4.E: Динаміка (вправи)

Q1

Критикуйте наступні міркування.

Температура - це міра енергії на атом. У нерелятивістської фізиці існує мінімальна температура, яка відповідає нульовій енергії на атом, але не максимальної. У відносності повинна бути максимальна температура, яка була б температурою, при якій рухаються всі атоми\(c\).

Q2

У старомодному електронно-променевому телебаченні (ЕПТ) електрони прискорюються через різницю напруги, яка, як правило, приблизно\(20\: kV\). З якою часткою швидкості світла рухаються електрони?

Q3

При ядерному бета-розпаді електрон або антиелектрон зазвичай випромінюється з енергією на порядку\(1\: MeV\). У альфа-розпаді альфа-частинка зазвичай має енергію приблизно\(5\: MeV\). У кожному випадку зробіть приблизну оцінку того, чи є частка нерелятивістською, релятивістською або ультрарелятивістською.

Q4

Припустимо, що зореліт Ентерпрайз з «Зоряного шляху» має масу\(8.0 × 10^7\: kg\), приблизно таку ж, як у королеви Єлизавети 2. Обчисліть кінетичну енергію, яку вона мала б мати, якби вона рухалася з половиною швидкості світла. Порівняйте із загальним енергетичним вмістом світових ядерних арсеналів, що приблизно\(10^{21}\: J\).

Q5

Космічні нейтрино можуть бути найшвидшими матеріальними частинками у Всесвіті. У 2013 році детектор нейтрино IceCube в Антарктиді виявив два нейтрино, ¹ отримав назву Берт і Ерні, після персонажів вулиці Сезам, з енергіями в околицях\(1\: PeV = 10^{15}\: eV\). Вища енергія була у Ерні\(1.14±0.17\: PeV\). Невідомо, яким типом нейтрино він був, і ми не маємо точних мас для нейтрино, але припустимо\(m = 1\: eV\). Знайдіть швидкість Ерні.

Q6

Науково-фантастичні історії часто зображують космічні кораблі, що подорожують через сонячні системи з релятивістською швидкістю. Міжпланетний простір містить значну кількість крихітних частинок пилу, і такий корабель змітає ці пилові частинки з великого обсягу простору, впливаючи на них на високих швидкостях. Експеримент 1975 року на борту космічної станції Skylab вимірював частоту ударів від таких об'єктів і виявив, що квадратний метр відкритої поверхні відчував вплив частинки з масою\(\sim 10^{-15}\: kg\) приблизно кожні кілька годин. Релятивістський об'єкт, що проносяться через простір набагато швидше, відчував би такі впливи зі швидкістю більше, як один кожні кілька секунд. (Більші частинки значно рідше, при цьому частота падає як щось на зразок\(m^{-8}\).) Ці частинки не пошкодили Скайлаб, оскільки при відносних швидкостях\(\sim 10^{4}\: m/s\) їх кінетичні енергії були на порядку мікроджоулів. На релятивістських швидкостях це була б інша історія. Реальні космічні апарати легкі і досить крихкі, тому, ймовірно, виникнуть серйозні наслідки від будь-якого удару, що має кінетичну енергію приблизно\(10^2\: J\) (порівнянну з кулею з маленького пістолета).

1. Знайдіть швидкість, з якою зореліт міг пролетіти через Сонячну систему, якщо часті\(10^2\: J\) зіткнення були прийнятними, припускаючи, що жоден об'єкт з масою більше, ніж\(10^{-15}\: kg\). Висловіть свій результат щодо\(c\).
2. Знайти швидкість під більш консервативними параметрами\(10\: J\) і\(10^{-14}\: kg\).

Q7

Приклад 3.5.1 виводить рівняння

\[x = \frac{1}{a} \cosh a\tau\]

для частинки, що рухається з постійним прискоренням. (Зверніть увагу, що константа інтеграції була прийнята рівною нулю, так що\(x \neq 0\) в\(τ = 0\).)

1. Перепишіть це рівняння в метричних одиницях, вставивши необхідні множники\(c\).
2. Якби у нас був ракетний корабель\(g\), здатний прискорюватися на невизначений час, скільки потрібного часу знадобиться для того, щоб пройти відстань\(∆x = 27,000\) світлових років до галактичного центру? (Це буде проліт, тому корабель прискорюється весь шлях, а не сповільнюється, щоб зупинитися в пункті призначення.) Відповідь: 11 років
3. Спостерігач у спокої відносно галактики пояснює напрочуд короткий час, розрахований в частині b, як обумовлений розширенням часу, яке переживає мандрівник. Як це пояснює мандрівник?

Q8

Покажіть, як стверджується в розділі 4.7, що якщо тахіони існують, то можна мати два тахіони, вектори імпульсу яких складаються до нуля.

Q9

1. Вільний нейтрон (на відміну від нейтрона, пов'язаного в атомне ядро) нестійкий і зазнає спонтанного радіоактивного розпаду на протон, електрон і антинейтрино. Маси задіяних частинок такі:

нейтрон	\(1.67495×10^{-27}\) kg
протон	\(1.67265×10^{-27}\) kg
електрон	\(0.00091×10^{-27}\) kg
антинейтрино	\ (< 10^ {-35} кг

Знайдіть енергію, що виділяється при розпаді вільного нейтрона.

2. Нейтрони і протони складають по суті всю масу звичайної матерії навколо нас. Ми спостерігаємо, що Всесвіт навколо нас не має вільних нейтронів, але багато вільних протонів (ядер водню, який є елементом, з якого складається Всесвіт).\(90\%\) Ми знаходимо нейтрони тільки всередині ядер разом з іншими нейтронами і протонами, а не самостійно. Якщо є процеси, які можуть перетворювати нейтрони в протони, ми можемо уявити, що можуть бути і перетворення протон-нейтронів, і справді такий процес іноді відбувається в ядрах, які містять як нейтрони, так і протони: протон може розпастися на нейтрон, позитрон і нейтрино. Позитрон - це частинка з тими ж властивостями, що і електрон, за винятком того, що її електричний заряд позитивний. А нейтрино, як і антинейтрино, має незначну масу. Хоча такий процес може відбуватися всередині ядра, поясніть, чому це не може статися з вільним протоном. (Якби це могло, водень був би радіоактивним, а ви б не існували!)

Q10

1. Знайдіть релятивістське рівняння швидкості об'єкта за його масою і імпульсом (усуваючи\(γ\)).
2. Покажіть, що ваш результат приблизно збігається з класичним значенням\(p/m\), при малих швидкостях.
3. Покажіть, що дуже великі моментупризводять до швидкості, близької до швидкості світла.

Q11

Розгорніть рівняння для релятивістської кінетичної енергії\(K = m(γ - 1)\) в ряді Тейлора та знайдіть перші два незникаючі члени. Покажіть, що перший термін є нерелятивістським виразом.

Q12

Розгорніть рівняння\(p = mγv\) в ряді Тейлора та знайдіть перші два незникаючі члени. Покажіть, що перший термін є класичним виразом.

Q13

Атом в збудженому стані випромінює фотон, потрапляючи в нижчий стан. Початковий стан має масу\(m_1\), кінцеве\(m_2\). До дуже хорошого наближення очікуємо, що енергія\(E\) фотона дорівнює\(m_1 - m_2\). Однак збереження імпульсу диктує, що атом повинен віддалятися від випромінювання, а тому він забирає невелику кількість кінетичної енергії, недоступної фотону. Знайдіть точну енергію фотона, в кадрі, в якому атом спочатку знаходився в стані спокою.

Q14

Нижче наведено три найпоширеніші способи взаємодії гамма-променів з речовиною:

• Фотоелектричний ефект: гамма-промінь потрапляє на електрон, знищується і віддає всю свою енергію електрону.
• Комптонне розсіювання: гамма-промінь відскакує від електрона, виходячи в певному напрямку з деякою кількістю енергії.
• Парне виробництво: гамма-промінь анігілюється, створюючи електрон і позитрон.

Приклад 4.3.5 показує, що виробництво пари не може відбуватися у вакуумі через збереження енергії-імпульсу чотирьох векторів. А як щодо двох інших процесів? Чи може фотоефект відбуватися без присутності якоїсь третьої частинки, такої як атомне ядро? Чи може розсіювання Комптона відбуватися без третьої частинки?

Q15

Ця проблема передбачає, що ви знаєте деякі основні квантові фізики. Суть цієї проблеми полягає в тому, щоб оцінити, чи є нейтрон або протон в атомному ядрі високорелятивістським. Ядра зазвичай мають діаметри кілька\(fm\) (\(1\; fm = 10^{-15}\: m\)). Візьміть нейтрон або протон, щоб бути частинкою в коробці такого розміру. У наземному стані половина довжини хвилі поміститься в коробці. Використовуйте відношення де Броля для оцінки його типового імпульсу і, отже, його типової швидкості. Наскільки це релятивістський?

Q16

Покажіть, як стверджується в прикладі 4.3.6, що якщо частинка без маси повинна була розпастися, інваріантність Лоренца вимагає, щоб часовий масштаб\(τ\) процесу був пропорційним енергії частинки. Які одиниці мала б константа пропорційності?

Q17

Вивести рівняння

\[T = \sqrt{\frac{3\pi }{G\rho }}\]

наведено в розділі 4.6, для періоду обертового сферичного об'єкта, що призводить до нульової видимої сили тяжіння на його поверхні.

Q18

Нейтрино з енергіями\(\sim 1\: MeV\) (типова енергетична шкала ядерної фізики) складають значну частину матерії в нашому Всесвіті. Якщо нейтрино і антинейтрино анігілюють один одного, твір являє собою два фотони спина до спини, енергії яких рівні в центрі маси кадру. Чи повинні астрономи вміти виявляти ці фотони, вибираючи лише ті, які мають правильну енергію?

КВАРТАЛ 19

У певній системі відліку гамма-промінь з енергією\(E_1\) рухається вправо, тоді як другий гамма-шлях з\(E_2\) енергією злітає вліво.

1. Знайдіть масу системи.
2. Знайти швидкість кадру центру маси, тобто кадру відліку, в якій сумарний імпульс дорівнює нулю.

Q20

У розділі 4.5 доведено співвідношення «робота-енергія»\(dE/dx = F\) в контексті відносності. Рекапітулюйте деривацію в контексті чистої ньютонівської механіки.

Q21

У розділі 4.3 розглядається можливість того, що фотон має невелику, але ненульову масу\(m\). Одним з наслідків є те, що електричне поле нескінченної, рівномірно зарядженої площини\(E_x = \pm 2\pi k\sigma exp(-\mu |x|)\), де\(k\) знаходиться постійна Кулона,\(σ\) - це заряд на одиницю площі\(\mu = mc/\hbar\), і\(x\) є відстанню від площини. Коли\(m = 0\), ми відновлюємо результат стандартного електромагнетизму. Мета цієї проблеми - проаналізувати лабораторний експеримент, який може поставити верхню межу\(m\).

Розглянемо прямокутну, порожнисту, провідну коробку з розміщеним на ній зарядом. Якщо\(m = 0\), то закон Гаусса тримається, а поле всередині рівно дорівнює нулю. Ми зараз розглянемо можливість того\(m > 0\). Робимо коробку дуже тонкою в\(x\) напрямку, з боками, розташованими в напрямку\(x = ±a\). Ми називаємо ці дві сторони «пластинами». Обсяг коробки в\(y\) і\(z\) напрямках набагато більше, ніж a, так що щільність заряду σ на кожній з двох пластин майже постійна до тих пір, поки ми тримаємося подалі від окантовки полів по краях. Розглянемо точку\(x = b\), розташовану в, з\(0 < b < a\), і далеко від країв. Показати, що існує незникаюче внутрішнє поле, яке можна виміряти в цьому експерименті за дробовою різницею електричного потенціалу

\[\frac{V(a) - V(b)}{V(a)} \approx \frac{1}{2}m^2(a^2 - b^2) + \cdots\]

де... вказує терміни вищого порядку.

Зауваження: Експеримент є більш практичним, коли проводиться з використанням сферичної геометрії, оскільки немає окантовки полів, про які можна турбуватися. Аналіз виходить тим же, за винятком того, що фактор\(1/2\) стає\(1/6\). Експерименти цього типу вперше проводили Кавендіш у 1722 році, а потім із серією покращень на порядок точності Плімптоном у 1936 році та Вільямсом у 1971 році.

Q22

Калій\(40\) є найсильнішим джерелом природної бета-радіоактивності в нашому середовищі. Він розкладається відповідно до

\[^{40}\textrm{K} \rightarrow ^{40}\textrm{Ca} + e^{-} + \bar{v}\]

Енергія, що виділяється при розпаді, є\(1.33\: MeV\). Енергія розподіляється випадковим чином між продуктами, за умови обмеження, накладеного збереженням енергії-імпульсу, який диктує, що дуже мало енергії переноситься відкатним ядром кальцію. Визначте максимальну енергію кальцію, і порівняйте з типовою енергією хімічного зв'язку, якої кілька\(eV\). Якщо калій входить до складу молекули, чи очікуємо ми, що молекула виживе? Проведіть розрахунок спочатку, припускаючи, що електрон ультрарелятивістський, потім без наближення, і прокоментуйте, наскільки добре наближення.

Q23

Продуктами певного радіоактивного розпаду є масивна частинка і гамма-промінь.

1. Покажіть, що в центрі кадру мас енергія гами менше, ніж масова енергія масивної частинки.
2. Показати, що протилежна нерівність тримається, якщо порівняти кінетичну енергію масивної частинки з енергією гами.
3. Припустимо, хтось говорить вам, що певна масивна частинка має режим радіоактивного розпаду, в якому вона зникає, і єдиним продуктом є гамма-промінь - залишкової масивної частинки не існує. Скористайтеся результатом частини a, щоб показати, що це неможливо, а потім подивіться, чи зможете ви знайти простіший аргумент, щоб продемонструвати те саме.

Посилання

¹ arxiv.org/абс/1304.5356