5.1: Вступ

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 5: Гравітаційне поле та потенціал
- 5.2: Гравітаційне поле

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У цій главі розглядається розрахунок гравітаційних полів і потенціалів в околицях різних форм і розмірів масивних тіл. Читач, який вивчав електростатику, визнає, що це все лише повторення того, що він або вона вже знає. Зрештою, сила відштовхування між двома електричними зарядами $q_1$ і $q_2$ відстанню $r$ один від одного у вакуумі є

$\frac{q_1 q_2}{4 \pi ε_0 r^2},$

де $ε_0$ - діелектрична проникність вільного простору, а сила притягання між двома масами $M_1$ і $M_2$ відстань $r$ один від одного

$\frac{GM_1 M_2}{r^2},$

де $G$ гравітаційна константа, або, по-іншому, сила відштовхування

$-\frac{GM_1 M_2}{r^2}.$

Таким чином, всі рівняння для полів і потенціалів у гравітаційних задачах збігаються з відповідними рівняннями в задачах електростатики, за умови, що заряди замінені масами і $4\pi ε_0$ замінені на $−1/G$ .

Однак я можу думати про дві відмінності. У випадку з електростатикою ми маємо можливість як позитивних, так і негативних зарядів. Наскільки мені відомо, існують тільки позитивні маси. Це означає, серед іншого, що у нас немає «гравітаційних диполів» та всіх явищ, пов'язаних з поляризацією, які ми маємо в електростатиці.

Друга відмінність полягає в цьому. Якщо частинка маси $m$ і заряду $q$ помістити в електричне поле $\textbf{E}$ , вона буде відчувати силу $q\textbf{E}$ , і вона буде прискорюватися зі швидкістю і в напрямку, заданому $q\textbf{E}/m$ . Якщо ж частинка поміщена в гравітаційне поле $\textbf{g}$ , вона буде відчувати силу $m\textbf{g}$ і прискорення $m\textbf{g}/m = \textbf{g}$ , незалежно від її маси або заряду. Всі маси і всі заряди в одному гравітаційному полі прискорюються з однаковою швидкістю. Це не так у випадку з електричним полем.

Я маю деяку симпатію до ідеї введення «раціоналізованої» гравітаційної константи $Γ$ , наведеної $Γ = 1/(4 \pi G)$ , і в цьому випадку гравітаційні формули б виглядали ще більше як $\text{SI}$ (раціоналізовані $\text{MKSA}$ ) формули електростатики, з $4\pi$ появою в задачах зі сферичними симетрія, $2\pi$ в задачах з циліндричною симетрією, і немає $\pi$ в задачах, пов'язаних з рівномірними полями. Це навряд чи станеться, тому далі ідею я тут не переслідую.