5.7: Потенціал

Якщо потрібна робота для переміщення маси з точки\(\text{A}\) в точку\(\text{B}\), кажуть, що існує гравітаційна різниця потенціалів між\(\text{A}\) і\(\text{B}\), з тим,\(\text{B}\) що знаходиться на вищому потенціалі. Робота, необхідна для переміщення одиничної маси від\(\text{A}\) до\(\text{B}\), називається різницею потенціалів між\(\text{A}\) і\(\text{B}\). У одиницях СІ вона виражається в\(\text{J kg}^{−1}\).

Ми визначили лише різницю потенціалів між двома точками. Якщо ми хочемо визначити потенціал в точці, необхідно довільно визначити потенціал в конкретній точці, щоб бути нульовим. Ми можемо, наприклад, визначити потенціал на рівні підлоги нульовим, і в цьому випадку потенціал на висоті\(h\) над підлогою є\(gh\); однаково ми можемо вибрати для визначення потенціалу на рівні вершини лабораторії рівним нулю, і в цьому випадку потенціал на висоті\(z\) вище Верх лави є\(gz\). Оскільки значення потенціалу в точці залежить від того, де ми визначаємо нуль потенціалу, часто можна побачити, що потенціал в якийсь момент дорівнює деякому математичному виразу плюс довільна константа. Значення константи буде визначено, як тільки ми вирішимо, де ми хочемо визначити нульовий потенціал.

У небесній механіці прийнято привласнювати нульовий потенціал всім точкам на нескінченній відстані від будь-яких тіл, що цікавлять.

Припустимо, ми вирішили визначити потенціал в точці,\(\text{A}\) щоб бути нулем, і що потенціал в\(\text{B}\) тоді\(ψ\)\(\text{J kg}^{−1}\). Якщо ми переміщаємо точкову масу\(m\) від\(\text{A}\) до\(\text{B}\), нам доведеться виконати кількість роботи, рівну\(mψ \ \text{J}\). Потенційна енергія маси,\(m\) коли вона знаходиться на\(\text{B}\) - це тоді\(mψ\). У цих примітках я зазвичай використовую символ\(ψ\) для потенціалу в точці та символ\(V\) потенційної енергії маси в точці.

При переміщенні точкової маси від\(\text{A}\) до\(\text{B}\), не має значення, який маршрут береться. Все, що має значення, - це різниця потенціалів між\(\text{A}\) і\(\text{B}\). Сили, які мають властивість, що робота, необхідна для переміщення з однієї точки в іншу, є маршрутно-незалежною, називаються консервативними силами; гравітаційні сили - консервативними. Потенціал у точці є скалярною величиною; він не має особливого напрямку, пов'язаного з ним.

Якщо це вимагає роботи для переміщення тіла з точки\(\text{A}\) в точку\(\text{B}\) (тобто якщо існує різниця потенціалів між\(\text{A}\) і\(\text{B}\), і\(\text{B}\) знаходиться на більш високому потенціалі, ніж\(\text{A}\)), це означає, що має бути гравітаційне поле, спрямоване від\(\text{B}\) до\(\text{A}\).

\(\text{FIGURE V.22}\)

\(\text{V.22}\)На малюнку показані дві точки\(\text{B}\),\(\text{A}\) і, відстань\(δx\) один від одного, в області простору, де гравітаційне поле\(g\) спрямоване в негативному\(x\) напрямку. Ми припустимо, що різниця потенціалів між\(\text{A}\) і\(\text{B}\) є\(δψ\). За визначенням, робота, необхідна для переміщення одиниці маси від\(\text{A}\) до\(\text{B}\) є\(δψ\). Також за визначенням сила на одиницю маси є\(g\), так що робота, виконана над одиничною масою\(gδx\). Таким чином, ми маємо

\[g = - \frac{dψ}{dx}. \label{5.7.1} \tag{5.7.1}\]

Знак мінус вказує на те, що, поки потенціал збільшується зліва направо, гравітаційне поле спрямоване вліво. На словах гравітаційне поле мінус потенційний градієнт.

Це був одновимірний приклад. У більш пізньому розділі, коли ми обговорюємо векторний оператор\(\nabla\), ми запишемо рівняння\(\ref{5.7.1}\) в його тривимірному вигляді

\[\textbf{g} = - \textbf{grad}ψ = - \nabla ψ. \label{5.7.2} \tag{5.7.2}\]

Хоча\(ψ\) сама по собі є скалярною величиною, що не має спрямованих властивостей, її градієнт - це, звичайно ж, вектор.