\):\(m^{2}=E^{2}-p^{2} .\) З величиною моменергії, або масою частинок\(m\), будучи постійною, і імпульс\(p\) постійно зростає, сама геометрія Лоренца говорить нам, що постійно зростаючий нахил, все більша величина імпульсу\(p\), змушує часову складову моменергії - енергію\(E\) - не скорочувати, як у евклідовому просторовічасу, а подовжуватися в міру прискорення:

\[E=\left(m^{2}+p^{2}\right)^{1 / 2}=\text { an increasing function of momentum, } p\]

Це дивовижно просте співвідношення між енергією та імпульсом, сповнене геометричного, а також фізичного змісту, на сьогоднішній день було випробувано та перевірено у багатьох тисячах експериментів таких різноманітних видів, що сьогодні вважається бойовим випробуванням.

Енергія, імпульс і маса, виражені до сих пір мовою алгебри, дозволяють ще більш чітко відображатися мовою картинок. На шляху стоїть лише одна перешкода. Стаття є евклідовою, а вертикальний катет прямокутного трикутника зазвичай коротший, ніж гіпотенуза. На відміну від цього, просторовий час є Лоренціанським, а часоподібний вимір (енергія) зазвичай довший, ніж «гіпотенуза"' (маса). Ми зобов'язані нашому колезі Вільяму А. Шуркліфф за спосіб мати наш торт і з'їсти його теж, пристрій для використання евклідової паперу і все ж відображати довжину Лоренца. Як? Прокладаючи над гіпотенузою евклідового трикутника жирову лінію або рукоятку довжини регулюють до відповідної Лоренціанової величини (рис. 7-3). Довжина рукоятки являє собою інваріантне значення маси частинок. Ця довжина залишається незмінною, незалежно від значень енергії та імпульсу, значення, які відрізняються, оскільки частка спостерігається з тієї чи іншої системи відліку у відносному русі.

На малюнку 7-3 показано декілька з нескінченно багатьох різних значень енергії та імпульсу, які може мати одна і та ж частинка, виміряні в різних кадрах вільного плавання. Кожна стрілка, зображуючись на евклідовому аркуші паперу, обов'язково з'являється з видимою довжиною, яка збільшується з нахилом або швидкістю частинок. Ручка на стрілці, навпаки, має довжину, відповідну геометрії Лоренца. Ця довжина являє собою масу частинок\(m=20\), величину, незалежну від швидкості частинок. Моменергія 4-вектор матеріальної частинки завжди схожий на час. Чому час подобається? Тому що моменергія 4-вектор лежить в тому ж просторово-часовому напрямку, що і світова лінія частинки (Розділ 7-2). Події вздовж світової лінії мають часоподібний зв'язок: Зсув часу між подіями більше, ніж зміщення простору. Один

ЦИФРА 7-4. Моменергія 4-вектора для однієї частинки фігури,\(7-3\) як це спостерігається у семи фреймах з вільним плаванням, ці ділянки потім накладаються на складову діаграму моменергії. Кадри підбираються так, щоб\(y\) - і z-складові імпульсу дорівнювали нулю. Локус кінчиків стрілок простежується байпербола. Центральна коротка вертикальна стрілка, що вказує на марковану точку,\(m\) представляє моменергію, виміряну в кадрі спокою частинок. У цьому кадрі імпульс має нульове значення, а енергія- «енергія спокою» -дорівнює масі частинки. Для наочності ручки були опущені з 4 векторів, які всі мають однакову за варіантною величиною\(\mathrm{m}=20\). Наслідком є те, що частинка рухається з меншою швидкістю світла у кожному можливому кадрі вільного плавання.

Рівняння\(E^{2}-p^{2}=m^{2}=\) (константа) - формула для гіперболи. Малюнок 7-4 E, p, m частинки в різних кадрах, пов'язаних гіперболою, генерує цю гіперболу шляхом накладання на один і той же малюнок просторових векторів часу, що Для візуальної чіткості ручки опущені з цих 4-векторів. Однак кожен моменергія 4-вектор має однакову величину, рівну масі частинок\(m=20\).